市场流动性影响下的亚式期权近似定价

曹圣云,李 鹏

(华北水利水电大学 数学与统计学院,河南 郑州 450046)

0 引言

市场流动性对期权定价的影响与金融学领域中的很多问题关系密切.亚式期权作为金融衍生品中的一种,具有广泛的应用价值,因此研究流动性影响下的亚式期权定价问题至关重要.

多项研究表明市场流动性对标的资产收益产生显著影响[1-2],许多学者深入研究流动性下的定价问题,发现流动性贴现因子可以有效地捕捉流动性不足对衍生品价格的影响[3-6].

大量研究通过不同的方法解决亚式期权的定价问题.对于算数平均亚式期权定价,由于目前尚未找到算数平均资产价格的精确概率分布,许多学者对其进行了近似定价[7-10];对于可以确定概率分布的几何平均亚式期权,研究者给出了其确定的定价公式[9,11].然而,目前没有流动性条件下的亚式期权定价的相关研究.

鉴于此,本文借鉴PASRICHA P等[4]研究市场流动性影响下欧式期权封闭式定价公式的思路,构建出一种基于流动性调整的亚式期权的近似定价模型,准确高效地估计出具有固定执行价格的亚式期权的价格.实验结果表明,本文使用的方法在稳健性和高效性方面表现出显著的优势,这将有助于期权交易中的投资者、交易员和决策者更快速地估计亚式期权的价格.

本文主要是将亚式期权的近似定价模型推广到流动性市场下的定价研究中,并针对具有固定执行价格的亚式期权,推导出流动性影响下的封闭式近似定价公式.

1 模型框架

本文在有限时间范围T>0和过滤概率空间(Ω,F,Q,Ft∈[0,T])下对经济中存在的不确定性进行建模,Q为风险中性测度.假设标的资产由于市场供需不平衡而导致流动性不足,现考虑将流动性风险通过流动性贴现因子γt纳入标的资产价格的动态变化过程中[3].

其中:St是标的资产价格;γt表示贴现因子;It是信息过程;g是一个平滑的严格递增的函数;v是一个大于0的常数.

在市场清算条件下,标的资产的市场清算价格S应满足:

使用g的可逆性[3],得到标的资产的市场清算价格S为

显然,γ=1表示没有市场流动性不足的贴现情况,此时S的动态退化为B-S模型,即

(1)

(2)

亚式期权在期权到期日的收益依赖于在整个期权有效期内标的资产的价格平均值.这里的平均值有两种类型:算数平均和几何平均.在连续情形下,资产价格的算术平均值为

(3)

几何平均值为

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

其中:

(10)

(11)

n为离散条件下分成若干区间的个数.则受市场流动性影响的几何平均亚式期权的近似价格Gt可以表示为

(12)

流动性贴现因子γt可以捕捉市场流动性对资产价格的影响,满足随机微分方程

(13)

其中:Lt表示市场流动性水平;β为资产价格对市场流动性水平Lt的敏感性程度.

进一步假设市场流动性水平Lt遵循均值回归随机过程

(14)

通过式(5)、(8)、(13)与(14)可以得到受市场流动性影响的算术平均资产价格的随机过程为

(15)

通过式(9)、(12)、(13)与(14)可以得到受市场流动性影响的几何平均资产价格的随机过程为

(16)

另外,流动性贴现因子与特定标的资产相关联,需要进一步加强这二者之间的相关性;由于整个市场的流动性风险是衡量市场总流动性的指标,市场流动性因子可以视为资产特定流动性的整体,因此市场流动性的过程与标的资产的价格过程密切相关,这两者之间的相关性也需进一步加强;然而在式(13)中,流动性贴现因子γt与市场流动性水平Lt之间的依赖关系已得到体现,因此无需增强相应的两个维纳过程之间的相关性.为了使模型更贴近金融现实,故假设三个维纳过程的相关结构为

(17)

2 封闭式定价公式

如果不考虑期权是看涨期权还是看跌期权,具有固定执行价格的亚式期权可以分为两类:具有固定执行价格的算数平均亚式期权和具有固定执行价格的几何平均亚式期权.本文用CA和CG分别表示上述两种亚式看涨期权的价格,并在本节给出在市场不是完全流动的情况下,两种亚式期权价格的近似解析公式.

2.1 算数平均亚式期权

在风险中性鞅测度Q下,到期日为T,执行价为K,具有固定执行价格的算数平均亚式看涨期权的价格可以表示为

(18)

(19)

(20)

(21)

因此

(22)

其中

然而MA(T)中涉及多个随机积分,直接求解比较复杂,故从MA(T)整体的特征函数着手,对特征函数进行傅里叶逆变换求解期权价格.

用fA(m)表示MA(T)的概率密度函数,可得

(23)

其中

若要进一步写出PA,1和PA,2,则需先写出PA,2的傅里叶形式,进而通过测度变换得到PA,1.

定义ΦA(η,T)为MA(T)的特征函数,则

对ΦA(η,T)进行傅里叶逆变换可得

则

(24)

根据测度变换,有

(25)

其中:i为虚数单位.显然,要得到期权价格的闭式近似定价公式,需要求出特征函数ΦA(η,T).

2.2 几何平均亚式期权

在风险中性鞅测度Q下,到期日为T,执行价为K,具有固定执行价格的几何平均亚式看涨期权的价格可以表示为

(26)

(27)

上式即可用于本文所研究的连续情形.

根据式(19)、(20)与(21),有

(28)

其中

考虑MG(T)的特征函数ΦG(η,T),用fG(m)表示MG(T)的概率密度函数,可得

(29)

其中:

PG,1和PG,2可以进一步写为

(30)

(31)

此时,需要求出特征函数ΦG(η,T).

