广义数量矩阵的逆矩阵

赵 丹,杨 森

(鞍山师范学院 数学学院,辽宁 鞍山 114007)

数量矩阵是指对角线上为某数a,其余位置均为零的矩阵.适当放宽这个要求,令对角线上元素全是a,其余位置元素均为某个数b(b≠0),即形如

的矩阵,称之为广义数量矩阵,记为Kn(a,b),简记为K(a,b).

文献[1-3]探讨了广义数量矩阵的行列式的简便求法,即从第二列开始将后面所有列全部加到第一列上,提出公因子a+(n-1)b,再从第二行开始依次减掉第一行,变成上三角形行列式进行求值,可得结果为 [a+(n-1)b](a-b)n-1.由此可知,矩阵K(a,b)可逆的充要条件是a≠b且a+(n-1)b≠0.

定理1设K(a,b)为n阶广义数量矩阵,则存在n阶矩阵

使得

即

P-1K(a,b)P=diag(a-b,…,a-b,a+(n-1)b)

当K(a,b)可逆时,有

证明易求矩阵K(a,b)的特征多项式为[λ-a-(n-1)b](λ-a+b)n-1,所以它的特征值是λ1=a+(n-1)b和λ2=a-b(n-1重).

将特征值λ1=a+(n-1)b代入齐次线性方程组[λ1E-K(a,b)]X=0,有

化系数矩阵为行阶梯形

将特征值λ2=a-b代入对应的齐次线性方程组[λ2E-K(a,b)]X=0,化系数矩阵为行阶梯形可得

则有x1+x2+…+xn=0,令x2,…,xn为自由未知量,取

可得基础解系为

所以属于特征值λ2=a-b的线性无关特征向量设为

对应特征值λ2=a-b的特征子空间为n-1维.

由上可知,K(a,b)恰有n个线性无关的特征向量,因此可对角化.事实上,对∀a,b都存在同一个可逆矩阵,即把所有特征向量按顺序组成n阶可逆矩阵

使得

即

P-1K(a,b)P=diag(a-b,…,a-b,a+(n-1)b)

当K(a,b)可逆时,两边同时取逆可得

定理1得证.

定理1说明了对于广义数量矩阵K(a,b)可以实现一致对角化,即无论a,b取何值,都存在同一个矩阵

可以将其对角化.有了定理1的结论,下面,将利用定理1进一步深入研究广义数量矩阵逆矩阵的求法.用传统方式求广义数量矩阵的逆矩阵有很大局限性,一是计算量很大,即便对于三阶或四阶的矩阵都是如此;二是针对高阶的广义数量矩阵没有办法利用初等变换实现求逆.例如:

(1)求A的特征值及所有特征向量;

(2)A可逆的充要条件是什么? 当s=-1时,A是否可逆? 若A可逆,求A的逆矩阵.

由此题结论可以看出,虽然将A和E并排放在一起化为行阶梯形算出了逆矩阵,但初等变换的过程烦琐,计算量很大,不能很快求出结果且中间过程容易出错.那么思考:既然广义数量矩阵K(a,b)的逆矩阵仍是广义数量矩阵,是否会有一个可求一般K(a,b)的逆矩阵的更简单有效的方法.先看以下定理:

定理2n阶广义数量矩阵K(a,b)可逆的充要条件是a≠b且a+(n-1)b≠0.此时K(a,b)的逆矩阵为K(c,d),其中

证明不妨设K(a,b)-1=K(c,d),则由定理1可知

P-1K(a,b)P=diag(a-b,…,a-b,a+(n-1)b)

(1)

则有

P-1K(c,d)P=diag(c-d,…,c-d,c+(n-1)d)

(2)

当K(a,b)可逆时,对式(1)两边同时取逆可得

(3)

比较式(2)和式(3)可得

(4)

将式(4)可看成以c,d为未知数的线性方程组,因为系数矩阵的行列式等于n(n≠0),因此一定有唯一解为

所以,此时K(a,b)的逆矩阵为K(c,d),其中

定理2得证.

特殊类型的矩阵求逆矩阵,除了文献[1]中给出的一般方法外,还有其他更有效的方法,如文献[4-5]给出了几类特殊矩阵求逆的方法.对于广义数量矩阵,定理2给出了求它的逆矩阵的一般化公式,将定理2的公式应用例1中,可明显看出它的优点,因为此时求4阶广义数量矩阵的逆矩阵,可令a=1,b=-1,n=4,则由定理2给出的公式可得

解该6阶广义数量矩阵K6(1,3),设它的逆矩阵为K6(c,d),利用定理2的公式,即n=6,a=1,b=3,代入得

可以计算出

利用本文给出的结论,不但可以求出这类广义数量矩阵的逆矩阵,而且还可以极大地简化解题过程,提高解题效率.