基于扩张状态观测器的快速反射镜滑模控制

缑泽恩，韩顺杰，李双成，粟 华

（1.长春工业大学 电气与电子工程学院，吉林 长春 130012；2.长春奥普光电技术股份有限公司，吉林 长春 130033）

0 引言

快速反射镜（fast steering mirror，FSM）是一种用于精确定位和控制光束方向的光学元件。它由一个反射面和一个驱动系统组成，通过驱动系统的精确调节，实现对光束的快速偏转和稳定定位。快速反射镜具有体积小、功耗低、响应速度快和高精度控制等优势[1]，广泛应用在各类航空相机中，能够补偿振动和运动引起的像移和模糊，提高成像质量和系统性能。此外，在天文望远镜、激光通信、自适应光学系统、光学雷达和光电稳定跟踪等领域，快速反射镜也发挥着独特而不可替代的作用[2]。与传统的跟踪仪器相比，快速反射镜具有较高的谐振频率和较小的惯性，可实现更高的角分辨率，并显著提升系统的带宽和响应速度[3]。为满足快速反射镜系统跟踪目标时，跟踪速度的快速性和抗干扰的能力，需要采用一种恰当的控制算法。比例-积分-微分（PID）控制作为一种经典的线性控制方法，结构简单，参数整定容易，早期应用于快速反射镜系统中[4]。但PID 控制所能达到的跟踪精度、响应速度和抗干扰能力还有待提升。为提高快速反射镜系统的适应性，研究人员将自适应算法[5-6]应用于FSM 系统之中。文献[7]结合经典PID 控制和自适应前馈控制两种算法的优点，同时结合解耦理论，提出了一种解耦的复合控制算法，有效抑制光束抖动并增强了系统的控制精度。文献[8]通过引入模糊设计思想，在经典PID 控制器的基础上，设计了模糊自适应PID 控制器，跟踪能力进一步提高。自抗扰控制是韩京清教授[9]提出的一种非线性控制理论，而扩张状态观测器是自抗扰控制技术的核心组成部分，是一种主动抗扰动控制方法。它直接将系统内外的未知扰动视为总扰动，并通过系统的输入输出对其进行估计和补偿，从而抵消扰动，达到抗扰动的目的。

本文基于快速控制反射镜数学模型，考虑到外界扰动未知的条件下，提出了一种改进的滑模控制（sliding mode control,SMC）方法并构造了一个扩张状态观测器（extended state observer，ESO）观测系统受到的外界总扰动，简称SMC＋ESO 方法。SMC＋ESO方法不仅可以获得更好的动态性能和稳态性能，而且可以解决传统滑模控制器存在的抖振问题，减小了抖振，仿真结果验证了该方法的有效性。

1 快速反射镜系统的数学模型

目前主流的快速调节角度的驱动器分别是音圈电机和压电陶瓷[10]，二者被广泛应用于快速反射镜系统。压电陶瓷通过“逆压电效应”实现机械能和电能互相转换，它具有转动惯量小、重量轻、噪声小、发热少且无杂散电磁场等优点，但存在迟滞和蠕变等非线性特性，对系统跟踪精度造成影响。音圈电机（voice coil actuator,VCA）是一种特殊形式的直线驱动电机，相比于压电陶瓷驱动器，它的结构简单、响应频率低、无滞后、体积小，具有更大的运动行程，而且对振动、冲击等工作环境具有较强的适应性。因此，本文选用音圈电机作为快速反射镜系统的驱动元件。

音圈电机的运行基于安培力原理，即通电线圈（导体），在磁场中会产生一力F，力的大小与施加在线圈上的电流成比例，具体公式表示为：

式中：N为受到磁场作用的线圈匝数；I为电流大小；L为线圈每匝长度；B是磁场的磁感应强度。将音圈电机等效为一个电路原理图如图1所示，根据基尔霍夫第二定律可得音圈电机电压平衡方程：