2.3 求解特征函数

本文所研究的亚式期权近似定价公式与Pasricha P等[4]研究的欧式期权在市场流动性影响下的闭式定价公式的思路几乎一致,且推导过程中涉及到的MA(T)和MG(T)与文献[4]中的M(T)具有相似的结构.根据文献[4]中定理3.1可得,MA(T)和MG(T)的特征函数解析形式分别为

(32)

(33)

其中:

并且(ωn)n≥1是方程αsin(ωnT)+ωncos(ωnT)=0的严格正解,有

需要指出,这里得到的特征函数是无穷级数的形式,在数值模拟过程中需要对n进行截断.

2.4 定价公式

综合上述推导过程,可以得到具有固定执行价格的亚式看涨期权有以下定价公式:

(34)

其中,对于算术平均亚式期权和几何平均亚式期权,分别有

3 数值实验与讨论

数值实验的结果展示了亚式期权近似定价公式的收敛速度,并通过比较近似公式解的价格和蒙特卡洛模拟得到的价格,验证了近似公式解的稳健性与高效性.所选择的参数值如下:市场流动性水平的均值回复速度α=0.3,长期均值θ=0.2,波动率ξ=0.9,控制标的资产对市场流动性的敏感性系数β=0.5,期权的无风险利率r=0.01,相关系数ρ1=0.25,ρ2=0.35,初始值L0=0.3,γ0=1.

所得到的特征函数是无穷级数的形式,需要进行截断.以算术平均亚式期权为例,固定K=110,近似公式解的收敛速度如图1所示.在n和n+1处截断无穷级数得到的期权价格,其绝对差值如图1(a)所示.可以明显地观察到,期权价格的绝对差值随着n值的增加急剧减小到0,这表明近似公式解快速收敛.此外,在初始价格S0=100的情形下,使用n=70与n=71计算的期权价格一致,如图1(b)所示.因此,将截断n=70得到的价格作为近似公式解的收敛期权的价格.

(a) 截断n与n+1项期权价格绝对差值

接下来考虑对定价公式中涉及的中间项PA,1和PA,2,PG,1和PG,2进行截断.以算数平均亚式期权的PA,1和PA,2为例,PG,1和PG,2的截断与此一致.在初始价格S0=100、执行价格K=110情形下,用M1和M2分别表示PA,1和PA,2中无穷积分的截断项数,通过Matlab模拟,相应的期权价格如表1所列.不难发现,当M1和M2分别大于30时,得到的期权价格都相等.本文保守选择对PA,1和PA,2截断40项,即M1=40和M2=40,这样得到的期权价格具有较高的准确性和效率.

表1 PA,1和PA,2的截断项数对价格的影响

为确保推导过程中没有代数错误,并验证亚式期权近似公式解的有效性,现将两种亚式期权的近似公式解价格和蒙特卡洛价格做出比较,如图2所示.由于蒙特卡洛方法需要进行大量的模拟路径以保证高精度的结果,本文对于每个期权值,均采用500 000条路径的平均值作为蒙特卡洛的价格[4].可以清楚地观察到,所有类型的期权,包括实值期权、虚值期权和平值期权,其近似公式解的价格均逐点地接近相应的蒙特卡洛价格.进一步比较算术平均亚式期权的两种方法所需的计算时间,发现计算图2(a)中的11个期权价格,近似公式解法仅需3.17秒,而蒙特卡洛法要346.89秒.因此,近似公式解法可靠性很强,并且与传统的蒙特卡洛法相比,近似公式解法在效率上表现出明显的优势.

(a) 算术平均亚式期权—固定S0=100

为了证明两种方法的结果高度一致,进一步分析其各自得到的数据,结果如表2-表5所列.对于固定的初始价格S0=100,不同执行价格K得到的两种期权价格如表2和表4所列.在给出的所有执行价格K下,两种方法的绝对误差都小于0.01,相对误差低于0.02%.而对于固定的执行价格K=110,不同初始价格S0得到的期权价格如表3和表5所列.尽管当S0的值与K的值差距较大时,对应的相对误差也较大,但两种方法呈现出来的绝对误差仍然小于0.01,相对误差控制在0.05%以内.这进一步证实了亚式期权近似公式解的可行性.

表2 算数平均亚式期权CA——固定S0=100

表3 算数平均亚式期权CA——固定K=110

表4 几何平均亚式期权CG——固定S0=100

表5 几何平均亚式期权CG——固定K=110

最后分析相关系数对期权价格的影响.以算数平均亚式期权为例,给出5组实例,分别为:ρ1=0,ρ2=0;ρ1=-0.5,ρ2=-0.5;ρ1=-0.5,ρ2=0.5;ρ1=0.5,ρ2=-0.5;ρ1=0.5,ρ2=0.5,其对价格的影响如图3所示.与预期结果相同,近似公式解得到的价格随着相关系数ρ1和ρ2的增加而增加.这主要归因于两方面的原因:一方面,当ρ1变大时,标的资产价格增加会促使贴现因子γt降低,从而导致更高的看涨期权价格;另一方面,较大的ρ2在标的资产价格增加时会产生更低的市场流动性,进而增加看涨期权的价格.因此,本文采用的相关性结构更贴近金融市场.

图3 相关系数对价格的影响

4 结语

本文研究了标的资产流动性不足时的亚式期权的定价问题.从近似解角度出发,将亚式期权的定价近似转换为欧式期权的定价,将具有均值回归模型的市场流动性因子纳入贴现因子满足的动态随机过程,通过求解整个复杂随机过程的特征函数,得到了亚式期权无穷级数形式的闭式近似定价公式.通过数值实验验证了近似公式的收敛速度和精度,保证了近似公式解的实际有效性.