一种永磁同步电机模型失配容错控制算法*

黄 刚,张雨涵,龚事引,于惠钧,李祥飞

(1.湖南工业大学a.轨道交通学院;b.电气与信息工程学院,株洲 412007;2.湖南铁路科技职业技术学院铁道工程与信息学院,株洲 412006)

0 引言

伴随着永磁体材料以及新型控制技术的发展,具有效率高、运行可靠、噪声小等诸多优点的永磁同步电机(permanent magnet synchronous motor,PMSM)已经广泛应用于数控机床、电动汽车、新能源等领域[1-2]。然而,在复杂工况下,电机永磁体受温升影响会出现高达20%的失磁,其等效到转子轴承上的转动惯量与摩擦系数也易受外部因素影响发生摄动,PI算法难以满足高精度应用场合的控制要求[3]。

为改善PMSM系统的控制性能,国内外学者提出了多种先进控制方法,如滑模控制[4]、模型预测控制[5]、神经网络控制[6]等。滑模控制由于其对非线性系统具有响应速度快、对扰动不敏感等优点,在电机控制领域得到广泛应用。

然而,受多种因素影响,PMSM运行过程中广泛存在着模型不确定性。一些研究已经表明,模型不确定性会降低系统控制性能,并且影响驱动器的鲁棒性。针对模型失配现象,HUANG等[7]构建了3个互相耦合的参数观测器来获取动态机械参数值,但受耦合关系制约,参数调节较为困难。张晓虎等[8]提出了一种基于自适应互联卡尔曼滤波器的多参数估计策略,在抑制噪声干扰的同时实现了对电感、磁链等电磁参数的精确估计,但多个卡尔曼滤波器的使用显著增加了计算负担。

FLIESS等[9]提出的无模型控制策略对以上问题提供了另一种思路。无模型控制仅对输入输出项进行建模,构造了一种超局部数学模型,将输入输出项以外的部分通过其他方式进行重构,在减轻计算量的同时实现了对于模型失配的容错控制。曹勇等[10]提出了一种PMSM位置环无模型控制策略,提升了电机在负载扰动下的鲁棒性,但未考虑模型失配的影响。许令亮等[11]提出了一种无模型转速预测控制方法,降低了传统预测控制对模型的依赖,但控制精度有待提高。赵凯辉等[12]利用扩展滑模扰动观测器实现了对部分电磁参数摄动的容错控制,但未考虑多参数同时变化对控制性能的影响。

为解决模型失配及外部扰动对PMSM控制精度造成的影响,提出了一种基于有限时间收敛扩张状态观测器(finite time convergent extend state observer,FTCESO)的无模型滑模控制策略。首先,建立了考虑内外不确定性的PMSM转速环超局部模型,并设计了无模型全局积分终端滑模控制器;其次,设计了FTCESO来降低模型失配带来的影响;最后,通过与其他方法在多种模型失配与外部扰动下的仿真和实验对比,验证了所提方法的有效性。

1 永磁同步电机数学模型

为了便于分析,忽略磁滞损耗和涡流损耗。当考虑因外部(如温度)变化引起的模型不确定性时,PMSM的定子电压方程如下:

(1)

式中:ud、uq分别表示d、q轴的定子电压,id、iq分别表示d、q轴的定子电流,Ld、Lq分别表示d、q轴定子电感,R表示定子电阻,ωe表示转子电角速度,ψf表示永磁体磁链,Δud、Δuq为电磁参数摄动引起的电压模型偏移量,分别为:

(2)

式中:ΔR、ΔLd、ΔLq、Δψf分别为定子电阻、定子电感以及永磁体磁链的偏移量。

考虑未知扰动引起的不确定性时,PMSM机械运动方程为:

(3)

式中:J表示转动惯量,Te表示电磁转矩,TL表示负载转矩,B表示摩擦系数,np为极对数,ΔM为转速环模型偏移量,形式为:

