型线参数对变截面涡旋齿径向泄漏线长度的影响

王建吉 ，刘 涛

(1.陇东学院机械工程学院，甘肃 庆阳 745000；2.兰州理工大学机电工程学院，甘肃 兰州 730050)

1 引言

涡旋压缩机间隙泄漏是阻碍涡旋压缩机在大功率场合应用的关键因素。影响涡旋压缩机泄漏的主要因素包括泄漏线长度、泄漏间隙、泄漏速度。泄漏间隙对涡旋压缩机泄漏的影响研究较多，如李海生等[1]建立了齿顶间隙变化的计算模型，为准确计算齿顶间隙泄漏提高参考。查海滨等[2]建立了一种间隙泄漏计算模型[3]。Evandro等[4]建立无量纲的不同工况条件和不同几何参数下轴向间隙泄漏和径向间隙泄漏的数值计算模型，并通过实验进行了验证。

针对泄漏线长度研究方面较少，泄漏线分为径向泄漏线和切向泄漏线，切向泄漏线等于2倍的齿高，而径向泄漏线长度是随着主轴转角不断变化，影响因素较多，研究影响泄漏线长度因素的研究在目前文献中没有查到。根据涡旋压缩机泄漏量计算模型可知，泄漏线长度直接影响泄漏量大小。刘涛[5-6]提出一种组合型线的涡旋齿，通过缩短径向泄漏线长度来减小泄漏。高秀峰等[7]建立了圆弧类型线的泄漏线长度计算模型，但该计算模型仅适用于等截面齿的计算[8]。而变截面的研究主要集群中在型线设计、涡旋齿受力分析以及动力特性研究[9-11]。

变截面齿涡旋压缩机齿厚时随展发生变化。齿顶间隙造成的径向泄漏通道长度也是变化的，并且径向泄漏线的组成类型不再是单一型线，而是随着主轴转角瞬时变化。本文建立复杂型线涡旋压缩机径向泄漏线长度计算模型，并分析型线参数(基圆半径、圆弧半径，齿厚调节系数、连接点等)对泄漏线长度影响的变化规律。在不影响涡旋压缩机容积效率基础上，通过选择恰当的型线参数来缩短径向泄漏线长度，对减小径向泄漏量和提高整机工作效率具有实际意义，并且可以使其在大功率工况下的应用得以实现。同时该模型还可以用于预测其它型线泄漏线长度的变化规律。

2 型线方程和泄漏量计算模型

组合涡旋型线通常是由两段或多段类型不同的涡旋型线组成，目前构成组合涡旋齿型线的单一型线有圆弧、圆渐开线、高次曲线、线段渐开线等。本文选择圆渐开线、高次曲线、圆弧三段曲线组合成变截面涡旋齿型线[12]。

2.1 母线方程

母线的数学表达式，分别列出各段单一型线的通用表达式。

第一段：基圆渐开线

(1)

第二段：高次曲线

(2)

其中Rg2=C1+2C2φ+3C3φ2

Rs2=C0+C1φ+C2φ2+C3φ3

C0、C1、C2、C3为待定系数

第三段：圆弧

(3)

式中，圆弧切向量零，在高次曲线与圆弧相连接处，通过调节圆弧的位置和半径，可以使得两型线光滑连接。根据连接处约束条件，确定待定系数。约束方程如下

在确定参数a、Rs3、φ1、φ2后，可以得到变截面涡旋型线的母线方程，如图1所示。

图1 母线曲线图

内外壁型线是将母线进行法向偏移得到的，由此可知，对母线方程做相应的转化可得到外壁型线的解析式。

(1)内侧型线的解析表达式

第一段：基圆渐开线

(4)

第二段：高次曲线

(5)

第三段：圆弧

(6)

(2)外壁型线方程

第一段：圆渐开线

(7)

第二段：高次曲线

(8)

第三段：圆弧

(9)

根据内外型线方程型线方程和所给定型线参数，利用MATLAB软件建立组合型线变截面涡旋盘二维模型，如图2所示。

图2 组合型线涡旋盘二维模型图

2.2 径向泄漏量计算模型

齿头采用双圆弧修正，详细过程参考文献[13]和[14]，动涡旋盘是将静涡旋盘旋转180°所得。涡旋压缩机轴向间隙泄漏示意图见图3。

涡旋压缩机径向泄漏量表达式为[15]

Q=ρAv

(10)

其中Q--径向泄漏量

ρ--泄漏气体平均密度

A--径向泄漏通道面积

v--泄漏气体的平均速度

径向泄漏通道面积A为径向泄漏线长度与轴向间隙的乘积，即

A=Lδa

(11)

式中L--径向泄漏线长度

δa--轴向间隙

根据式(10)和式(11)可知，径向泄漏线长度对径向泄漏产生影响，合理控制型线参数以缩短泄漏线长度，能够有效降低涡旋压缩机泄漏，进而提高涡旋压缩机工作效率具有十分重要的意义。

3 泄漏线长度计算模型

涡旋压缩机在工作时，各工作腔容积随着主轴转角不断发生变化，径向泄漏线组成型线和长度也在不断变化。径向泄漏线长度等于泄漏区域涡旋齿内壁面型线和外壁面型线长度的平均值。为了准确描述径向泄漏线长度的变化规律，以涡旋压缩机第二工作腔为研究对象，设第二工作腔的泄入线为0≤θ≤π，第二工作腔的泄出线为0≤θ≤π，则瞬时径向泄漏线长度表达式如下

