沙漏型声子晶体的中低频隔声减振性能研究

胡启国, 魏 晨, 刘 灜

(1.重庆交通大学 机电与车辆工程学院, 重庆 400074; 2.北京石油机械有限公司, 北京 102206)

0 引言

中低频隔声减振问题一直以来是工程机械中待解决的关键问题之一.根据结构的质量定律,传统的外加辅助设备往往受到尺寸与质量的限制而难以在低频范围内取得较好的隔声减振效果.声子晶体的出现打破了质量定律,它能以小尺寸、轻量化的结构对低频振动与噪声波起到抑制作用,是工程结构隔声减振的一种新途径.

声子晶体是一种由不同材料以相同方式连接而成的人工周期性结构[1].近年来,特别是Liu等[2]提出局域共振声子晶体后,声子晶体越来越多地被学者们关注.声子晶体独特的带隙特性[3]、负折射[4]、缺陷态[5]等性能意味着其可以应用于多种领域,包括振动与噪声吸收[6-8]、声聚焦透镜[9,10]和滤波器[11,12]等.理论和实验都表明,处于带隙频段的波无法通过声子晶体结构,这使得以弹性波形式传播的振动与噪声受到抑制.因此,声子晶体成为减振隔声的一种新思路,被广泛研究.李粮余[13]设计一种用于高速铁路无砟轨道的声子晶体隔振垫,通过建立耦合动力学模型,验证了声子隔振垫的减振性能.Li等[14]在常见的二维凸型声子晶体基础上结合微穿孔板提出了一种新型声子晶体平板结构,将这种结构用于汽车驾驶室降噪,效果显著.Ruan等[15]提出一种螺旋声子晶体将其应用于船舶振动与噪声控制,并通过实验验证了该结构的减振性能.

声子晶体的结构决定着其带隙的位置和宽度,从而影响其隔声减振的频率范围及自身的应用价值.目前已有许多带隙特性优异的声子晶体结构,Panahi等[16]在马耳他十字形状基础上提出的声子晶体结构,在0～12 000Hz范围内产生了超宽带隙,并通过实验计算该结构的最宽带隙内的频响可达到80 dB的下降,虽然通过改进结构将带隙起始频率降至751 Hz,但仍无法控制对于对人体危害较大的低频噪声;李锁斌等[17]将经典双边声子晶体改进为双面锥形复合声子晶体板,使得分离的面内、面外带隙合并成一条100 Hz的以下的低频完全带隙,但仅有44 Hz的窄带意味着制造公差的鲁棒性较差;Tan等[18]建立了多层涂层球体声子晶体结构,在1 000 Hz以内得到了多个混合带隙,通过改变结构的对称性将部分窄带隙合并为宽带隙,虽然取得了低频宽带,但球形结构却不利于与声源设备结合发挥功能.

尽管目前已有多种声子晶体,但设计出同时满足低频、宽带、结构适用性强、隔声减振效果好的特点为一体的声子晶体结构依然是当前研究的短板.本文针对0～1 000 Hz范围内的中低频振动与噪声问题,提出一种更适合在工程结构表面铺设使用的沙漏型声子晶体,开展该声子晶体的隔声与减振性能研究,分析了关键几何参数、散射体材料、声波入射角度对其隔声性能的影响规律,并对有限周期声子晶体板进行减振性能分析与减振频带的拓宽.本研究可以为声子晶体在低频范围内的振动与噪声控制方法提供理论参考.

1 结构模型

沙漏型声子晶体的单胞模型如图1(a)所示.该结构是由一对关于基体板两侧对称的散射体球台嵌入包覆层球台中,并通过中间连接圆柱连接而成.单胞结构的x-z平面图如图1(b)所示,其晶格常数为a,单侧内部散射体球台的球半径为R1,包覆层球台的球半径为R2,上下球台连接圆柱高度为h,基体板厚度为e.

图1 沙漏型声子晶体结构示意图

通过将单胞结构在x、y方向上进行周期性阵列,可以得到二维三组元沙漏型声子晶体结构平板,每个组元代表一种材料,各组元用到的材料参数如表1所示.

表1 材料参数表

2 隔声理论与计算方法

2.1 隔声理论

声波在通过介质时,相当于给介质施加一个力,介质内部在声波的扰动作用下,会发生压缩与膨胀,声波在传播的过程中会发生反射、透射等现象.研究结构的隔声特性,本质上是研究声波在介质中的传播现象与传播规律.

