磁电弹性材料中含有带四条裂纹的正方形孔的反平面断裂问题

徐 燕, 杨 娟

(1.宁夏大学新华学院，银川 750021; 2.宁夏大学数学统计学院，银川 750021;3.宁夏大学民族预科教育学院，银川 750002)

0 引言

随着高科技和新型材料系统的快速发展，磁电弹体因具有优越的磁–电–力多场耦合效应，在工程结构中得到了越来越多的应用，尤其是在“智能”材料和“智能”结构中。这些“智能”材料已广泛应用于电子封装、传感器和执行器、磁场探头、声学和超声波设备、水听器和传感器等设备，负责电–磁–机械能量转换[1]。由于磁电弹性材料本身属于脆性材料，具有较低的断裂韧性，在受到外载荷作用时极易导致缺陷处应力集中，引起裂纹萌生且扩展，最终导致结构损伤[2]。因此，研究磁电弹性材料的相互作用和断裂力学行为具有重要的理论意义和应用价值。

近年来，磁电弹性层状或功能梯度材料的断裂力学引起了力学、材料学及数学等学科工作者的广泛关注，并发表了很多研究成果[3–6]。文献[7–9]研究了磁电弹性材料中圆形、椭圆形及唇形孔产生的边缘裂纹问题的严格解。文献[10]研究了磁电弹性体中螺旋位错和斜边裂纹之间的相互作用。文献[11]基于电磁弹性材料的基本方程和解析理论，得到了无限磁电弹性固体中多个平行螺位错与半无限裂纹相互作用的广义应力场的闭合形式解。文献[12]基于Stroh 公式揭示了无限大压电体中正n边形孔边裂纹的断裂特性，文献[13]进一步得到正n边形孔口缺陷在磁电弹性材料中的解析解。但是关于磁电弹性中正方形孔带四条裂纹的反平面问题研究目前尚未见报道。

1 磁电弹性材料基本方程

选取x3轴的正方向作为磁电极化方向，与x3轴垂直的坐标面x1ox2作为各向同性平面，则磁电复合材料控制方程为[13]

2 正方形孔缺陷问题的解析解

2.1 问题的描述与保角映射

如图1 所示，在磁电弹性材料中包含一个具有四条裂纹的正方形孔口缺陷沿x3方向穿透，其中a表示孔口的边长，L1和L2分别表示水平方向的裂纹长度，L3表示垂直方向裂纹长度。假设磁电弹性材料在无穷远场受到沿x3方向的均匀纵向剪切应力τ、面内电载荷D∞2及磁载荷B∞2作用。由线弹性理论可知，此问题可以转化为磁电弹性材料在无穷远场不受力，只在正方形孔口及裂纹表面上受到沿磁电极化方向的弹、电、磁的作用。本文只考虑磁电非渗透边界条件，可表示为