(4)

式中:ΔB、ΔJ分别为粘滞摩擦系数与转动惯量的偏移量。

2 无模型全局积分终端滑模控制器设计

2.1 超局部模型

PMSM转速环超局部模型可以表示为:

(5)

式中:F为PMSM转速环模型中包含已知项与未知项的一个满足 Lipschitz 有界原理的非线性函数,α为由部分已知系统参数组成的常数项系数。

无模型控制策略建模过程中仅需要输入项系数的粗略范围,且超局部模型中的模型偏移引起的干扰会在F中进行修正。因此,无模型控制在建模过程中无需获取系统的精确模型。

2.2 无模型全局积分终端滑模转速控制器

基于式(5)的超局部模型,无模型滑模转速控制器可以设计为:

(6)

χ=χ1+χ2

(7)

式中:χ1、χ2分别为待设计的等效与切换控制律。

为在不显著增加待调参数的情况下获得优良的滑动轨迹,提高系统控制精度,选用全局积分终端滑模面[13]。

(8)

式中:ϑ为滑模变量,e为转速跟踪误差,K1,K2∈R,1

当ϑ达到理想的滑动模态后,满足:

(9)

对式(8)求导后可得:

(10)

(11)

为迫使系统轨迹迅速向滑模面移动,确保状态变量到达过程的动态品质,设计如下切换控制律[14]:

(12)

式中:k1、k2、b∈R,且0

2.3 稳定性分析

在对控制器的稳定性进行分析前,作出以下合理假设。

雨过天晴，空气中悬浮着许多晶莹的小水珠，在阳光的照射下，水珠折射着七色波长——赤、橙、黄、绿、青、蓝、紫，形成了横挂天际的壮丽彩虹。自古以来人们对彩虹有着无尽的想象，李白有诗曰：“安得五彩虹，架天作长桥”。当代雕塑家黄剑用自己研发的七彩金工艺技术制作的雕塑作品，立意新颖、造型优美，流光溢彩，如同用天边的彩虹塑造而成。它集合了“错彩镂金”之美和“芙蓉出水”之美，恰恰代表了中国美学史上两种不同的美感和两种不同的美学追求，是彩虹之塑。

假设1:未知集总扰动F为一个Lipschitz有界量,满足:

|F|≤M

(13)

式中:M∈R,代表未知扰动的上界。

假设2:F存在一阶有界导数,即∀η>0,均满足:

(14)

定理1:当选用式(9)的滑模面,设计式(15)的无模型滑模控制律时,所设计的控制系统稳定,状态误差将在有限时间内收敛。

(15)

证明:定义Lyapunov函数:

(16)

对式(16)求导后可得:

(17)

由假设1,当扰动估计准确时,观测误差有界,定义:

(18)

则式(17)可以进一步表示为:

(19)

(20)

当k1(|e||ϑ|)1-b≥γ时,可得:

(21)

随着滑模变量逐渐收敛,当扰动观测误差存在时,ϑ将会收敛至如下邻域内:

(22)

在所设计的无模型控制器中,当扰动存在时,对扰动的估计误差将影响滑模变量的收敛效果。同时,当扰动估计足够精确,滑模变量将会收敛至一个无限接近于0的去心邻域内。因此,本文设计强收敛性的FTCESO来重构系统未建模干扰项。

无模型全局积分终端滑模控制器(model-free global integral terminal sliding mode controller,MFGITSMC)框图如图1所示。

图1 无模型全局积分终端滑模控制算法框图

3 有限时间收敛扩张状态观测器设计

3.1 有限时间收敛扩张状态观测器设计

基于转速环超局部模型,系统状态方程可以写为:

(23)

式中:ξ(t)为F的变化率。

将集总扰动扩张成一个新的状态变量,基于超局部模型的扩张状态观测器设计为:

(24)