一维声波波动方程[19]可以表示为:

(1)

式(1)中:p为声压,c为声速.在简谐场中,该微分方程的解的形式可以表示为:

p(x,t)=Aej(ωt-kt)+Bej(ωt+kt)

(2)

式(2)中:A、B均为系数,ω为声波频率,k为波数.在声波无反射时,则有B=0.记声源初始位置的声压为pa,平面波声场中的声压可以表示为:

p(x,t)=Paej(ωt-kt)

(3)

如图2所示,平面波从左侧空气域通过声子晶体进入右侧空气域的过程中,声波会发生两次反射与透射,绝大部分声波会在结构表面被反射回去或被局限在在声子晶体结构内部,只有少部分能够透过声子晶体继续传播.其中,pi为入射声压,p1t、p1r分别为平面波传播过程中第一次的透射声压与反射声压,p2r为中第二次的反射声压,pt为透过声子晶体结构后的最终透射声压.

图2 声波传播模型

将声子晶体等效为厚度为d的均匀介质,空气域和固体域的声阻抗分别记为ρ1c1、ρ2c2,其中ρ为介质密度.则图2中的平面波声压可以表示为:

(4)

式(4)中:k1=ω/c1,k2=ω/c2.

以声子晶体右端d点为坐标原点,终端透射波的声压可以表示为:

pt=ptaej[ωt-k1(x-d)]

(5)

在空气域和声子晶体的交界面处,声压满足连续条件:

(6)

根据公式(4)、(5)、(6)可以得出透射终端与入射端声压的关系,由声功率的表征式I=p2×A/ρc(A为声波作用面积),可以通过两端的声功率之比来定义声波透射系数为:

(7)

取声波透射系数的倒数,并转化分贝单位,可以计算结构的隔声量STL:

(8)

2.2 隔声量计算与隔声机理

根据隔声原理,利用有限元软件Comsol Multiphysics对沙漏型声子晶体结构建立如图3所示的隔声量计算模型,在声子晶体单胞两侧分别设置空气域,其中左侧为背景压力场,设置1 Pa的入射平面波,在空气层端部设置完美匹配层PML(Perfect Matched Layers)以模拟无反射边界声场.通过计算声波在透射端与入射端在初始界面处的声功率大小的比值,可以得到声功率透射系数,进而由式(8)计算得到声子晶体的隔声量.

图3 隔声计算模型

沙漏型声子晶体的几何参数如表2所示.结构的基体、包覆层、散射体材料分别选用环氧树脂、硅橡胶、钢,三种材料的具体参数如表1所示.为了评价声子晶体结构的隔声性能,用同样的方法计算同等厚度均质环氧树脂板的隔声量,图4显示了声波垂直入射时两者的隔声特性曲线.

表2 几何参数表

由图4可知,声子晶体板与普通均质板的隔声曲线有着较大的差别,这说明两者的隔声机理迥异,均质基板的隔声曲线满足隔声质量定律,在此定律下,结构的密度或厚度再增加一倍的情况下,隔声量才能增加6 dB.而声子晶体板打破了结构隔声质量定律,能在相同厚度下,在特定频段表现出优异的隔声量.与普通均质板相比,声子晶体板在0～760 Hz频率范围内具有较高的隔声量,并在230 Hz时出现了隔声峰,但在760 Hz之后,隔声量低于普通均质板,且在860 Hz时有一个接近为0的隔声谷.

为了探究声子晶体的隔声机理,利用有限元软件Comsol Multiphysics计算得到上述参数下的声子晶体的能带结构,如图5所示.

图5 能带结构图

图5中的纵坐标表示频率,横坐标表示波矢k沿声子晶体的第一不可约布里渊区边界的扫描方向,阴影部分表示带隙覆盖的范围,A点表示带隙的起始边界点,B点表示带隙的截止边界点.

从图5可以看出,该参数下的声子晶体结构在196.4～972.8 Hz频率范围内存在一条完全带隙,而声子晶体结构的隔声峰与隔声谷之间对应的频率范围位于完全带隙频带内,几乎与带隙范围几乎一致.为了进一步分析沙漏型声子晶体结构的带隙产生原因及隔声机理,提取能带结构中的带隙起始频率与截止频率处的振动位移云图,如图6所示,通过观察结构的振动模式了解对应频率下结构的特性.

图6 特征点的位移矢量场

从图6可以看出,在带隙起始频率处,结构的振动模式表现为散射体与包覆层共同作为振子,整体在水平面内作平移振动,基体保持相对静止状态.而在带隙截止频率处,结构的该阶振动模式表现为基板在垂直方向上的振动,振子保持相对静止状态.结合声子晶体的局域共振带隙理论可知,声波在接近振子的某阶固有频率时,基体受到的外部激励力与来自振子的反作用力合力为零,保持静止状态,声波将无法传播,从而导致隔声峰出现;当声波频率继续增大时,振子对基体的反作用力减弱,基体的振动模态被激活,声波可以继续在声子晶体结构中传播,此时出现了隔声谷.

