指向核心素养的数学课堂问题情境设计

2024-01-29 03:51王智宇张维忠

当代教育与文化 2024年1期

王智宇，张维忠

(1.浙江师范大学教育学院，浙江金华 321004；2.台州市路桥中学，浙江台州 318000)

一、问题的提出

20世纪80年代末，在建构主义学习观的影响下，情境学习和认知理论兴起，提出“知识具有情境性，是主观的，动态发展的，无法直接传递的，是学习者在特定的情境脉络中持续地理解和建构中产生的”以及“知识与情境是相互作用，不可分离的，情境是一切认知活动的基础”等观点。情境学习和认知理论是我国中小学数学课程改革的一个重要理论基础，有效地推动了基于问题情境的数学课堂教学的发展。[1]当下，以核心素养为导向的教与学为数学问题情境的设计提供了更为广阔的空间。《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》提出：“数学学科核心素养在学生与情境、问题的有效互动中提升。在教学活动中，应结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养设计合适的情境与问题。”[2]《义务教育数学课程标准(2022年版)》进一步强调：“数学核心素养的培养要基于对现实世界的观察、思考和表达，即在探索真实情境所蕴含的关系中，发现问题和提出问题，运用数学和其他学科的知识与方法分析与解决问题。”[3]近年来，许多学者从不同的视角对核心素养与数学问题情境的关系进行了研究。比如，基于知识建构的视角，黄翔认为核心素养的特性决定了它的孕育、养成常常是在学生与数学问题情境的持续互动中，通过不断解决问题、创生意义的过程而形成的。基于情境任务的学习，本质是个体与环境交互作用过程中建构、组织起来的一种动态的交互关系，能够有效地发展学习者的协调、应变、适应复杂环境的能力和相应的品性，拓展数学学习的思维空间，为素养的孕育和生长创造条件。[4]基于核心素养内涵的视角，孙晓天认为数学的眼光可以看作数学抽象的门槛，即从真实的问题情境中先剥离出物理属性，再剥离出与解决问题无关的元素，最后结合最初的问题情境寻找剩余关键元素之间的关系。数学的语言既是沟通真实世界与数学世界的桥梁，也是理解数学世界的工具和解决数学问题的载体。数学的思维主要表现为推理，把教学过程中涉及的数学思维活动，包括运算和数据分析等都放在推理的框架下，与现实世界的需要联系在一起。[5][6][7]基于学习迁移的视角，张华认为素养能超越具体情境的限制，广泛应用于不同情境之中，且适应情境的不断变化。促进素养发展的知识学习需要与多样化的情境相联系，使其迁移性获得最大化。[8]由此可见，创设数学问题情境是培育学生核心素养的重要载体，具有不可或缺性，它直接影响着学生的数学知识建构和思维发展。

然而研究表明，目前课堂中存在“教学导入情境过多”“情境与问题关联度低”“狭义理解情境”“去情境化不及时”等“失度”现象。[9][10]这表明一线教师在教学实践过程中，对如何设计数学问题情境的“水平特征”“素养培育目标”“基本框架”和“基本路径”等方面存在认识上的不足。笔者梳理相关文献时发现，在数学课堂教学层面，关于指向核心素养的数学问题情境设计的研究相对缺乏。因此，本研究认为有必要在分析数学问题情境的水平特征以及明确问题情境的素养指向的基础上，构建指向核心素养的数学问题情境设计的基本框架，并提出课堂问题情境设计的基本路径，为数学教学设计提供指导。

二、指向核心素养的数学问题情境设计框架的构建

(一)数学问题情境的水平特征分析

罗日叶提出问题情境是指为了完成某个既定任务，由人为加以联结的一组背景化和结构化的信息，包含“情境的复杂性水平”和“任务的复杂化水平”两个特征。其中，“情境的复杂性水平”特征由“情境的背景化”“基本知识与技能的性质和数量”以及“联结这些知识与技能的类型”三个因素构成，与学生已有的学习经验、学习兴趣和学习环境等因素有关。“任务的复杂化水平”主要取决于学生完成任务的内容所使用方法的认知水平、情感水平或动作水平以及所面临的学习环境。[11]陈志辉认为数学问题情境指的是通过某种信息传递形式、承载一定认知任务要求且含有相关数学知识和数学思想的环境，并从“情境类型”“数学特征”“表征特征”“任务特征”四个方面构建了问题情境的特征水平分析框架。[12]此外，由于数学问题情境蕴含情境的问题化过程，教师在设计过程中往往要考虑从情境中抽象出数学问题的数学表征过程。徐斌艳等认为数学表征有助于在情境与数学问题之间建立一种映射关系，即通过利用符号、图形、语言、文字等表达数学概念或关系，为数学化过程提供支持工具。[13]