当0≤θ≤π

(12)

当π≤θ≤θs

(13)

当θs≤θ≤2π

(14)

主轴转一周，第二工作腔泄入泄漏线长度L12和泄出泄漏线长度L23表达式为

(15)

式中θ--主轴转角

下标n--内圈型线

下标w--外圈型线

θs--排气结束时主轴转角

θc--开始排气时主轴转角

4 型线参数对泄漏线长度的影响

为了研究泄漏线长度的变化规律以及影响因素，选择不同的型线参数，如表1所示，根据公式(15)分析径向泄漏线长度在不同型线参数线的变化规律[14]。

4.1 基圆半径对泄漏线长度的影响

图4所示为不同基圆半径下第二工作腔径向泄漏线长度的变化曲线。泄入线大部分由修正圆弧构成，从整体来看，基圆半径越大，修正圆弧半径越大，泄入线L12越大，变化趋势呈凹型衰减，如图4(a)所示，在排气结束之前，基圆半径对泄漏线长度的影响逐渐减小。排气结束后基圆半径的影响很明显，基圆半径越大，泄漏线越长。

图4 基圆半径对径向泄漏线长度的影响曲线

图4(b)为第二工作腔泄出线变化曲线，整体来看，泄出线是随着主轴转角成凸字形衰减，基圆半径大小与泄出线成正比，在排气结束之前，当基圆半径增大到一定程度时，基圆半径变化对泄出线的影响减弱，这是因为泄出线主要由基圆渐开线和高次曲线组成，当连接点和调节系数不变时，基圆半径对泄出线的影响较小。排气结束后，基圆半径与泄出线长度成反比。这是因为当其它型线参数不变，增大基圆半径时，高次曲线段长度缩减。而组成泄出线L12的主要为高次曲线[16]。

4.2 连接点对泄漏线长度的影响

泄漏线长度对连接点比较敏感。从图5可以看出，连接点发生变化时，泄漏线的变化较大。从图5(a)看出，泄入线L12随着主轴转角增大呈缩减趋势，随连接点增大而减小，这是因为泄入线型线主要由修正圆弧和基圆渐开线组成，当连接点增加时，泄入线型线组成发生了变化，由修正圆弧、基圆渐开线和高次曲线组成，而高次曲线部分长度相对于基圆渐开线是缩短的。泄出线型线是由基圆渐开线、渐开线和部分圆弧组成，因此连接点增加时，渐开线段长度减小，高次曲线段增加，对于整体泄出线长度Ror来说是逐渐衰减的。

图5 连接点位置对径向泄漏线长度的影响曲线

4.3 调节系数D对泄漏线长度的影响

调节系数D主要影响涡旋齿末端的齿厚，会对吸气腔容积产生一定的影响。通过变化D值来观察其对泄漏线的影响。从图6(a)来看，调节系数对泄入线不产生影响。因为泄入线组成型线与调节系数D无关。调节系数只是对圆弧部分产生影响，因此其对泄出线能够产生一定的影响，从图6(b)看出，在排气结束前，D的影响不明显，在排气结束后，随着D增大，泄漏线长度增加。

图6 调节系数对径向泄漏线长度的影响曲线

4.4 最大展弦Rs3对泄漏线长度的影响

从型线方程可以看出，最大展弦Rs3只对圆弧的形状产生影响。从图7(a)看出，Rs3对泄入线长度不产生影响，因为泄出线型线不包含圆弧。从图7(b)看出，Rs3与泄出线R23成正比，因为最大展弦Rs3增大，圆弧尺寸增加，而组成泄出线的型线包括圆弧，因此整体泄出线长度随着Rs3的增大而增加。

图7 Rs3对径向泄漏线长度的影响曲线

4.5 回转半径对径向泄漏长度的影响

从图8可以看出回转半径Ror对第二工作腔泄入线具有一定的影响，在排气结束之前Ror越大，泄漏线越小，排气结束后，Ror越大，泄漏线越大。根据型线方程可知，Ror会对型线曲率半径产生影响，排期即将结束时，泄入线型线主要由修正型线组成，此时Ror越大，修正圆弧轮廓变小；当排气结束后，泄入线型线主要由基圆渐开线组成，此时Ror越大，曲线轮廓越大。而Ror变化对泄出线长度几乎无影响，这是因为泄出线主要由高次曲线和连接圆弧组成，根据高次曲线和圆弧方程可以看出，Ror值相对于Rs3和Rg2来说数值太小，因此对型线轮廓影响较小。

图8 回转半径对径向泄漏线长度的影响曲线

5 结论

本文建立径向泄漏线长度计算模型，具有通用性，可以计算单一型线和组合型线的瞬时径向泄漏线长度。为准确计算径向泄漏量奠定基础。

涡旋齿径向泄漏线长度受到基圆半径a、连接点φ1、调节系数D、最大展弦Rs3的影响，基圆半径越大，基圆渐开线部分弧长增加，总的泄漏线长度增加；连接点φ1越大，基圆渐开线段弧长增加，高次曲线部分缩短，整体泄漏线长度越长；连接点φ1越小，高次曲线部分前移，径向泄漏线中高次曲线段增加，整体径向泄漏线长度减小。调节系数D仅对齿末端厚度和吸气容积产生影响，对泄漏线长度不产生影响。最大展弦Rs3对圆弧半径产生影响，因此会对泄出线影响较大，对泄入线不产生影响。回转半径Ror对泄入线影响较小，对泄出线几乎无影响。