图1 磁电弹性材料中带四条裂纹的正方形孔缺陷的力学模型

其中N代表正方形孔口和裂纹的边界。

将式(6)代入式(5)，得

为了易于求解以上初边值问题，由文献[15]可知，首先将z平面上正方形孔外保角变换到z1平面圆外，公式如下

其中R ≈0.591 4a。

进一步应用共形映射[16]，将µ平面上带有四条裂纹的圆孔外保角变换到ζ平面上单位圆内。为得到如图2 所示的一系列变换，于是有如下复合保角映射函数

图2 保角映射原理图

式(10)中的正实参数εi(i=1,2,3)可表示为

这里令

引入记号ψi(ζ)=Fi(z)=Fi(ω(ζ)),i=1,2,3，则有

将式(14)代入式(7)，其中点ζ=σ= eiθ(点ζ属于单位圆周ℓ)，且公式两边同时乘以dσ/2πi(σ −ζ)。沿圆周ℓ积分，可以得到如下关系式

这里令

由Cauchy 积分公式和留数定理可得

把式(16)代入式(15)，可得

求解线性方程组，得

其中

将上述结果和单位圆周ℓ上的点ζ=σ=eiθ代入式(6)，可得

2.2 场强度因子

结合式(16)的第三个式子，对式(20)求极限，可得

因此，式(21)可化简为

2.3 能量释放率

根据文献[18]得到在磁电非渗透边界条件下的能量释放率的计算公式为

其中

将式(25)和式(27)代入式(26)，可得

其中

这一结果与文献[9]中相应结果一致。

3 数值算例

本文使用的材料常数与文献[13]中相同，取临界能量释放率为Gr=5.0 N/m。图3 至图5 显示K随L1、L2和L3增加的变化趋势。图3(L2= 0.002 m,L3= 0.003 m)表明，当L2和L3固定而a取不同值，随着L1的增加，K先急剧增加，然后缓慢下降，最后趋于稳定。图4(L1= 0.002 m,L3= 0.003 m)表明，当L1和L3固定而a取不同值，随着L2的增加，K增加的速度比较缓慢。从图5(L1=0.005 m,a=0.01 m)可以得到：

图3 等效场强度因子K 随L1/a 的变化

图4 等效场强度因子K 随L2/a 的变化

图5 等效场强度因子K 随L3/a 的变化

图6 等效场强度因子K 随a/L1 的变化

图7 能量释放率G/Gr 随a/L1 的变化

1) 当L2/L1＜1 时，曲线变化表明L3的增加会促进L2对应裂纹的扩展；

2) 当L2/L1＞1 时，曲线变化表明L3的增加会阻止L2对应裂纹的扩展；

3) 当L2/L1=1 时，曲线变化表明L3的增加对L2对应裂纹的扩展无影响。

图8 至图10 显示在磁电非渗透边界条件下，G/Gr随τ、D0和B0的变化趋势。图8(L2= 0.002 m,L3= 0.003 m,a= 0.01 m,D0= 2× 10−3C/m2,B0= 2×10−2N/Am)表明，当所有裂纹几何参数固定时，τ始终促进裂纹扩展。图9(L1=0.002 m,L2= 0.003 m,L3= 0.005 m,a= 0.01 m,B0= 2×10−2N/Am)表明，随负电场绝对值的增大而减小，随正电场先增大后减小。这说明负电载荷总是阻碍裂纹的扩展，但正电载荷可能促进或阻碍裂纹的扩展。图10(L2= 0.002 m,L3= 0.003 m,a=0.01 m,τ= 4.2 MPa,D0= 2×10−3C/m2)表明，随着B0的增加，G/Gr先增加后减小，变化趋势呈抛物线状。

图8 能量释放率G/Gr 随τ 的变化

图9 能量释放率G/Gr 随D0 的变化

图10 能量释放率G/Gr 随B0 的变化

4 结论

本文基于解析函数边值理论和平面弹性复变函数理论，通过利用保角映射技术，推导出磁电弹体中一类复杂孔边缺陷问题的断裂参量的显式表达式。为了更好地理解理论结果，给出了数值计算来说明可变几何、材料参数和所受载荷对裂纹扩展参数的影响规律。并得到以下一些有用的结论：

1) 水平裂纹(左、右裂纹)长度和孔口尺寸的增加总会引起裂纹扩展，容易导致电磁材料的失效；水平右裂纹长度对等效场强度因子的影响强于左裂纹，这说明孔口裂纹扩展受右裂纹长度的影响更大；

2) 垂直裂纹的存在对水平裂纹的应力集中影响很大，垂直裂纹长度的增加可以促进或延缓水平裂纹的扩展，这与水平裂纹的长度密切相关；

3) 对于磁电非渗透情况，机械载荷始终促进裂纹的扩展；电场作用可以促进或阻止裂纹增长；磁载荷对裂纹的扩展的影响规律与电场相类似，主要依赖于所施加的机电载荷组合的大小。