结合已有研究，数学问题情境的水平特征包含“背景呈现”“数学表征”“任务要求”三个要素。“背景呈现”指向学生对问题情境的亲近感知程度，由近到远分为“熟悉”“关联”“综合”三个层次。其中，“熟悉”指向学生在先前的数学课程学习中接触过的、感兴趣的、现实生活环境中常见的背景；“关联”指向学生不太熟悉的、先前没有接触过的情境，可以是数学内部不同知识模块的关联背景，也可以是数学与生活实践、历史文化、其他学科以及科技应用等之间的关联背景；“综合”指向学生感到陌生的，甚至是感到遥远的情境，需要学生开展探究与创新的情境，是数学知识内部与外部之间更广泛的、更深层的、更隐蔽的关联背景。“数学表征”指向学生能否在情境中提取数学信息并转化为有利于问题解决的数学表征方式的能力，包含对情境与问题的表征以及相互转换，水平从低到高分为“解释”“选择”“设计”三个层次。其中，“解释”是指学生能够识别问题情境呈现的表征和直接利用文字、符号、操作性模型、图形或图表等表征进行解释；“选择”是指学生能够为问题情境的理解或问题解决选择恰当的表征方式以及能够在不同的表征之间进行相互转换；“设计”是指学生在能够熟练运用各种数学表征方式的基础上，为情境的理解和问题的提出以及问题解决的关键点设计特定的表征方式。“任务要求”指向学生分析问题情境中蕴含的数学关系以及完成学习任务所需要达到的认知水平和动作水平，从低到高分为“理解”“分析”“创造”三个层次。“理解”是指学生能够理解问题情境中蕴含的数学概念、性质、公式、定理和公理等的基本含义与特征，运用数学基础知识、基本规则和基本方法解决简单的数学问题等；“分析”是指学生能够进行类比数学推理，区分和识别数学问题情境蕴含的数学内容的本质属性，将统一整体下的各部分数学内容分类和建构联系，综合运用各种知识和方法分析和解决常规性的较为复杂的数学问题；“创造”是指学生在复杂的问题情境中将源于不同整体下的关联度更低的数学要素整合在一起形成内在一致的功能整体，能够运用数学思维和思想方法创造性地通过猜想、验证来解决非常规性的数学问题。

(二)数学问题情境设计的核心素养指向和基本框架

喻平认为核心素养的生成源于对知识的学习，而知识学习表现为“知识理解”“知识迁移”和“知识创新”三种形态，对应由学习转化而来的核心素养的三种水平。以数学学科为例，“知识理解水平”表现为“了解知识产生和发展过程，形成概念体系和命题体系，应用数学基础知识、基本规则和基本方法解决简单的数学问题等”；“知识迁移水平”表现为“能够进行类比推理，迁移知识以解决与数学知识相关的现实情境问题、数学内部不同情境问题、不同学科情境问题，掌握知识结构及其相关的数学思想方法，综合运用各种知识和方法解决常规性复杂问题等”；“知识创新水平”表现为“具有探究问题的意识，具备探究问题的能力，具备解决非常规性的数学问题的能力和形成基于数学思维的世界观和方法论等”。[14]喻平对“知识理解”“知识迁移”和“知识创新”的界定表明知识的迁移性孕育着素养的迁移性，既可以用于学习过程的评价，也可以用于对学习结果的评价。数学知识学习的三种形态孕育在数学内部的发展和社会生产生活两个方面的情境中，不仅蕴含着数学知识的产生和发展过程，同时还蕴含着数学基本思想的呈现过程，指向学习者通过整合和评估已有的学习经验，形成理解、分析和解释数学问题的能力。同时，数学知识学习的三种形态也凸显了数学核心素养发展的阶段性和层次性特征。弗赖登塔尔的现实数学教育理论强调开发与生活紧密结合的情境，抽象出情境的一般化特征，形成具体的教学模式，并用这个模式解决相关问题，最后通过这些模式使学生逐渐逼近形成的数学知识。因此，数学教育的任务就在于确定各类学生不同阶段必须达到的数学现实，将客观现实材料与数学知识体系融为一体。[15]

