粒径计算方法对细观混凝土数值建模的影响

朱天宇， 陈忠辉， 张令非， 年庚乾

（中国矿业大学（北京） 力学与建筑工程学院，北京 100083）

骨料的大小和形状等形态特征是影响混凝土强度和变形的重要参数［1‑3］.室内试验通常采用具有不同开孔大小的方孔筛测量骨料尺寸分布［4］，该筛分法测得的粒径主要与骨料的中间尺寸轴有关，且受骨料形状的影响［5］.

作为室内试验的补充，细观混凝土数值分析已成为研究混凝土中骨料力学特性的常用方法［3，6‑7］.细观混凝土数值建模需要确定骨料的粒径和级配信息.当生成的骨料在粒径和级配上越接近真实混凝土中的骨料时，数值分析计算结果就越能反映混凝土的力学性能［8］.因此，有效表征骨料粒径对于开展细观混凝土数值研究至关重要.在三维混凝土数值建模时，等体积球（EVS）法常被用来计算骨料粒径［9‑11］，该方法是将骨料粒径等效为与骨料具有相同体积的球的直径［9］.对于类球状骨料，这种简化计算方法是可行的；而对于形状不规则的骨料，如扁平状或细长状骨料，若仍采用EVS法计算骨料粒径，则可能带来一定误差，进而影响细观骨料的宏观力学响应.为得到与混凝土中真实粒径更为相近的骨料，有必要采取更加有效的粒径计算方法.

事实上，实验室内使用方孔筛确定骨料级配时，骨料粒径一般是根据它刚好通过的筛孔尺寸确定的［12］.换言之，筛孔尺寸衡量的是骨料颗粒的中间轴尺寸，而非平均直径.Cepuritis等［13］和Ueno等［14］指出，骨料颗粒的中间轴尺寸与标准筛分法估计的骨料粒径最为匹配.在数值建模中，最小包围盒（MBB）法常被用来确定骨料的三维尺寸［15‑18］.最小包围盒是一个可以包含被分析对象且具有“最小”体积的有界包围盒［17］，其3个相互垂直的边分别代表被测颗粒的三维尺寸.研究证明，最小边界盒的三维尺寸可以最大程度地表征骨料的真实三维尺寸［16］.因此，细观混凝土数值建模中，将骨料对应的最小包围盒的中间轴尺寸定义为骨料的等效直径似乎是一种更为合理的选择.与此同时，在进行细观混凝土数值建模时，大多数研究只关注给定级配段内骨料的体积分数是否达到理论值，而忽略了粒径计算方法对骨料本身尺寸参数的影响，导致粒径计算方法对细观混凝土内部结构的影响也被忽视［3，6，19］.

鉴于此，本文首先借助三维激光扫描获得三维骨料的真实形态，基于球谐逆变换法生成大量不同形态的三维数字化骨料；其次，采用EVS法和MBB法分别计算4种形状类型（球状、片状、盘状和棒状）骨料的粒径，分析这2种计算方法得到的粒径之间的差异性，建立了能够预测骨料粒径离散系数均值和离散度的模型；最后，研究了粒径计算方法对细观混凝土内部结构的影响.

1 材料与方法

1.1 骨料库生成

图1为三维骨料模型生成流程.随机选取60块大小不同、形态各异的碎石骨料，用水清洗表面后晾干；采用FreeScan UE11高精度三维激光扫描仪扫描上述颗粒，获得三维骨料模型（图1（a））.已有研究［20‑21］表明，球谐函数可以构建自然界中任意形态的颗粒，为建立骨料形态更加多样化且数量庞大的骨料库，本文基于上述三维激光扫描获得的骨料模型，采用球谐逆变换法生成新的骨料模型［21］.该方法先对三维骨料的空间坐标进行球谐表达，得到骨料颗粒的球谐系数；再对骨料的球谐系数进行变异化处理，从而达到改变骨料形态的目的.图1（b）显示，采用球谐逆变换法生成的新骨料形态与原骨料存在较大差异，保证了本研究骨料形态的随机性和多样性.

