一类污水处理数学模型的定性分析

李 鸿, 蔺小林*, 李建全, 裴立影

(1.陕西科技大学 数学与数据科学学院, 陕西 西安 710021; 2.陕西科技大学 环境科学与工程学院, 陕西 西安 710021)

0 引言

全球性水污染问题已是人类面临的主要问题之一,它对人类生存和社会经济发展构成越来越严重的威胁.防治水环境污染,保护水资源,走可持续发展的道路已经成为人类共同追求的目标.我国对环境治理也越来越重视,并把环境保护具体计划提上日程.由于我国地表水体污染主要是由工业废水和城市生活污水的排放所造成的,污水处理厂的建设成为改善我国水环境的重要措施之一.活性污泥法通过近百年的发展已成为城市污水处理厂最为广泛使用的方法之一[1].

然而,如何合理实现污水处理厂工艺设计,优化运行管理,在保证出水水质的条件下减少运行费用,降低资源的浪费,提高能源利用率是顺应我国当前保护城市环境、节能降耗发展要求的一项重要课题.以数学模型为基础的模拟与控制是实现这目标的有效手段,准确、贴近实际的机理模型又是基础保证.数学模型能够较全面地描述复杂系统内的多种生物反应过程,不仅可以预测污水处理厂的出水情况,同时也能分析污水处理厂的运行状况,辅助工艺选择、方案确定、管理与指导污水厂的操作与运行,实现污水处理厂的最优化设计与节能运行管理.污水处理方法在早期主要是以物理方法去除污水中的杂质和污水中主要含有的碳.随着人们对污水回收利用要求的不断提高,污水处理逐渐发展成为以生物处理为主的二级处理.在生物处理中,最为普遍采用的方法是活性污泥法.我国已建和在建的城市污水处理厂中,处理污水所采用的各种类型的活性污泥法占90%以上.

活性污泥法经过近百年的实践和发展,已经成为国内外应用最普遍的污水处理技术之一.活性污泥数学模型的发展经历了从传统静态模型到动态模型的发展过程,如早期Eckenfelder模型、Mc Kinney模型和Lawrence -McCarty模型等静态模型,以及Andrews模型、WRc模型和ASM系列模型等动态模型.然而,污水处理系统是一个多变量、非稳定、时变的复杂系统,如水质水量动态变化、反应机理复杂、存在许多干扰因素和不确定性因素等,因此,以数学模型为基础、结合污水处理工艺原理的系统仿真方法,成为对复杂的污水处理系统进行动态分析的适用方法.

活性污泥系统的模型化对水处理设计和研究具有重要的意义.活性污泥系统生物去除有机碳、氮、磷及其调控机理模型研究是当今国际水协(IWA) 污水生物处理设计与运行数学模型课题组的前沿性基础课题,该研究成果可以应用于污水处理厂运行的优化和节能降耗.

国内许多学者对污水处理机理进行了深入研究.针对昆山锦溪污水处理二期工程的改造,周军[2]通过控制污泥龄、污泥回流比、好氧工艺中的溶氧区溶解氧、厌氧区溶解氧等关键参数,为实现水质达标提供了良好的操作方案;王巍巍等[3]利用GPS-X软件,基于ASM2d模型,分析了分段进水A2/O工艺与常规A2/O工艺的出水效果,通过数学模型的模拟,确定了最佳配水比对原有工艺进行改造;马昭等[4]的研究报道西安市某污水处理厂奥贝尔氧化沟污水处理工艺,利用ASM2d模型建模校正后对处理工艺进行了优化分析,优化了氧化沟污泥回流比与BOD5污泥负荷率;郭彦雪等[5]对国际水协推出的活性污泥2D号模型ASM2d进行优化,以菌胶团的厌氧核为着手点,改良ASM2d模型后模拟COD、N和P在氧化沟中的降解过程,从而改良氧化沟工艺;陈文亮等[6]用ASM2d数学模型研究六箱一体化工艺在脱氮除磷中的应用,校正后的模型对出水水质的核心影响因素是来自于碳源不足;关梦龙等[7]结合COD、OUR数据修正ASM3模型,该模型能准确模拟异养微生物生长与外源底物之间的关系,对于污水的过程处理分析提供了有效的借鉴方案;隋军等[8]基于活性污泥模型ASM2d对SBR工艺的两步硝化建模,通过模型准确获取了模拟硝化过程从启动到短程硝化的过程参数,为模型模拟硝化作用提供了良好借鉴;张学稳等[9]基于BSM平台,研究了污水处理过程的温室气体排放情况,并用软件模拟不同环境下的温室气体构成,提出了一些建议.以上文献中,均没有考虑用数学的方法分析不同条件下曝气池的稳定性情况.

