一类具有复杂执行器动态的双曲线型偏微分方程输出调节

肖 宇 徐晓东 阳春华

双曲线型偏微分方程 (Partial differential equation,PDE)广泛用于描述一类具有传输现象的物理系统,例如: 热交换器[1],油井钻探[2]和管状传输过程[3]等.近些年,这一类系统的输出调节问题已成为学术界及工业界的挑战.基于几何设计方法和无限维反步法,一些针对双曲线型PDE 系统的输出调节理论成果已提出[4-10].文献[11]研究了2×2双曲线型PDE 系统的有限时间输出调节问题.然而,上述输出调节工作只考虑PDE 系统的直接边界控制.换言之,控制输入直接作用在PDE 系统的边界点上而忽略了执行器动态特性的影响.这往往不合理,由于普遍存在于控制系统中的耦合现象,例如: 电磁耦合[12]、传感器和设备之间的耦合[13]以及耦合的化学反应过程[14]等.在控制系统中,当执行器动态特性显著时,忽略执行器的影响将导致控制性能直接下降.由于动态执行器的存在,现存的基于直接边界控制的输出调节策略[4-11]将无效,考虑执行器动态特性的分布参数系统输出调节策略有待提出.

事实上,对于具有执行器动态特性的PDE 系统的稳定控制,一些试探性的结果已经被提出.具体地,文献[15-17]允许低阶线性或非线性执行器动态特性在PDE 系统边界点存在.在文献[18-20]中,执行器动态特性由线性可控高阶常微分方程(Ordinary differential equation,ODE)主导.文献[21]研究了具有高阶非线性执行器动态特性的抛物线型PDE 系统的稳定控制.进一步,文献[22]采用神经网络首次解决了具有未知非线性执行器动态特性的双曲线型PDE 系统的跟踪控制.我们从上述工作注意到执行器动态特性通常由ODEs 描述,因此具有执行器动态特性的PDE 系统事实上是耦合的PDE-ODE 系统.尽管文献[15-22]在控制器设计过程中充分考虑了执行器动态特性,但这些工作并未考虑外界干扰的影响,无法解决系统受扰动时的信号跟踪问题,即输出调节问题.

本文考虑了一类由高阶非线性ODE 执行器驱动的 2×2 双曲线型PDE 系统输出调节问题,所研究的系统由非线性ODEs 串联PDE 模型描述.不同于文献[21-22]忽略了扰动影响,本文研究的ODE执行器和PDE 系统均受到外界的干扰,控制策略需实现全局扰动估计和抑制,这使得本文的工作更加困难且区别于现有的文献.为解决高阶执行器动态特性给调节器设计带来的挑战和对控制性能产生的不利影响,我们拓展了文献[11]的输出调节控制器设计框架,将有限维反步法与非线性观测器设计方法引入并与无限维反步法和几何设计方法相结合,分别设计了基于状态和输出反馈的调节器.具体地,状态反馈调节器包括前馈和反馈两部分,首先通过构建并求解反步坐标下的调节方程获得前馈增益,而后采用有限维反步法逐步获得反馈部分的显式表达.对于输出反馈调节器,本文分别设计了一个参考观测器和两个扰动观测器.参考观测器观测参考信号的状态,两个扰动观测器分别观测PDE系统和执行器所受到的扰动及实际状态.设计输出反馈调节器的关键在于求取观测器增益使得参考及扰动观测误差能够稳定收敛,为状态反馈调节器提供准确的系统状态.本文主要贡献包括:

1) 扩展了现有的双曲线型PDE 系统的直接边界输出调节工作[4-11],所考虑的执行器动态特性由具有广泛代表性的高阶严格反馈形式非线性ODEs描述,这使得控制器的设计变得更加实际但困难.此外,不同于文献[15-22]只研究系统的稳定或跟踪控制而未考虑外界干扰,本文解决了更加复杂的输出调节问题.

2) 针对具有高阶执行器动态特性的 2×2 双曲线型PDE 系统,本文建立了一个新的输出调节控制器设计框架,在有限维和无限维空间中充分利用几何设计方法使得跟踪误差及闭环系统在范数意义上指数稳定.该框架同样适用于具有相似结构的耦合PDE-ODE 系统的输出调节器设计.