图1 音圈电机等效电路图Fig.1 Equivalent circuit diagram of VCA

其中电机产生漏感抗电压E＝keVe。

式中：ke为反电动势常数；Ve为线圈运动速度；线圈电感L的感应压降UL＝L×di/dt；通过电阻R的电压UR＝Ri。将这些等式重新代入上式得：

根据快速反射镜在转动过程中受到的音圈电机驱动力矩、阻尼力矩、柔性铰链力矩以及惯性力矩作用，得到FSM 系统的机械平衡方程为：

式中：J、θ、km分别为快速反射镜的转动惯量、镜面转角、柔性铰链扭转刚度。

对式(3)和式(4)进行拉氏变换并联立可得：

式中：c为粘滞阻尼系数，消去中间变量i(s)，得：

由于音圈电机的电感L和粘滞阻尼系数c很小，建模时可以忽略不计，所以反射镜模型可近似为：

2 滑模自抗扰控制器设计

2.1 ESO 设计

扩张观测器将对系统输出有影响的内扰和外扰看成一个总扰动扩张成系统的一个新状态变量，并对系统中各个状态变量进行观测，构造出新的系统状态方程。

以快速反射镜作为被控对象，将其复频域函数模型式(7)改写为二阶微分方程：

将系统各种外部扰动和模型误差等效为一个扰动d，则式(8)可以写为：

式中：x1代表位置信号，x2代表此时运动速度，根据(9)式把f作为一个新的被扩张状态变量加入到系统中，即令x3＝f，符号上面加点代表此量对时间的导数。

根据被控对象的控制量u和输出量y，扩张观测器可以对系统的位置、速度以及总扰动进行估计。其表达形式如下：

式中：Z1是对位置x1的估计；e1是估计误差；Z2是对此刻运动速度x2的估计；Z3是对总扰动的估计；β1、β2和β3是扩张观测器的增益。

由式(11)可以得到误差传递矩阵，进一步写出其特征方程为：

根据高志强教授基于带宽参数确定ESO 增益的算法[12]，有期望特征方程：

比较系数可得到观测器增益向量为：

2.2 滑模控制器设计

滑模控制通过控制量切换使系统运动轨迹将保持在滑模面上滑动，具有结构简单、鲁棒性好、可靠性高、抗干扰能力强的优点。本文设计了扩张状态观测器来观测系统所受总和扰动，通过观测扰动来补偿控制器，减少了对滑模控制增益的要求，从而减少了抖振。本文定义快速反射镜位置跟踪误差为：

式中：θd为期望跟踪的轨迹；y为实际轨迹。对式(14)求导可得速度跟踪误差：

根据上节扩张观测器的定义，结合式(14)和式(15)得到：

定义滑模面为：

式中：c＞0。对式(17)求导并代入式(16)可得：

因此控制的控制器输出为：

2.3 稳定性分析

对于滑模控制器，选取Lyapunov 函数：

则：

综上所述，快速反射镜系统的控制器的原理框图如图2所示。

图2 基于扩张状态观测器的滑模控制结构框图Fig.2 Fragments of sliding mold control structure based on the extended state observer

3 仿真实验

为了验证本文提出的SMC-ESO 算法在快速反射镜系统中的性能，采用Matlab/Simulink 对其有效性进行仿真验证。SMC-ESO 算法的控制参数分别为：ω0＝100，ε＝100，k＝800，c＝180。传统滑模控制算法（SMC）的相关参数与之选取相同。首先对系统进行阶跃响应实验，给定幅值为1 的单位阶跃输入，对两种算法对比分析，如图3所示。SMC 算法上升时间为0.0379 s，系统到达稳态的时间是0.0581 s；SMC-ESO算法上升时间为0.0188 s，系统到达稳态的时间是0.0354 s。基于扩张状态观测器的滑模控制器较前者的上升时间缩短了50.4%，调节时间缩短了39.1%。根据仿真实验可知，SMC-ESO 算法具有较快的响应时间和调节时间。

图3 快速反射镜系统阶跃响应Fig.3 Step response of fast steering mirror

两种控制算法的跟踪误差曲线如图5，从图中可以看出，基于扩张状态观测器的滑模控制和传统滑模控制的最大跟踪误差分别为0.0241、0.0347，前者跟踪精度较后者提高了30.5%，具有更好的位置跟踪能力和更强的抗干扰能力。

图5 正弦跟踪误差曲线Fig.5 Sine tracking error curves

4 结论

本文对快速反射镜系统进行分析与建模，针对系统跟踪时的快速响应和抗干扰问题，通过引入自抗扰控制中的ESO，提出了一种基于扩张状态观测器的改进滑模控制方法。该方法把系统所受总扰动扩张为新的状态变量进行观测估计，并补偿到控制输入中，使跟踪误差收敛的同时减小抖振。仿真实验结果表明：采用基于扩张状态观测器的改进滑模控制器，较传统滑模控制器，上升时间缩短了50.4%，调节时间缩短了39.1%，跟踪精度提高了30.5%。在不同输入信号下，本文的方法较传统滑模控制具有更高的控制精度，更强的抑制干扰能力，具有更好的动态性能。