上述研究表明，核心素养的培养与数学问题情境创设存在对应性和同步性，这为通过真实的数学问题情境设计促进核心素养的培育提供了方向。具体而言，在“知识理解”阶段，将学生置身于熟悉的现实生活情境或数学情境中，发现和提出数学问题的原型，理解数学知识的生成和发展的真实情境脉络，用数学的眼光抽象出数学问题中蕴含数学概念的基本特征，通过演绎和归纳能够合理地解释以及恰当地表述新知识，并能够应用基本方法解决简单的数学问题。在“知识迁移”阶段，将学生置身于关联的数学问题情境中，用数学的语言进行描述和推理，将不熟悉的数学问题情境转化为熟悉的数学问题情境，引导他们运用各种数学知识、技能和思想方法，通过类比推理解决常规的简单的或者较复杂的数学问题。在“知识创新”阶段，将学生置身于综合的数学问题情境中，引导学生综合运用数学思维和语言表达解决非常规的问题情境(包括结构不良的问题情境以及通过对旧的问题情境进行推广和变式形成的超越教材之外的情境)，从而获得元认知知识，形成探究问题的意识和能力，养成反思的习惯。

综上分析，本研究构建了指向核心素养的数学问题情境设计的框架，如表1所示。

表1 指向核心素养培养的数学问题情境设计的框架

三、指向核心素养的数学问题情境设计的基本路径及例举

问题是数学的心脏。数学的发展是由数学问题驱动的。数学知识的习得建立在一连串的问题的分析和解决的基础上。在课堂教学中，数学问题链是以多种方式呈现给学生的、有序的主干数学问题序列，为学生提供数学思考的载体，培养数学思维。[16]问题情境体现了问题的情境化，即情境设计是为数学问题的发现、提出、分析和解决创造条件和提供支持。笔者认为，指向核心素养的数学问题情境设计应当基于数学问题链教学，其基本路径包含以下四个基本步骤。

第一步是确定数学问题情境设计的素养具体指向。核心素养的形成具有阶段性、综合性和持久性等特征。教师要基于数学课程标准、数学教材分析和专家思维等视角，结合学生的学习经验以及达到的数学现实，从数学单元整体教学的视角关注数学知识、方法和思想的体系化，确定学生通过某一节课的知识学习在“知识理解”“知识迁移”“知识创新”三个层面所达到的具体素养目标。核心素养在各层次的具体目标可以从“在探寻数学知识本质的过程中要解决哪些核心的数学问题，从数学问题的发现、提出、分析和解决的过程中经历了什么样的学习过程，如何评价学习效果以及如何促进学后反思”等方面进行表述。

第二步是寻找数学问题的真实情境原型。关于情境的真实性，崔允漷认为学生对于知识意义的感受与理解往往是通过在真实情境中的应用来实现的，并且评估学生是否习得核心素养的最好做法就是让学生“做事”，而“做事”必须要有真实的情境。[17]刘徽认为在真实的情境中引导学生沟通数学与现实生活以及数学内部的联系，激发学生的探究和挑战的欲望，完整地经历问题解决的过程，建立关于知识理解的记忆。[18]因此，结合“数学知识的发展来源于社会生产实践以及数学学科内部发展的需要”这一事实，可以把真实情境分为现实世界情境和数学内部情境。其中，现实世界情境可用于抽象出数学知识的原型，比如从生活情境中抽象出函数的概念，从物理学情境中抽象出平面向量的概念和运算法则，从人口增长和银行理财等社会情境中抽象出等比数列的模型等。数学内部知识情境用于揭示数学知识的内在逻辑发展过程，例如从纯数学情境中归纳形成根指数的表示方法以及指对数式的互化，从数学史情境探寻正余弦定理的多样化证明方法，从数学文化情境中发现和提炼基本不等式的原型等。