1.2 骨料粒径测量

采用EVS法和MBB法计算骨料粒径的示意图见图2.采用EVS法计算骨料粒径时，将与骨料具有相同体积的球的直径R确定为粒径，记为DEVS.采用MBB法确定骨料粒径时，先用Blott等［15］提出的算法求解骨料的最小包围盒，该算法已在不同文献中得到验证［16‑18］；再确定骨料的最小边界盒的三维尺寸（长轴尺寸L、中间轴尺寸I和短轴尺寸S，L＞I＞S）后，将最小包围盒的中间轴尺寸I定义为骨料粒径，记为DMBB.

图2 采用EVS法和MBB法计算骨料粒径的示意图Fig.2 Schematic diagram of using EVS method and MBB method to calculate aggregate particle size

2 粒径计算方法对骨料粒径统计分析的影响

为研究采用EVS法和MBB法测量的骨料粒径之间的相互关系，随机生成10组骨料，每组5 000个.由于骨料粒径受其形状类型的影响，因此在粒径测量之前，需要对骨料进行分类.根据表1中Zingg［22］提出的双参量法，即伸长度（α=I/L）与扁平度（β=S/I），将骨料分为4种形状类型，如图3所示.需要说明的是，由于骨料是随机生成的，同一组内不同形态骨料的数量并非均等，本试验每种形态的骨料数均超过1 000个，保证了后续分析结果不失一般性.

表1 Zingg 双变量法分类Table 1 Zingg’s bivariate classification

图3 4种形状类型骨料形态及其分布Fig.3 Morphology and distribution of four shape types of aggregates

2.1 不同形状类型骨料的2种粒径之间的关系

采用EVS法和MBB法分别测量10组不同形状类型骨料的粒径.选取其中1组骨料数据绘制粒径散点图，并通过线性拟合，初步建立2种粒径之间的线性关系，如图4所示.由图4可见：对于球状、片状和盘状骨料，数据点位于1∶1线下方的占比分别为65%、72%和98%；棒状骨料中只有8%的数据位于1∶1线下方.这说明相比MBB法，EVS法低估了球状、片状和盘状骨料的粒径，且低估的骨料数占比依次增高；EVS法高估了棒状骨料的粒径.其他9组骨料也表现出类似趋势.

图4 2种粒径的散点图Fig.4 Scatter plots of two kinds of particle sizes

为分析同一形状类型骨料2种粒径的数字特征，引入粒径离散系数λ，其计算式为：

研究表明，碎石骨料的形态特征大多服从正态分布［23］.4种形状类型骨料的λ的概率密度分布如图5所示.通过非线性拟合发现4种形状类型骨料的λ均服从正态分布.λ的概率密度f（λ）计算式为：

图5 4种形状类型骨料的λ的概率密度分布Fig.5 Probability density distribution of λ of four shape types of aggregates

式中：μ为数学期望；σ为标准差.

表2给出了10组骨料的λ的数学期望均值μˉ和标准差均值σˉ.由表2可见：盘状、片状和球状骨料的μˉ分别为0.836、0.936和0.979，均小于1；棒状骨料的μˉ为1.143，大于1.这表明EVS法低估了盘状、片状和球状骨料的粒径，高估了棒状骨料的粒径.通过比较EVS法和MBB法计算骨料粒径的原理，可以解释其种粒径差异性来源——EVS法是基于与颗粒具有相同体积的球的直径确定颗粒粒径的，采用其测量颗粒粒径时，只考虑了颗粒体积，而忽略了颗粒形态，特别是颗粒的三维尺寸；MBB法是通过求解能够完全包围颗粒且体积最小的包围盒来测量颗粒三维尺寸，进而确定其粒径的，当颗粒形态发生变化时，最小包围盒的三维尺寸也会随之变化，显然更加符合实验室内采用筛分法或游标卡尺测量骨料尺寸的结果.

表2 λ的数学期望均值与标准差均值Table 2 Mean values of mathematical expectation and standard deviation of λ

2.2 等效粒径关系预测

虽然图4通过线性拟合初步建立了4种形状类型骨料的2种粒径之间的线性关系，但是并不能反映粒径的分布情况.为此，本文结合“3σ”定律［24］，利用λ的数学期望μ和标准差σ建立具有99.7%可靠度的预测模型，如式（3）所示.

式中：α为可靠度系数，取为3.