对于部分学者提出的污水处理数学模型进行数学方法的研究,可以更深入理解活性污泥污水处理的基本原理和处理机制,结合实际实验数据对参数进行分析,可以预测未来一段时间的曝气池中各个组分浓度的变化趋势,从而根据结果来调整反应过程的参数,更快的达到平衡态或调整平衡点的具体位置.本文基于经典微生物和底物的物料守恒数学模型,分析了系统平衡点的性态,用数值模拟来验证分析所得结果的正确性,对系统中参数的相互关系进行了讨论,对污水处理过程的优化有一定指导意义.

1 物料守恒数学模型

图1表示的是无回流完全混合污水处理过程的框图.

图1 污水处理基本流程

对应系统的微分方程如下:

(1)

污泥龄(SRT)表示活性污泥在生化反应池的平均停留时间,表达式为生化反应池中的活性污泥总量除以每日排出的活性污泥量.水力停留时间(HRT)表示生化反应池中的污水完全更换一轮所需要的时间,表达式为生化反应池的容积除以向该池通水的流量.具体表达式如下:

(2)

考虑到进水微生物浓度很低,可以忽略不计(即令X0=0),假设进水有机质浓度恒定.将公式(2)代入到系统(1)后,则上述方程组可以化简为如下系统:

(3)

系统(3)中:X表示生化反应池中的微生物浓度,S表示生化反应池中的底物浓度.

2 平衡点的存在性及其稳定性

2.1 平衡点的存在性

(4)

和

(5)

其中,平衡点(4)表示的平衡点为曝气池中微生物浓度最终归零时的污水处理的情况.

下面研究平衡点(5).考虑到模型表述的是无回流的完全混合情况,有如下结论[10]:

SRT=HRT

(6)

将公式(6)代入平衡点(5)进一步化简得到:

(7)

由平衡点(7)得到模型存在正平衡点的条件为

(8)

该条件的实际含义是:比底物利用率和微生物产率的乘积减去微生物的内源呼吸速率要比污泥龄的倒数大,且初始底物浓度要比平衡状态的底物浓度高,此时系统会存在正平衡点;反之,系统不存在正平衡点.

综合以上讨论,容易得到如下结论:

定理1系统(3)的平衡点 (4)一直存在,当参数满足条件(8)时,系统(3)的平衡点(5)存在.

2.2 稳定性分析

系统(3)考虑的是无回流的完全混合情况,在此情况下,平衡点(7)是平衡点(5)的简化形式.下面将对平衡点(4)、(5)进行详细分析.

对于系统(3),求得其雅可比矩阵如下

J=

(9)

2.2.1 平衡点(4)的稳定性分析

下面先讨论平衡点(4)的稳定性.对于平衡点(4),将该点坐标代入雅可比矩阵(9)后得到:

(10)

设λ1、λ2是雅可比矩阵(10)对应特征方程f(λ)=|λE-J|=0的根,则有:

(11)

当正平衡点(5)存在时,将条件(8)与公式(11)联立后得到λ1λ2<0,可知特征方程的两个特征值符号情况是一正一负,根据平衡点稳定性定理,此时平衡点(4)是鞍点.当初值从X=0开始运行时,系统会最终趋于平衡点(4);而当初值从X>0开始运行时,系统最终会远离平衡点(4).

当正平衡点(5)不存在时,根据条件(8)有:

(12)

将公式(12)代入到公式(11)可以得到:

(13)

可知特征方程的两个特征值符号情况是同为负,根据平衡点稳定性定理,此时平衡点(4)稳定,系统最终会趋于该平衡点.

2.2.2 平衡点(5)的稳定性分析

要对正平衡点(5)进行分析,首先要保证正平衡点的存在,下面的分析将在满足条件(8)下进行.

设λ3、λ4是平衡点(5)代入雅可比矩阵(9)后对应特征方程f(λ)=|λE-J|=0的根,则有:

(14)

下面对λ3、λ4的正负性进行讨论.

(15)

当平衡点是(5)时,又有:

(16)

将公式(15)、(16)代入公式(14)中,化简后有:

(17)

(18)

由公式(17)、(18)得到,此时系统(3)在正平衡点(5)处的雅可比矩阵的特征值满足λ3λ4>0,且λ3+λ4<0,因此,两个特征值都具有负实部,根据平衡点稳定性理论可知,此时正平衡点(5)是稳定的,从而在第一象限内,系统的解最终会趋于平衡点(5).

结合对平衡点(4)、(5)的分析,有如下结论:

下面来模拟两种情形对应的系统相图.

可见相图表示的规律与理论分析的结果是一致的,即不存在正平衡点,系统从第一象限出发最终趋于平衡点(4);存在正平衡点,系统从第一象限出发最终趋于平衡点(5).

图 2 不同情况下系统(3)的相图

3 数值模拟

图3 不同情况下系统(3)的时序图

从两种不同情况下的时序图可以得到,若参数不满足正平衡点存在的条件,即不存在正平衡点,系统(3)最终会趋于平衡点(4);若参数满足正平衡点存在的条件,系统(3)的解最终会趋于正平衡点(5),即正平衡点(5)是稳定的.实验数据验证了理论分析所得到的结论是正确的.