第三步是设计问题情境的召唤结构。由于问题情境具有交互性，因此教师要设计数学问题情境的召唤结构。这种召唤结构一方面蕴含数学思维屏障，另一方面也为数学思维发展提供方向。李怀军认为召唤结构包括“空白”“空缺”或“否定”三个要素。其中，“空白”指的是设计者隐含部分信息，让学习者结合自己的学习经验进行补充；“空缺”指的是设计者提供的情境的信息不连贯，需要学习者重新组织情境的逻辑关联；“否定”指的是情境中的信息或任务让学习者产生认知冲突和激发探究欲望。[19]由此可见，这三个要素同时蕴含激励性、启发性、生长性、干扰性和联系性等多种特征，形成召唤力，在知识学习的不同阶段为学习者实现理解、迁移和创新提供支持。同时，这三个要素也为情境的复杂程度设计提供了更多的空间，具体表现为两个方面：一是教师在预设问题链中的某个主干问题教学时设计多样化的情境，这些情境的复杂程度可以是等价的，也可以是不断递进的，这与学生解决该主干问题所具备的学习经验以及所需要达到的认知水平有关；二是教师在预设整条问题链的教学时对情境的复杂程度有整体设计。从总体上看，问题链上的主干问题的有序性决定了情境的复杂程度是不断提高的。因此，教师要先基于对“数学知识的本质、学生的数学现实和教学的目标”等方面的理解，再结合“背景呈现”“数学表征”“任务要求”三个维度展开问题情境的设计，从而使问题情境能够真正帮助学生贯通认知的起点和终点，破除思维障碍。

第四步是评价和优化数学问题情境。数学问题情境是情境内容、学生经验和数学内容三者的融合。罗日叶认为一个好的情境可以通过四个不同的轴组合起来，分别为：一个真正的靶向情境、一个对学习有用的情境、一个激发学生动机的情境、一个可以实现的情境。[11]吴晓红认为一个好的问题情境应当具备五个功能，分别为：能够激发学习数学的兴趣、沟通数学与现实生活之间的联系、培养学生的问题意识以及提出问题的能力、培养学生抽象概括能力、逻辑推理能力和数学建模能力、提供问题解决和新知识运用的情境。[20]李昌官认为促进核心素养发展的数学问题情境应当具有目的性、联系性、问题性、启发性和激励性等特征。[21]这些研究为评价和优化单个数学问题情境提供了重要参考，但对整个教学任务中由问题情境构成的问题情境链缺乏系统性地评价。一条好的数学问题情境链应当具有阶段性、层次性、整体性、持续性和多样性等特点，形成情境到问题再回到情境的完整闭环，同时具备以下几个特征：一是有效地服务于整个教学目标的达成，为发展和培育学生的数学核心素养提供支持；二是让召唤结构形成合力，为学生发现和探究问题提供足够的空间；三是为学生的思维发展提供指导，让学生真实地理解学习内容，为激励学生积极参与知识建构提供持续动力；四是为学生提供反思的机会，促进学生高质量地学习。

下面结合人教A版(2019版)高中数学教材必修2第7章中“数系的扩充与复数的概念”内容的教学过程，例谈如何通过设计数学课堂问题情境促进核心素养的培育。

第一阶段：指向“知识理解”的问题情境设计

本阶段的素养目标包括：从多样化的问题情境中了解引入复数的必要性和重要性；从数系扩充的数学史情境中归纳出数系扩充过程中的一般规则，体会数系扩充过程中数学理性思维的价值。设计如下：

设计意图：创设真实的数学历史情境，激发学生产生认知冲突和探究欲望，发现并提出“负实数能否平方”这一数学问题。

问题情境2：从方程的角度看，“负实数开平方”这一问题可以简化为什么问题？在过去的学习中，你是否也碰到过类似于“方程在限定的数集范围无解”的问题？你能结合“方程x+1=0在自然数集中的求解、方程3x+1=0在整数集中的求解以及方程x2-2=0在有理数集中的求解”谈一谈自己的想法吗？