本文其余部分组织如下: 第1 节给出了所考虑的被控系统、虚拟外部系统及控制目标,第2 节给出了状态反馈调节器的设计过程,第3 节设计了参考及扰动观测器,第4 节分析了输出反馈控制下闭环系统的稳定性及跟踪误差收敛性,第5 节进行数值仿真对比验证了所提出控制方法的有效性和先进性,第6 节是总结性评述.

1 问题描述

考虑如下具有高阶执行器动态特性的 2×2 双曲线型PDE 系统1本文使用的符号说明如下: R 为所有实数的集合;C 为所有复数的集合;Cn 表示 n 阶连续可微;|·| 表示欧几里得范数;对于一个时变的信号ω(x, t) ∈R, x ∈[0,1],令表示其L2范数.此外,令 vx(x, t) 和 vt(x, t) 分别表示偏导为避免混淆,时间和空间变量在一些函数中常被忽略,例如:v(x, t)=v(x), v(x, t)= v.:

注 1.如图1 所示,在流程工业中,系统(1)可描述一类多反应器串联的被控对象[14,23].如串联的连续搅拌反应釜(Continuous stirred tank reactor,CSTR)可被描述成高阶耦合的非线性ODE 系统(1d)～(1e),且非线性函数fi代表后续环节对先前环节的反馈.由于串联CSTRs 受到非线性反馈及外界干扰的影响,其高阶动态特性将给后续装置带来不稳定的因素.活塞流反应器(Plug flow reactor,PFR)可由耦合双曲线型PDE (1a)～(1c)建模,其中PFR 的输入端u2(1) 通过边界条件(1c)与CSTRn的输出端X1相连.控制输入U代表进料的速率,为实现PFR 的精准控制,控制器U既要考虑PDE 耦合特性带来的不稳定因素,也应当考虑ODEs 高阶动态特性及干扰的影响,这使得控制器的设计更加困难.

图1 一类典型的流程工业多反应器串联系统信号流图Fig.1 A typical signal flow graph of multi-reactor series system in process industry

系统(1)的扰动信号与被y(t) 跟踪的参考信号yr(t)可由如下有限维虚拟外部系统的解表示:

其中S=bdiag{Sd1,Sd2,Sr} 为分块可对角化矩阵,并且S所有的特征值都位于虚轴上.将v分块为v=col(vd1,vd2,vr)可使外部系统分解为三个信号模型:,vd2(0)∈Rnd2和=Srvr,vr(0)=vr0∈Rnr且nr+nd1+nd2=nv.因此外部系统能产生不同的有界持续激励信号,例如: 正弦信号、斜坡信号和阶跃信号等.此外,为实现输出反馈调节器设计,扰动和参考信号模型需已知并且待跟踪参考信号yr是已知的.

本文的控制任务是分别设计状态反馈调节器和基于观测器的输出反馈调节器使得被控系统在受到扰动情况下实现输出跟踪误差的准确收敛,即:

并且所产生的闭环系统指数稳定.为实现控制目标,我们给出如下必要的假设:

注 2.上述第一个假设不失普遍性,Sd1的特征值由扰动系统=Sd1vd1所考虑的扰动决定.描述不同频率的扰动时,Sd1的特征值各不相同,易满足假设1.假设2 强于假设 (C,A) 可观测,然而它同样不失普遍性.当 (C,A) 可观测而假设2 不成立时,通过缩小扰动系统=Sd2vd2的状态空间总能使假设2 满足.假设3 常见于非线性系统观测器设计文献中.

2 状态反馈调节器

首先,为简化PDE 子系统结构以便于控制器设计,我们采用Volterra 积分变换形式的坐标映射及其逆映射:

其中K(x,y)∈R2×2和L(x,y)∈R2×2为定义在三角域 0≤y≤x≤1 上的核函数.用式(3)替换原系统(1) 中的扰动,变换(6) 将PDE 子系统(1a)～(1c),(1f)映射为目标系统w:

(9) 和(10) 分别为具有四个边界条件的一阶线性偏微分方程.由于λ1,2(x)∈Cn[0,1] 且(x)∈Cn[0,1],文献[26]采用特征线及逐次逼近的方法证明上述方程存在 Cn连续的解.此外,采用有限差分的方法通过数值计算可以获得其任意精度的数值解.