式中:z=[z1z2]T为观测向量,z1、z2分别为转速观测值与扰动观测值,u为观测器输入量,对于转速环单输入系统而言,u=[iq0]T;A、B分别为输入项与观测项的系数矩阵,根据超局部模型设计为A=diag(α0),B=diag(0 1);H为待设计的控制项。

为确保观测器的有限时间收敛特性,设计一种非线性控制项[15],形式为:

(25)

为避免扰动突变时的峰值现象,定义:

υ=ρ[0.5+arctan(μ|z1-ω|)]

(26)

式中:μ>0,由于反双曲正切函数的饱和特性;υ为一个Lipschitz 有界量,满足:

(27)

(28)

3.2 稳定性与收敛时间分析

在分析观测器收敛时间前,介绍如下引理:

引理1[16]:若Lyapunov函数V(X(t))径向连续无界,且满足:

(1)当且仅当X(t)=0时,V(X(t))=0。

(2)当系统任意状态满足:

(29)

式中:λ1>0,λ2>0,01,则系统状态将满足如下全局固定时间收敛:

(30)

(31)

证明:根据式(28)的观测器方程和式(23)的系统状态方程可以得到观测误差动态方程。

(32)

定义Lyapunov函数:

(33)

求导可得:

(34)

(35)

由0.5<α1<1,β1=1/α1,故Lyapunov函数的指数项系数满足:

(36)

则根据引理1,e1将在有限时间t1内收敛到0。

(37)

当e1收敛到0后,满足:

(38)

重写式(32)的观测误差方程:

(39)

由式(38)与式(39)可得:

(40)

定义Lyapunov函数:

(41)

对式(41)求一阶导数:

(42)

当取m2=η+σ,σ>0,式(42)可以进一步表示为:

(43)

将式(43)化为积分形式:

(44)

式中:V2(t1)为式(41)的Lyapunov函数在t1时刻的瞬时值。

(45)

证毕。

(46)

式中:a>0。摆线作为最速降线,具有趋近时间最短的特点,并且切换过渡平滑,可以在有效提升趋近速度的同时削弱抖振。

FTCESO的算法框图如图2所示。

图2 有限时间收敛扩张状态观测器算法框图

4 仿真分析

本文采用id=0控制策略,用MATLAB/Simulink对PMSM矢量控制系统进行建模,所设计的MFGITSMC控制系统结构框图如图3所示。PMSM的参数如表1所示,PI控制、MFSMC、MFGITSMC三种方法的参数如表2所示。

表1 永磁同步电机参数标称参数

表2 不同方法的仿真参数

图3 PMSM系统控制框图

4.1 PMSM在模型失配下的仿真分析

设置初始转速750 r/min,在0.2 s时增大到1500 r/min。负载扰动与模型失配工况设置如表3和表4所示。

表3 负载扰动工况

表4 模型失配工况

图4～图7分别为3种方法在无参数失配、磁链失配、机械参数失配与全参数失配下的转速、转矩对比响应波形。

(a) 转速响应

工况1:无参数失配。

由图4可知,无参数失配下,PI控制可以迅速到达给定转速,但存在较大超调量,其由于难以迅速产生对应的电磁转矩,在阶跃扰动与正弦时变扰动下转速波动较大;相较于PI控制,MFSMC的抗扰性能有了一定的提升,实现了无超调的转速响应,但整体响应速度较慢;而MFGITSMC实现了转速的无超调快速响应,且能迅速输出与扰动匹配的电磁转矩,实现了更优的抗扰性能。

工况2:磁链失配。

当转子磁链受温度影响发生失磁时,电机输出的电磁转矩受到限制,从而影响系统的鲁棒性与控制精度。由图5可知,与无参数失配时相比,PI控制与MFSMC的抗扰性能均出现一定程度的下降,且PI控制在面对时变扰动时输出的电磁转矩已经开始滞后于MFSMC与MFGITSMC;而MFGITSMC的整体控制精度基本未受影响。

