传承文化 提升素养
——2023年中考数学文化试题赏析*

罗 伟

(江苏省徐州市第二十四中学 221000)

万叶红

(江苏省淮安市朱坝中学 223133)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》指出,要关注数学学科发展前沿,继承和弘扬中华传统文化[1]2．学业水平考试中可以设计合理的生活情境、数学情境、科学情境……适当引入数学文化[1]92．在文[2]中,笔者对2022年各地中考中的数学文化试题,从数学史书、数学名人、数学游戏、数学应用、数学探索、数学交流等方面进行研究.本文拟从经典文化、数学名著、数学思想、学科融合、科学技术、数学交流等方面,对2023年中考中的数学文化试题进行赏析,以期提升学生的数学文化素养．

1 经典文化

图1

答 边的宽为4 cm,天头长为24 cm．

评析本题运用方程知识求解,关键是理清几个数量关系,体现了模型观念与应用意识．对联最早出现在五代时期,在明清时期发展到顶峰,距今已有一千多年的历史．启功等书法名家的对联,启迪人的心灵,给人美的享受,对联的装裱及布局也呈现出数学的和谐美．

例2(2023·河南)北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一,具有极高的历史价值、文化价值．如图2所示,关于它的三视图,下列说法正确的是( )．

图2

A．主视图与左视图相同

B．主视图与俯视图相同

C．左视图与俯视图相同

D．三种视图都相同

解 本题考查物体的三视图,选A．

评析判断物体的三视图,难度不大,体现了空间观念与几何直观．答案的背后,汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶就是一个美丽的几何物体,整体造型优美,雕刻着的图案精美,具有很高的观赏价值,展示了数学美．

经典文化,指在漫长的历史进程中,被流传下来代表某一时期的精髓的思想、理念以及相关的作品．此外,衡阳卷考查紫砂壶与左视图,苏州卷考查古典园林与对称性,徐州卷考查传统玉器与作图,深圳、东营、菏泽、日照、怀化、赤峰卷考查了剪纸与对称性,河北卷考查革命圣地西柏坡与方向角,鄂州卷考查象棋与一次函数,恩施卷考查四大传统节日与统计,长沙卷考查毛泽东《七律二首·送瘟神》与火星周长,长春卷考查“水门礼”与高度,陕西卷考查“老碗面”与圆的半径,内江卷考查世界文化遗产与科学记数法,通辽卷考查四大名著与概率,宁夏卷考查七巧板拼图与轴对称图形,随州卷考查费马点等.这些中考试题,大都是当地经典文化的呈现,能增强学生的自豪感,令人备感亲切．

2 数学名著

图3

评析本题直接代入即可求出结果,考查了运算能力．《平三角举要》是中国第一部平面三角学教科书,由梅文鼎借助勾股理论对涉及三角形的几何性质及有关三角术的算法作系统整理而成．再深挖一下题目,可以用余弦定理、三角函数的知识证明题目中的公式:

例4(2023·恩施)《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载:“今有户不知高广,竿不知长短．横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出．问户高、广、邪各几何?”译文:今有门,不知其高宽;有竿,不知其长短,横放,竿比门宽长出4尺;竖放,竿比门高长出2尺;斜放,竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少?(图4)

图4

解 设门对角线长为x尺,则门高为(x-2)尺,门宽为(x-4)尺．根据勾股定理,得(x-4)2+(x-2)2=x2,整理得x2-12x+20=0,解得x1=10,x2=2(不合题意,舍去),故门高为10-2=8(尺),门宽为10-4=6(尺),故答案为8,6和10．

评析本题通过设未知数,根据勾股定理列出一元二次方程求解,体现了模型思想与数形结合思想．《九章算术》是我国汉代的数学名著,成于公元1世纪左右,内容十分丰富,全书采用问题集的形式,收录246个与生产、生活实践有联系的应用问题,是中国乃至东方第一部自成体系的数学专著,在中考中被考查的次数最多．

此外,对于中考试题中出现的《九章算术》相关内容,永州卷考查了负数,吉林卷、大连卷考查了一元一次方程,泰安卷、威海卷和绍兴卷考查了二元一次方程组,泸州卷考查了勾股数计算公式,岳阳卷考查了圆、勾股定理等．

《详解九章算法》是我国宋朝数学家杨辉所著.为了使《九章算术》便于自学,杨辉对该书的246个题目中较难的80题作了详解,并增添了“图解、乘除算法和纂类”三卷．对于书中的内容,巴中卷考查了幂的展开式,广元卷考查了杨辉三角．