设计意图：创设熟悉的数学情境，从解方程的角度将“负实数能否开平方”这一问题表征和转化为“方程x2+1=0的解”的问题。引导学生通过演绎推理归纳出数系的扩充的几条规则为：引入新的数，将原数系进行扩充为新数系；原数系成为新数系的一部分；原数系和新数系中的运算规则和性质协调一致。

问题情境3：每一次数系扩充的原因是什么？分别解决了什么问题？

设计意图：创设熟悉的历史情境、社会情境和现实生活情境，引导学生探索数系扩充的原因，体会数学知识的发展往往基于数学内部发展和社会生产实践的需要，感悟数学知识的应用价值。

问题情境4：类比自然数系到实数系的扩充过程，你能否找到一种方法，使方程x2+1=0有解吗？追问：引入新的数之后，实数系就进行了扩充，在新的数系中，数有哪些新的表示呢？这些数能有统一的表示形式吗？能表示出这些新数组成的集合吗？

设计意图：创设熟悉的数学情境，引导学生类比数系的扩充过程，引入虚数的概念，并归纳新数的统一表示形式以及形成复数的概念。

问题情境5：请同学们进行数学阅读，先回答以下问题：(1)复数a+bi(a，b∈R)的虚数单位、实部、虚部分别是什么？(2)举例说明什么是虚数和纯虚数？(3)如何对复数进行分类？并解答课本上2个例题。

设计意图：设置学习任务，引导学生自行建立复数相关概念的知识网络，应用复数的知识解决简单的数学问题，体会分类讨论和转化与化归等数学思想方法。

第二阶段：指向“知识迁移”的问题情境设计

本阶段的素养目标包括：从关联的数学情境中建立复数与三角函数和向量等知识的联系，理解复数的几何意义，能够利用复数知识解决新情境中的数学问题，体会到复数的广泛应用性。设计如下；

问题情境6：欧拉公式e1θ=cpsθ+i·sinθ(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，当θ=π时，就有eiπ+1=0，根据上述背景知识，设复数z=e-i的实部为a和虚部为b，则点P(a，b)落在哪个象限上？追问：复数有什么几何意义呢？

设计意图：创设关联的问题情境，引导学生意识到“复数的概念“与“三角函数的定义、三角函数的有界性以及向量的几何意义与坐标表示”等知识具有关联性，能够解释复数的几何意义，利用复数的知识解决向量运算中的问题。

第三阶段：指向“知识创新”的问题情境设计

本阶段的素养目标包括：回顾“复数的概念”的引入、生成和发展过程，探索和归纳数系新概念学习的一般过程和方法；联系数学知识的学习过程中蕴含的基本数学思想，生成新的问题情境；从复数的发展史中感悟到数学思维蕴含的理性精神以及数学思维，形成正确的世界观和方法论。设计如下：

问题情境8：结合本节课学习的过程，请你谈谈利用通过旧知识推动新知识的学习？

设计意图：创设关联的数学问题情境，引导学生生成超越教材内容规定的元认知知识，比如形成“新知识的学习与旧知识存在依存关系或逻辑关系”“对旧问题进行变式或者类比推理可以产生新问题”等认识。

问题情境9：联系“平面向量的线性运算”内容的学习过程，我们会进一步学习复数的哪些知识以及如何学习？

设计意图：创设关联的数学情境，引导学生利用类比推理发现新问题、新知识和新方法，形成探究问题的意识和能力。

问题情境10：人们最初发现复数时充满了困惑、怀疑、甚至敌意。在无数数学家的努力下，又经过长达300年的时间，复数终于被揭去神秘的面纱，不再是虚无缥缈的虚幻之数。请结合复数相关知识的发展和广泛应用(课上为学生提供视频素材)，谈谈你有哪些感悟？

设计意图：创设真实的历史情境和科学情境，让学生感受复数的发展虽然曲折而漫长，但是其意义重大而深远，体会数学家们寻找真理的决心和百折不挠的精神，理解数学对于认识和改造世界以及塑造个人价值观的重要意义，激发数学学习的内驱力。