(a) 转速响应

工况3:机械参数失配。

由PMSM机械运动方程式(47)可知:

(47)

机械参数转动惯量与摩擦系数失配时,其对系统动态响应的影响略有不同。摩擦系数的大小主要影响电机除负载转矩外需克服的空载阻力大小,当转速越高需克服的阻力越大,但考虑到其基数大小,对于容错控制而言其本身小幅变化对控制性能影响较小;由式(47)可知转动惯量失配则对稳态影响较小,但其会显著影响系统的暂态(如升速与受扰后的调节过程等)性能,对控制精度影响最大。

由图6可知,当转动惯量增大时,MFSMC也出现了超调现象,且在发生阶跃与时变扰动后电磁转矩的响应出现滞后,控制精度受到影响;而MFGITSMC依旧维持了较快的响应速度与较高的控制精度。

(a) 转速响应

工况4:全参数失配。

考虑到实际系统中各个参数的变化是实时发生的,因此设置全参数失配工况。由图7可知,当全参数失配时,3种方法控制精度均出现了下降,但与PI控制和MFSMC相比,MFGITSMC转速的超调量最小,且面对不同类型的扰动均实现了更快的调节速度,实现了对于模型失配的容错控制。

(a) 转速响应

图8为3种方法在全参数失配下的转速相对误差率对比图。转速相对误差率δ定义为:

(48)

图8 全参数失配下的速度相对误差率

式中,nref与n分别为给定转速与实际转速。

由图8可知,MFGITSMC在全参数失配与外部扰动下转速误差率更低,暂态性能更好。

4.2 观测器对比仿真分析

图9为FTCESO与LESO对不同工况未知项的观测值对比曲线。

(a) 无参数失配 (b) 磁链失配

(a) 实验台 (b) 配置组成

由图9可知,由于FTCESO的有限时间收敛特性,与LESO相比,其对不同工况下的扰动响应更为迅速,抖振更小,利用强收敛性的FTCESO重构超局部模型中的未建模干扰项,降低了模型失配与外部扰动对系统控制性能的影响。

5 实验验证

5.1 实验条件设置

本文用RT-LAB平台对PMSM进行硬件在环仿真实验。设置实验环境和仿真相同。实验选用TMS320F2812型号的DSP控制器,用OP5600型号的RT-LAB来模拟PMSM和系统的其余部分。

5.2 实验结果

图11与图12为PI、MFSMC、MFGITSMC三种方法在无参数失配与全参数失配工况下的转速、转矩波形。

(a) PI (b) MFSMC

(a) PI (b) MFSMC

由图11、图12可知,在无参数失配时,MFGITSMC的转速响应更快,对阶跃扰动与正弦时变扰动具备更快的调节速度,整体控制精度更高。当发生全参数失配时,PI控制已经难以维持高精度控制,MFSMC的控制性能也受到影响,响应速度降低,而MFGITSMC依旧维持了出色的转速跟踪精度,转矩响应受影响最小,FTCESO迅速重构了失配工况对系统造成的干扰,实时修正了超局部数学模型,实现了对模型失配的容错控制。

6 结论

针对高精度PMSM驱动系统受磁链、转动惯量与摩擦系数失配影响,造成的鲁棒性与控制精度降低的问题,本文在不获取电机实时数学模型的情况下,提出一种无模型滑模容错控制策略,通过与其他方法在多种模型失配下的仿真和实验对比,得到如下结论:

(1)基于转速环超局部模型设计了MFGITFSMC,该控制器能够实现转速的无超调快速响应,实现了对电机的高精度控制。

(2)设计了收敛强的FTCESO,并对其收敛时间进行分析,利用其有限时间收敛特性迅速重构模型失配与外部扰动造成的干扰,实时修正了超局部数学模型。

(3)分别设置磁链失配、机械参数失配与全参数同时失配工况,经对比实验验证了所提方法对多种模型失配与外部扰动具备强鲁棒性与容错性。