《孙子算经》是中国南北朝时期重要的数学著作,是一部最具智慧且激发人探寻数学奥妙的书,成书大约在公元四五世纪,作者生平和编写年不详,共三卷．其中卷下第31题,可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖．贵州卷、成都卷、南充卷和广西卷考查了一元一次方程,荆州卷、衡阳卷考查了二元一次方程组．

《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作,约成书于公元前1世纪,在数学上的主要成就是介绍了勾股定理．江西卷考查了相似三角形,黄冈卷考查了解方程、求代数式值,包头卷考查了赵爽弦图与三角函数．

《算学启蒙》是由我国元朝数学家朱世杰所著,把当时的初级和中级数学知识进行分类,由浅入深,循序渐进,自成系统,是一部很好的数学启蒙读物．连云港卷、枣庄卷考查了一元一次方程．

《四元玉鉴》为元代数学家朱世杰所著,是一部成就辉煌的数学名著,受到近代数学史研究者的高度评价,被认为是中国数学著作中重要的一部,其中的成果被视为中国筹算系统发展的顶峰．张家界卷考查了分式方程．

《张丘建算经》系北魏张丘建著,共三卷,成书在484年之前．现传本保存92个问题,大部分为当时社会生活中的实际问题．问题的创设和解法均超出《九章算术》,为《九章算术》之后有突出成就的数学著作．嘉兴卷考查了二元一次方程组．

中国古代数学名著是我国的数学瑰宝,彰显了我国古代数学家和劳动人民的智慧,对于教师和学生来说,是宝贵的文化遗产和精神财富,要好好地去学习、欣赏和继承,丰富自身的文化底蕴．

3 数学思想

图5

图6

例6(2023·内江)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一,最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形,任意切成多块小图形,几何图形的总面积保持不变,等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一．如图7,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,对角线AC与BD交于点O,点E为BC边上的一个动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为点F,G,则EF+EG=．

图7

评析本题考查了矩形的性质与勾股定理,难度适中．作出辅助线后,根据出入相补原理进行面积的转化,从而解决问题．出入相补原理是一种数学思想方法,也可以看作数学思想．其实整个初中阶段几何与图形的问题,很多都是运用出入相补原理去解决,最经典的就是我们熟悉的运用割补法证明勾股定理[3]．

4 学科融合

例7(2023·白银)如图8,汉代初期的《淮南万毕术》是中国古代有关物理、化学的重要文献,书中记载了我国古代学者在科学领域做出的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬,置水盆于其下,则见四邻矣”,是古人利用光的反射定律改变光路的方法,即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上;反射光线和入射光线位于法线的两侧;反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况,运用此原理,在井口放置一面平面镜可改变光路(图9),当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC=50°时,要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部,则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC=( )．

图8

A．60° B．70° C．80° D．85°

解 反射的光线记为BM．因为BM⊥CD,所以∠CBM=90°．因为∠ABC=50°,所以∠ABE+∠FBM=180°-90°-50°=40°．因为∠ABE=∠FBM,所以∠ABE=∠FBM=20°．因此,∠EBC=20°+50°=70°,故选B．

评析本题考查了垂线和角的计算,解题的关键是熟练掌握垂线的性质等知识．实际上,物理试卷也可以出这样的题目．此题放在数学试卷中,既巩固了物理知识,又显示了数学与物理的融合．

例8(2023·兰州)我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法．如《淮南子·天文训》中记载:“正朝夕,先树一表东方,操一表却去前表十步,以参望日始出北廉．日直入,又树一表于东方,因西方之表以参望日,方入北廉则定东方．两表之中,与西方之表,则东西之正也．”如图10,用几何语言叙述作图方法:已知直线a和直线外一定点O,过点O作直线与a平行．(1)以O为圆心,单位长为半径作圆,交直线a于点M,N;(2)分别在MO的延长线及ON上取点A,B,使OA=OB;(3)连接AB,取其中点C,过O,C两点确定直线b,则直线a∥b．按以上作图顺序,若∠MNO=35°,则∠AOC=( )．