在式(1e)中,控制器U由一个前馈控制器Uf和一个反馈控制器Ub组成,即:

其中,前馈控制器Uf=Πv由前馈增益Π∈R1×nv及信号v组成,反馈控制器Ub将在后续推导中给出详细设计.为了获得合适的增益 Π,定义如下有界可逆坐标变换:

其中:π(x)=[πij(x)]∈R2×nv且πij(x)∈Cn+1[0,1],i=1,2,j=1,···,nv.将式(11)和(12)代入式(8)和ODE 系统(1d)～(1e)中,可得如下转换后系统:

为完成式(13)的推导,需满足下列调节方程:

其中式(14a)是一个以式(14b)和(14c)为边界条件的一阶线性ODEs.文献[11]讨论了它的可解性及解的存在性条件.若式(14a)～(14c)的解π(x) 唯一存在,则变量πi,i=1,···,n唯一存在且闭环系统(13)的表达式也唯一存在.通过式(14d)～(14e)可计算得到

进一步通过式(14f)可得前馈增益

式(13f)表明被控输出的跟踪误差ey是关于ε(x,t)的线性映射,因此设计反馈控制器Ub使得ε(x,t)稳定能够保证ey收敛到0.首先,定义如下状态转换变量:

步骤 1.由于式(13a)的状态是空间分布的,采用如下积分形式的Lyapunov 函数:

由于ε2(1)=γ1,选择虚拟控制器如下

其中k1＞0 是正的设计参数,由于γ1=X1-π1vtu且γ1=ε2(1),α1是一个关于X1,tu,,v的函数.将式(21)代入式(19)中得到

步骤 2.定义如下Lyapunov 函数:

选择虚拟控制器α2如下:

步骤l(l=3,···,n-1) .定义如下Lyapunov函数:

从递推步骤 1 到步骤l-1,可得

选择虚拟控制器αl如下:

其中kl＞0 为正的设计参数且αl是一个关于X1,···,Xl,tu,···,,v的函数.将αl代入式(30)中得到

步骤 n .定义如下Lyapunov 函数:

对式(31)求导得到

令式(35)的l=n-1 并将代入式(34)中,由此选择实际控制器Ub如下:

其中kn＞0 为正的设计参数且Ub是一个关于X1,···,Xn,tu,···,,v的函数.将式(36)代入式(34)得到

定理 1.考虑被控系统(1),令πi,i=1,···,n和π(x) 为调节方程(14)的解,则虚拟控制器(21),(26),(31)和实际控制器(11)确保输出跟踪误差(5)指数收敛到 0.

证明.由V1,V2,Vl,Vn的定义可得

根据式(37)易得

在全状态反馈控制器的设计中,参考模型v˙r=Srvr和扰动模型=Sd1vd1,=Sd2vd2需要准确的参考及扰动信号初始状态vr(0),vd1(0) 和vd2(0)从而精确地描述参考信号及外界扰动的未来状态.由于实际扰动往往不可测,这是不现实的.此外,全状态反馈需要获取整个PDE 及执行器的状态,这在实际中同样难以实现.为解决这些问题,我们在下一节给出参考及扰动观测器用于准确估计系统状态和参考及扰动信号,进一步实现输出反馈调节器的设计.

3 参考及扰动观测器设计

3.1 PDE 子系统扰动观测器

构建如下PDE 子系统扰动观测器:

首先采用如下坐标变换以简化式(42b)～(42d):

其中KI(x,y)∈R2×2和LI(x,y)∈R2×2是定义在三角域 0≤x≤y≤1 上 Cn连续的核函数.在(43)坐标下,系统(42)被映射为目标系统:

与式(9)和(10)可解性证明类似,可以采用有限差分方法获得其数值解.系统(45)等同于PDE 子系统与ODE 子系统相互耦合的系统,为实现两系统之间的解耦,引入如下坐标变换:

其中M(x)∈R2×nd1.将式(48)代入式(45)中易得

定理 2.考虑观测器(41),在假设1 的前提下,选择合适的观测器增益ld1使得Sd1-ld1M(1) 为赫尔维茨矩阵且lu(x) 由式(51)给定,则观测误差ece=col(ed1,eu1,eu2) 在范数意义上指数收敛.