将表1中的μˉ和σˉ代入式（3）中，得到4种形状类型骨料的2种粒径之间的关系式，如式（4）～（7）所示.

图6为4种形状类型骨料的2种粒径预测曲线与实测值对比.由图6可见，线性拟合确定的λ与正态分布确定的λ十分接近，两者相对误差在5%以内.式（4）～（7）建立的预测曲线不仅预测了不同形状类型骨料的2种粒径之比的均值，而且将粒径散点图中99%以内的数据点全部包含在由式（4）～（7）预测的上下界线范围内，这是线性拟合所不能及的.因此，式（4）～（7）的预测结果要远远优于线性拟合结果.上述分析充分验证了本文提出的骨料粒径预测模型的合理性和适用性.

图6 4种形状类型骨料的2种粒径预测曲线与实测值对比Fig.6 Comparison between predicted curve results and measured values of four shape types of aggregates

2.3 粒径计算方法对骨料粒径累计分布的影响

图7为4种形状类型骨料的2种粒径累计分布曲线.由图7可见：（1）对于盘状和片状骨料，基于MBB法统计的骨料粒径累计分布曲线整体上低于EVS法统计的骨料粒径累计分布曲线且分布范围更大.这表明，与MBB法相比，采用EVS法测量盘状和片状骨料粒径时，其值会偏小且粒径分布范围更窄；球状骨料的累计分布曲线几乎不受粒径计算方法的影响.（2）盘状、片状和球状骨料的2种粒径累计分布曲线之间的偏差随着粒径的增大而减小，表明采用EVS法测量上述3种形状类型骨料时，粒径被低估的占比依次减小.（3）对于棒状骨料，采用EVS法测量的骨料粒径累计分布曲线整体位于MBB法测量的骨料粒径累计分布曲线下方.这表明，与MBB法相比，采用EVS法得到的棒状骨料粒径更大且粒径分布范围更宽.这再次验证了2.1的分析结果，同时也表明骨料粒径表现出测量技术所定义的特性，当粒径测量方法不同时，得到的骨料粒径累计分布可能存在一定差异性.

图7 4种形状类型骨料的2种粒径累积分布曲线对比Fig.7 Comparison of cumulative distribution curves of two particle sizes of four shape types of aggregates

3 粒径计算方法对混凝土细观结构的影响

图8为4种形状类型单位骨料的体积和表面积.由图8可见：对于盘状、片状和球状骨料，按DEVS缩放后得到的骨料体积VEVS和表面积SEVS明显大于按DMBB缩放后得到的骨料体积VMBB和表面积SMBB；棒状骨料则表现出相反结果.在细观混凝土数值建模时，对于同一个骨料，采用2种粒径计算方法得到的粒径有所差异，势必影响细观混凝土的内部结构.

图8 4种形状类型单位骨料的体积和表面积Fig.8 Volume and surface area of four shape types of unit aggregate

为研究不同粒径计算方法对细观混凝土内部结构的影响，基于1.1中的方法，生成4种形状类型的骨料库，每种形状类型骨料个数为3 000个.对同一形状类型的骨料，分别采用MBB法和EVS法计算其粒径，并按粒径对其进行缩放，得到粒径为1的单位骨料，并存入骨料库备用.“点阵法”骨料投放算法被用于生成混凝土细观结构，该方法将待投放域离散化为空间中有序排列的点阵，将三维空间中骨料间复杂的侵入判断问题转化为对待投骨料中点状态的判断，显著提高了骨料投放效率［19］.级配曲线采用富勒级配曲线，骨料级配为4.75、9.5、16、19 mm，模型尺寸为100 mm×100 mm×100 mm.为保证统计结果的可靠性，每组设置10个平行样本.通过比较基于同一类型不同类别骨料库生成的混凝土模型中骨料的体积及骨料数的差异性，间接分析不同粒径计算方法对细观混凝土内部结构的影响.