图10

A．35° B．30° C．25° D．20°

解 由作图得a∥b,故∠CON=MNO=35°．因为OA=OB,点C是AB的中点,所以OC平分∠AON,从而∠AOC=∠CON=35°,故选A．

评析本题是已知平行线的结论求角,过程简单.题中平行线的作图法也容易证明,在我国古代天文学中,也显示了数学的应用价值．

在各地中考中,也有不少与各学科融合的试题．例如,山西卷中国古代的“四书”与概率,呈现了数学与语文的融合;数学与物理融合的有:山西卷弹簧秤与一次函数、凸透镜与角度,达州卷物理实验与函数图象,广安卷弹簧测力计与函数图象,凉山卷光的折射与角度,台州卷自制密度计测量液体的密度与函数关系式、“刻漏”与函数关系式,温州卷气体压强与函数关系式等;数学与化学融合的有:滨州卷溶液pH值与图象,遂宁卷十二烷的化学式等;数学与生物融合的有:枣庄卷活化石银杏与坐标、山西卷树的生长与一次函数等;数学与历史融合的有新疆卷烽燧与三角函数等;数学与音乐融合的有达州卷乐器与黄金分割等;数学与体育融合的有绍兴卷篮球架与三角函数等;数学与信息技术融合的有内江卷信息技术与分式方程等．基本上各学科的知识都能在数学试题中呈现,这也是基于学生核心素养要求,增强学科育人的体现[4]．

5 科学技术

例9(2023·广东)2023年5月30日,神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功,3名航天员顺利进驻中国空间站．如图11中的照片展示了中国空间站上机械臂的一种工作状态．当两臂AC=BC=10 m,两臂夹角∠ACB=100°时,求A,B两点间的距离．(结果精确到0.1 m,参考数据:sin 50°≈0.766, cos 50°≈0.643,tan 50°≈1.192)

图11

图12

答A,B两点间的距离大约是15.3 m．

评析本题通过作辅助线,构造出直角三角形,运用三角函数即可求解．神舟十六号载人飞船显示了我国的科技实力,在载人飞船的设计、制造、发射、回收等过程中离不开数学知识的应用．

图13

评析本题要求的是弧长,先求出弧所对的圆心角即可.中国高铁的飞速发展令世界瞩目,在设计转弯时,圆曲线能保证高铁的平稳运行,显示了数学的应用价值及创新意识．

此外,长沙卷考查了神舟十六号载人飞船的高度与速度,常德卷考查了神舟十五号与概率,烟台卷考查了北斗定位与科学记数法、风力发电机与三角函数,本溪卷、日照卷、遂宁卷分别考查了5G网络、手机芯片、最细的碳纳米管与科学记数法,菏泽卷考查了无人机与高度,兰州卷考查了新能源汽车与增长速度,包头卷考查了扫地机器人与一次函数、二次函数,广东卷考查了优选法与黄金分割数．还有一些地区的试卷考查了古代的科技,如张家界卷考查了“莱洛三角形”的周长,湘潭卷考查了筒车与三角函数,宜宾卷考查了《梦溪笔谈》计算圆弧长度的“会圆术”等．一个国家的科技水平,归根结底取决于数学等基础学科的水平,这也是学好数学的前进动力．

6 数学交流

评析本题难度较大,运用全等三角形、正方形、方程、相似等知识求解．用“赵爽弦图”证明勾股定理,代表了我国古代数学家的智慧,内涵丰富,拓展性强．在国际数学家大会进行交流,有助于外国数学家进一步了解我国古代数学成就,增强中外数学家友谊,有利于互相合作,共同进步,更好地传播文化．

例12(2023·温州)苏步青来自“数学家之乡”,为纪念其卓越贡献,国际上将一颗距地球约 218 000 000 km的行星命名为“苏步青星”．数据 218 000 000用科学记数法表示为( )．

A．0.218×109B．2.18×108

C．21.8×102D．218×106

评析本题考查科学记数法,正确答案为B．温州被称为“数学家之乡”,涌现出姜立夫、苏步青、谷超豪等二三十名数学家,主要源于重视数学的社会传承、德学兼优的数学师资、刻苦实干的地域品性及地处信息开放的沿海环境四个方面．苏步青是我国著名的数学家,自身取得卓越的成就,也将数学一代代传承与交流,另外“苏步青星”也可以看作天文学与数学间的交流,更激发人们去研究数学、学习数学．

此外,温州卷还考查了第7届国际数学教育大会会徽与勾股定理、相似,杭州卷考查了第24届国际数学家大会会徽与三角函数等.中外数学文化交流的深入,有利于学生开阔视野,拓展思维．

7 结语

通过2023年中考数学文化试题的剖析可以看出,经典文化让学生感受到荣誉与自豪,数学名著增加文化底蕴,数学思想解决疑难问题,学科融合增强学科育人,科学技术呈现科学基石,数学交流促进专业成长．在以后的教学中,根据陶行知先生的“做中学”教育思想,教师可以总结提炼各种数学文化试题,让学生品读赏析,阅览数学文化书籍,感受数学文化熏陶,提高数学文化素养．