综上所述,沙漏型声子晶体结构在声波的激励作用下发生局域共振并产生了完全带隙,处于带隙频率范围内的声波无法透过声子晶体结构,因此在带隙频率范围内出现了隔声峰与隔声谷.与普通均质版相比,声子晶体结构板具有明显的隔声性能优势,可以通过在普通均质板上周期性布置振子的方法来提高板结构在特定频率范围内的隔声效果.

3 低频隔声特性

3.1 球台高度对隔声特性的影响

声子晶体的尺寸会影响结构的固有频率,因此也会影响其隔声特性.本节研究沙漏型声子晶体的球台高度对声子晶体隔声性能的影响,在满足结构稳定性与轻量化的前提下,保持其它参数如表2所示不变,只改变结构的球台高度D,图7显示了在声波垂直入射时,四个球台高度参数下的沙漏型声子晶体结构的隔声曲线.

图7 不同球台高度的隔声曲线

从图7中观察到,球台高度的变化会影响声子晶体结构的隔声峰与隔声谷,以及它们对应的频率位置.随着球台高度D的增大,结构的隔声峰值有所增大,且峰值对应的频率逐渐向低频移动,同时,隔声谷对应频率也发生了变化.其中,球台高度D=3 mm时,声子晶体结构的隔声频带最窄,球台高度D=6 mm时,声子晶体结构的隔声频带范围更为低频.要想使沙漏型声子晶体结构在更低频段内获得良好的隔声特性,应适当增大结构的球台高度.

3.2 散射体材料对隔声特性影响

散射体的材料与声子晶体的局域共振能力有很强的相关性,因此理论上也会影响声子晶体的隔声能力.设置声子晶体的球台高度D=6 mm,其他参数同章节2.2不变,只改变散射体材料,计算散射体分别选用钢、铅、钨三种材料时沙漏型声子晶体在声波垂直入射下的隔声曲线,得到图8.

图8 不同散射体材料时的隔声曲线

从图8可以看出,散射体材料的密度对声子晶体结构的隔声曲线的隔声峰峰值影响不大,但对隔声峰对应的频率位置产生较大的影响,所选的三种材料在低频的隔声能力由强到弱依次为钨、铅、钢.从材料参数来看、钨的密度最大,这意味着相同尺寸下,局域共振中作为振子的散射体的质量更大,从而使得声子晶体结构的完全带隙的起始频率降低,导致隔声峰也随之向低频移动.

3.3 声波入射角度对隔声特性影响

在实际声场中,声波会从不同的方向入射至声子晶体板,这使得波矢在入射平面内的投影和能量会有所不同.由于声子晶体结构具有对称性,只考虑声波入射角度中的俯仰角θ对声子晶体结构响应的影响.设置沙漏型声子晶体结构的球台高度D=6 mm,散射体材料为钨,其他参数同2.2节不变,图9显示了四个声波入射角参数下的该声子晶体结构的隔声曲线.

图9 不同声波入射角度下的隔声曲线

从图9可以看出,在四个入射角参数下,声子晶体的隔声曲线表现出相同的隔声规律.入射角度的不同未改变隔声曲线的隔声峰与隔声谷对应的频率位置,主要影响隔声曲线整体的幅值.当入射角θ=0°,即声波垂直入射时,声子晶体结构的隔声量最大,随着入射角度的增加,隔声峰值逐渐减小,但仍保持较高隔声量.这是由于入射俯仰角越大,对应的声波在垂直于声子晶体结构上的分量越小,即声波的入射能量也减小,声子晶体结构受到的激励也会降低,从而使得隔声量减小.

综上所述,对于沙漏型声子晶体结构,单侧球台高度、散射体材料与声波入射角度均会影响其隔声性能.除声波入射角不可控外,可选取球台高度D=6 mm、散射体材料为钨的沙漏型声子晶体结构,以获得较低频的隔声频带.

4 减振特性分析

4.1 振动响应计算

本节选取球台高度D=6 mm,其他几何参数同表2所示的沙漏型声子晶体结构,材料设定基体为环氧树脂,包覆层为硅橡胶,散射体为钨.对该参数下的单胞结构进行6×6周期阵列,得到尺寸为120 mm×120 mm的声子晶体板,对板进行四边固定的边界约束并施加集中点激励,激励力的大小为1 N,方向垂直于声子晶体板,通过比较响应点和激励点的位移得出振动位移的传递率,可以评价结构的振动特性,振动位移传递率表达式为:

(9)

式(9)中:A0为激励点的振动幅值,Ab为响应点的幅值.