3.1 粒径计算方法对骨料数量的影响

图9为基于2种粒径计算方法生成的细观混凝土模型中的骨料数量.由图9可见：随着骨料体积分数的增大，4种混凝土模型中骨料数均呈线性增加趋势.其中球状骨料混凝土模型中骨料数量几乎不受粒径计算方法的影响；片状骨料混凝土模型中，基于MBB法生成的骨料数量略微大于基于EVS法生成的骨料数；盘状和棒状骨料混凝土模型中，粒径计算方法对细观混凝土模型中骨料数量有显著影响——对于盘状骨料混凝土模型，基于MBB法生成的骨料数量约为基于EVS法的1.85倍；对于棒状骨料混凝土模型，基于MBB法生成的骨料数量约为基于EVS法的0.62.上述结果表明，粒径计算方法显著影响细观混凝土中的骨料数量，且该影响因骨料形状类型而呈现显著的差异性.

图9 基于2种粒径计算方法生成的细观混凝土模型中的骨料数量Fig.9 Aggregate number in meso‑concrete model generated based on two particle size calculation methods

3.2 粒径计算方法对骨料体积的影响

图10为骨料体积分数为40%的细观混凝土模型中骨料体积累计分布.由图10可见：（1）4种细观混凝土模型中骨料体积累计分布曲线均呈现先快速增加后缓慢上升的变化趋势，累计分布曲线在累计分布为0.82处出现拐点.（2）片状和球状骨料的体积累计分布曲线几乎不受粒径计算方法的影响；盘状骨料的累计分布曲线拐点对应的骨料体积分别为486、292 mm3，前者约为后者的1.66倍，表明在盘状骨料混凝土模型中，基于MBB法生成的单个骨料的体积明显大于基于EVS法生成的单个骨料的体积；棒状骨料的累计分布曲线拐点对应的骨料体积分别为465、872 mm3，后者约为前者的1.87倍，表明在棒状骨料混凝土模型中，基于MBB法生成的单个骨料的体积明显小于基于EVS法生成的单个骨料的体积.

图10 细观混凝土模型中骨料体积累计分布（骨料体积分数为40%）Fig.10 Cumulative distribution of aggregate volume in meso‑concrete model（aggregate volume fraction is 40%）

结合图9、10可以发现，粒径计算方法显著影响细观混凝土的内部结构.对于片状和球状骨料，粒径计算方法对混凝土内部结构的影响几乎可以忽略不计.对于盘状和棒状骨料，粒径计算方法对混凝土内部结构的影响较为显著，并且相比MBB法，采用EVS法生成的盘状骨料数量更少、体积更大；棒状骨料则与之相反.事实上，由于采用MBB法计算骨料粒径时可以更好地模拟室内试验采用筛分法确定的骨料粒径，因此，基于MBB法生成的混凝土模型可以更为真实地反映混凝土的细观结构.

上述研究表明，粒径计算方法对细观混凝土中骨料的数量和体积均有显著影响.细观混凝土内部结构的差异性势必进一步影响混凝土的宏观力学性能.一方面，当骨料体积分数一定时，骨料数量越多意味着模型中存在更高体积分数的界面过渡区，界面过渡区是混凝土中的弱相，体积分数越大，对混凝土力学性能的降低效应越明显［2］；另一方面，当混凝土发生破坏时，骨料数量多会导致断裂路径更加曲折［25］.因此在进行细观混凝土数值建模时，必须要充分考虑骨料粒径计算方法对其内部结构的影响.

4 结论

（1）因骨料粒径计算方法不同，不同形状类型骨料的2种粒径表现出明显的差异性.相比最小包围盒（MBB）法，采用等体积球（EVS）法低估了球状、片状和盘状骨料的粒径，粒径被低估的占比分别为65%、72%和98%；采用EVS法高估了棒状骨料的粒径，粒径被高估的占比为92%.

（2）4种形状类型骨料的2种粒径的粒径离散系数（λ）均服从正态分布.相比传统的线性拟合法，本文预测模型可以更好地预测不同形状类型骨料的2种粒径的λ的均值及离散度.

（3）与MBB法相比，采用EVS法测量球状、片状和盘状骨料时，通常得到的粒径更小且分布更窄；对于棒状骨料，采用EVS法得到的粒径更大且分布更宽.

（4）粒径计算方法对细观混凝土内部结构的影响因骨料形状不同表现出一定差异性.对于球状和片状骨料，粒径计算方法对混凝土内部结构的影响几乎可以忽略不计.对于盘状骨料，相比MBB法，采用EVS法生成的骨料数量更多、体积更小；棒状骨料则表现出相反趋势.