证明.考虑如下Lyapunov 函数:

其中β1＞0,P1∈Rnd1是一个正定对称矩阵满足如下代数方程:

其中T1是一个正定对称矩阵,对Vobe求导并代入式(49)到结果中可得

由于β1＞0 是任意的,因此可以选择足够大的β1＞0使得

由式(54)和(55)可知,存在常数μ1＞0 使得

因此式(49)在范数‖·‖ce意义上是指数稳定的.由于式(43)和(48)均为有界可逆坐标变换,因此误差 系统(42) 状 态eu和ed1在原坐标下指数收敛,即,存在常数＞0,＞0 使得

3.2 执行器扰动观测器

构建如下执行器扰动观测器:

将式(4)减去式(59)得到误差系统:

定理 3.考虑观测器(58),在假设2 和假设3 的前提下,选择合适的观测器增益 Γobe使得AH为赫尔维茨矩阵,则观测误差在范数 |·| 意义上指数收敛.

证明.考虑如下Lyapunov 函数:

P2∈Rn+nd2为正定对称矩阵,满足如下代数方程:

其中T2为正定对称矩阵,对式(61)求导并代入式(60)到结果中可得

由假设3 可得

将式(64)和(62)代入式(63)易得

4 输出反馈调节器

如图2 所示,输出反馈闭环控制系统包括被控系统(1),PDE 子系统扰动观测器(41),执行器状态扰动观测器(58),参考信号观测器(40)和控制器U(t).如下定理将给出输出反馈闭环控制系统状态指数收敛性.

图2 输出反馈闭环控制系统结构框图Fig.2 The block diagram of output-feedback closed-loop control system

考虑如下Lyapunov 函数:

其中β2,β3＞q2,a2,a3＞0,Pr是一个正定对称矩阵,满足对于任意的矩阵Tr=＞0.对式(69)求导并代入式(68)和(49)到结果中可得

进一步由柯西-施瓦茨和杨氏不等式可得

当选择足够大的s1,s2,s3,s4,s5＞0 时,存在常数μ2＞0 使得满足:

其中

5 数值仿真

状态反馈调节器设计.采用有限差分方法求解控制核方程(9)和(10)以及调节方程(14),按照文献[11]的结论检验式(14)的可解性.虚拟控制器α1和实际控制器Ub的可调参数分别选择为:a=0.7,β=5,k1=5,k2=5.

输出反馈调节器设计.由于 (Sr,qr) 可观测,选择参考观测器增益lr=[1,1]T.对于扰动观测器(41),选择增益ld1=[0.8,0.8]T.采用有限差分方法求解观测核方程(46),(47)以及调节方程(50),并检验的可观性.若可观性满足,则通过计算式(51)得到PDE 观测器增益lu(x).对于扰动观测器(58),易验证假设2 成立,并且观测器增益分别选择为ld2=[1,40]T,Γ=[15,20]T.参考及扰动观测器的初始值分别为:(0)=[0.5,0.5]T,(0)=[0.75,0.75]T,(0)=[0,0]T,(x,0)=-1,(x,0)=-1-sinx,(0)=-1,?(0)=-1.进一步在状态反馈调节器基础上,采用参考及扰动信号状态观测值构成输出反馈调节器.

控制算法对比.我们将本文所提出的控制算法与文献[11]的控制算法进行比较.由于文献[11]未考虑执行器动态特性的影响,因此式(1d)～(1e),(13d)～(13e)和(14e)～(14f)在文献[11]中被忽略且式(1c)中的执行器状态X1直接替换为控制输入U.进一步由式(13c)和(14d)可得文献[11]所构建的基于状态反馈调节器如下:

仿真对比采用与上文相同的系统参数.