图10为沙漏型声子晶体有限周期结构板的振动响应计算模型.由图10可知,施加集中点激励时选取了非对称点,目的是同时激发结构的对称及非对称模态,以保证计算结果的准确性.为了评价声子晶体板对振动波的衰减能力,用同样的方法建立普通环氧树脂均质板的振动响应仿真模型,计算相同激励条件下均质板与声子晶体板的振动响应曲线,得到图11.

图10 振动计算模型

图11 振动衰减曲线

观察图11中普通均质板和沙漏声子晶体板的振动特性曲线,可以发现沙漏声子晶体板的振动传递率曲线相比于普通均质板,在某些频率范围内出现了很大程度的衰减,并且在102 ～851 Hz范围内,局域共振声子晶体板的振动特性曲线的峰值个数明显减少,峰值之间的间隔增大.这是由于局域共振声子晶体板的刚度增大,结构固有频率向高频转移,故在102 ～851 Hz范围内结构振动模态数减少,曲线的共振峰也随之减少.

图12显示了结构在振动衰减频率范围内与范围外两个频率下的振动模态图.从图12(a)中观察到,在振动衰减范围内的190 Hz处,振动能量被局域在点激励处,未向周围传递,此时声子晶体板对该频率的振动波起到了抑制作用.而在振动范围之外的950 Hz处,如图12(b),声子晶体板上的振动从激励点处出发向周围发生传递,此时声子晶体结构并未对振动波起到抑制作用.由此说明,声子晶体可以对带隙范围内的振动波起到抑制作用.

图12 振动传递模态图

4.2 减振频带拓宽

由于不同参数会使结构产生不同的隔声频带,考虑将低频隔声性能较好的声子晶体结构与高频隔声性能较好的声子晶体结构组合后再进行周期排列为板结构,以期通过改变板结构的固有频期扩大其减振频带.

根据第3节隔声特性分析结果,本节构造两种参数的沙漏型声子晶体结构A、B,两种结构的不同之处在于,结构A的球台高度D=4 mm,散射体材料为钢,结构B的球台高度D=6 mm,散射体材料为钨,其他参数均与第2节设置相同.对结构A、B设计两种组合方案,组合一是将A、B两种声子晶体结构进行左右组合,如图13(a),组合二是将A、B结构对角组合,如图13(b).

图13 组合方案

将组合后的复合结构在x,y方向上进行3×3周期排列,构成120 mm×120 mm的声子晶体板,对这两种组合下的声子晶体板的进行激励下的振动响应计算.为了评价组合结构的减振性能,计算了同样激励下结构A、结构B单独排列时声子晶体板结构的振动响应,如图14所示.

图14 声子晶体板的振动衰减曲线

图14显示了两种结构组合而成的声子晶体板的振动位移传递曲线以及两种结构单独排列时各自的振动位移传递曲线.从图中观察到,结构A在105～850 Hz,结构B在200～955 Hz频段内的衰减程度较大,且两者在各自对应频段内的衰减程度相当,结构A的主要减振频段整体低于结构B的主要减振频段.由于振子分布位置不同,组合一与组合二的振动峰值有着不同的程度的波动变化,组合一在95～140 Hz和200～975 Hz两个频率范围内衰减程度较大,组合二在160～195 Hz和220～990 Hz两个频率范围内衰减程度较大.在0～1 000 Hz频率范围内,两种组合声子晶体板与单一结构声子晶体板相比,振动衰减频段都有所扩大,组合一的减振频段相对于结构A与和结构B分别扩大了11.4%、9.9%,组合二的减振频段相对于结构A与和结构B分别扩大了12.1%、10.6%.

5 结论

(1)提出一种新型声子晶体结构,结合声波在介质中的传播规律,建立了该结构的隔声计算模型,并与普通均质版的隔声性能进行对比,分析了该声子晶体结构的隔声机理.

(2)结合该声子晶体的结构特点,研究了关键几何参数、散射体材料以及声波入射角度对其隔声性能的影响规律,确定了能使结构在低频下获得较好隔声性能的参数.

(3)建立了有限周期排列的声子晶体板结构的振动响应计算模型,计算结果表明,声子晶体在特定频率范围内具有较好的振动衰减性能.通过将低频隔声性能较好的结构与高频隔声性能较好的结构进行组合,有效拓宽了声子晶体板的减振频带.