对实验数据拟合[11],文献中可以得到如下数据SRT=HRT=29 h,k=0.85 d-1,kd=0.3 d-1,S0=150 mg/L,X0=1 500 mg/L,经计算,KS=1.8 gBOD/m3,YT=0.535 gBOD/gBOD,代入到系统(3)得到如下模拟图,如图4所示.

图4 代入实际数据的系统(3)时序图

从图4所示的模拟图像可知,到达平衡态的出水底物浓度在实验数据的3.9～7.7 mg/L范围内,平衡时的出水微生物浓度在实验数据的2.5～8.9 mg/L范围内,由此可知系统(3)的描述是可行的.

4 部分参数对正平衡点的影响

由于实际工厂中更关心正平衡点的稳定性和移动趋势,所以接下来讨论各个参数对正平衡点的移动影响.

4.1 污泥龄和水力停留时间

首先考虑污泥龄和水力停留时间对平衡点的影响.固定S0=10,KS=5,k=4,YT=0.5,kd=0.1改变污泥龄和水力停留时间,观察到系统(3)平衡点的变化过程[12,13],如图5所示.

图5 改变污泥龄系统(3)的平衡点移动规律

图5表示系统(3)存在正平衡点情况下,改变污泥龄(SRT)对应的平衡点移动规律.对于微生物,随着污泥龄的增大,平衡状态的微生物浓度会先变大后逐渐变小;对于底物,随着污泥龄的增大,平衡状态的底物浓度在逐渐减小靠近零.

4.2 生物反应池的温度

再考虑温度对平衡点的影响.污水的温度会影响微生物的相关动力学参数,具体公式可以根据Arrehenius方程[14],如下:

k(T)=k(20℃)exp[α(T-20℃)]

(19)

式(19)中:k(T)是T温度下的参数值;α是参数的修正系数.可以观察到,温度对微生物的动力学参数影响,相当于给微生物的动力学参数乘以一个系数,固定SRT=HRT=4,S0=10,KS=5,k=4,YT=0.5,kd=0.1改变微生物的半饱和常数、比增长速率、产率和内源呼吸速率的系数,观察平衡点的移动情况,如图6所示.

图6 改变温度的系统(3)平衡点移动规律

从图6可以得到,温度的适当提高与降低,对平衡状态的微生物浓度影响要比对平衡状态的底物浓度影响要大,总体趋势是在一定范围内,温度提高可以提升平衡状态的底物和微生物浓度,可以根据实际情况选择调节污水处理的温度.

4.3 污水的溶解氧

好氧过程的污水中溶解氧的影响可以用Monod方程表示[1]

(20)

公式(20)中:μobs表示好氧微生物的比增长速率,SO2是反应器的溶解氧浓度,KS,O2是氧的饱和常数.

公式(20)表明,溶解氧浓度会通过对微生物的比增长速率产生影响,进而使平衡点移动.下面固定SRT=HRT=10,S0=10,KS=5,YT=0.5,kd=0.1,KS,O2=1,用公式(20)替换掉系统(3)中的比增长速率,改变氧气浓度,观察其对平衡点的影响.

经计算,要使得正平衡点存在,需要满足条件(8),此时溶解氧浓度需要满足SO2>1.5,让溶解氧浓度在该条件下逐渐增大,有如下模拟图,如图7所示.

图7 改变溶解氧的系统(3)平衡点移动规律

从图7可以观察到,溶解氧浓度在较低水平时,提高溶解氧浓度可以较大幅度地减少平衡状态的底物浓度,同时较大幅度提升平衡状态的微生物浓度;当溶解氧浓度较高时,提升溶解氧浓度获得的收益会逐渐低于投入的成本,需要根据实际情况考虑是否加强曝气.

5 结论

在保证正平衡点存在的条件下,要想减少平衡状态的底物浓度,可以适当提高污泥龄,但需要注意不要使得污泥龄过高,否则会导致污泥中的丝状菌大量繁殖,导致污泥的沉降性降低,对后续泥水分离产生影响[15];要想提高平衡状态的微生物浓度,可以适当提高污泥龄;同时,根据平衡点(7)的表达式也可以得到,初始底物浓度的提高也会使得平衡状态的微生物浓度提高.

对于反应池的污水处理温度,适当提高温度,有利于保持活性污泥的浓度和提高反应效率;当然,温度对达到平衡状态的底物浓度影响较小,考虑到成本等问题,也可以视情况不对生化池的温度就行调整.

对于污水中的溶解氧,由于其可以影响微生物的比增长速率,使得平衡状态的底物浓度和微生物浓度均会被影响.在低溶解氧情况下,活性污泥反应速率受到影响,可以适当提高污水的溶解氧,以较大幅度降低平衡时的底物浓度,并较大幅度提高微生物浓度水平;通过这种方式对污水处理过程的优化,会在溶解氧浓度较高时收益大幅减少,实际操作中也是需要结合成本问题进行取舍.