仿真结果.图3 和图4 分别描述了状态反馈控制下PDE 子系统被控输出y(t) 以及控制输入U(t)的轨迹.在图4 控制输入的驱动下,y(t) 受到的干扰被抑制,并且在小于 2 s 的时间内准确跟踪上参考信号yr(t).图5～10 分别描述了输出反馈控制下的系统输出、控制输入、状态估计误差及扰动估计曲线.图5 表明y(t) 准确跟踪上参考信号yr(t) 在小于 6 s 的时间内.由于前期观测误差的存在,相较于图3,图5 的被控输出需要更长调节过程.图6 描述了输出反馈控制信号曲线,相较于图4,图6 曲线前期变化幅度更大,后期与图4 曲线基本保持一致.图7 和图8 分别描述了PDE 子系统观测误差的范数和 执行器状态观测误差X1-,X2-的收敛轨迹,结果表明扰动观测器能够在存在干扰情况下准确估计PDE 子系统和执行器的真实状态,为控制器提供准确的系统状态.图9 描述了PDE子系统受到的常值扰动Di,i=1,2,3 及观测器(41)的扰动观测值,i=1,2,3.图10 描述了执行器受到的周期扰动di,i=0,1,2 及观测器(58) 的扰动观测值,i=0,1,2 (由于扰动增益qi,i=0,1,2相同,周期扰动的轨迹相同,扰动观测值的轨迹同样相同).图9、10 表明扰动观测器(41),(58)能够准确跟踪外部系统所描述的一类参考信号,为控制器抑制外界干扰提供准确信息.图11、12 表明采用文献[11]所提出控制器会使被控系统不稳定发散.这是由于文献[11]忽略了执行器的动态特性,而动态的执行器会影响系统稳定性,因此状态反馈调节器(79)无法使系统稳定,更无法实现信号跟踪.相较于文献[11],本文所提出的控制算法能够弥补执行器的影响,实现全局扰动抑制及信号跟踪.

图3 状态反馈控制下的被控输出 y (t) 及参考信号yr(t)=2 cos(t)Fig.3 The controlled output y (t) under the state-feedback control and the reference signalyr(t)=2 cos(t)

图4 状态反馈控制器 U (t) 轨迹Fig.4 The trajectory of state-feedback controller U(t)

图5 输出反馈控制下的被控输出 y (t) 及参考信号yr(t)=2 cos(t)Fig.5 The controlled output y (t) under the outputfeedback control and the reference signalyr(t)=2 cos(t)

图6 输出反馈控制器 (t) 轨迹Fig.6 The trajectory of output-feedback controller(t)

图7 PDE 子系统观测误差的范数 ‖‖ 和‖‖Fig.7 The norms ‖‖ and ‖‖ of observer errors of PDE subsystem

图8 执行器状态观测误差 X1- 和X2-Fig.8 The observer errors X1- and X2-of actuator states

图9 PDE 子系统受到的常值扰动Di=vd1, i=1,2,3及相应的扰动观测值=, i=1,2,3Fig.9 The constant perturbations Di=vd1,i=1,2,3 to PDE subsystem and the corresponding disturbance observations =, i=1,2,3

图10 执行器受到的周期性扰动 di=vd2, i=0,1,2 以及相应的扰动观测值=, i=0,1,2Fig.10 The periodic perturbations di=vd2,i=0,1,2 to actuator and the corresponding disturbance observations =,i=0,1,2

图11 采用控制器(79)的系统被控输出y(t) 及参考信号yr(t)=2 cos(t)Fig.11 The system controlled output y (t) and reference signal yr(t)=2 cos(t) using the controller (79)

图12 控制器(79)轨迹Fig.12 The trajectory of controller (79)

6 结论

本文研究了具有复杂执行器动态特性的双曲线型偏微分方程的输出调节问题,所提出的基于状态反馈和输出反馈的调节器实现了被控系统全局扰动估计以及被控输出跟踪误差指数收敛.值得注意的是,PDE 子系统可以被替换为其他类型的线性PDE系统例如扩散方程、波动方程等.执行器动态特性可以由能够被反步法稳定且具有严格反馈形式的非线性系统描述.未来的工作将考虑系统的不确定性以及研究相应的自适应输出调节策略.