旋转圆环槽中珠子的动力学性质研究

黄欣雅,王本阳,王新顺,潘玉寨,刘 一,王先杰

(1.哈尔滨工业大学(威海) 理学院,山东 威海 264209;2.哈尔滨工业大学 物理学院,黑龙江 哈尔滨 150001)

珠子动力学属于理论力学的研究范畴,涉及运动与能量,包含了空间转动坐标系、质心运动定理、转动惯量和角动量定理等多方面的知识. 关于无摩擦情形下珠子与环模型的研究较多[1-5],通常采用将珠子串在环上的模型,在牛顿力学体系[2]或拉格朗日力学体系[1,3]下求得珠子在环上的运动方程. 重点研究平衡位置的性质,判断是否为稳定平衡[4],同时探究相关因素(例如环半径和转速)的影响. 其中,Dutta和Ray运用Lie对称定理和Jacobi椭圆函数求解珠子的运动方程,得到珠子沿轨道运动角度和时间的关系式[2]. 但是上述研究忽略了摩擦阻力与珠子转动所造成的影响,与实际情况存在差异.

本文采用珠子位于环槽内部的模型,相较传统模型,增加了珠子运动的自由度,使研究对象从质心转变为刚体,并且同时考虑环槽底部和环槽侧壁方向上的摩擦. 本文分别进行理论研究和实验验证:理论上探究了珠子在环槽中的具体运动过程(包括质心运动和珠子自身的转动)、珠子与环槽之间摩擦性质转变的临界条件、平衡位置的存在条件;实验上研究了滑动摩擦系数、珠子球心到环中心的距离、环转速对珠子运动过程和平衡位置的影响. 实验中忽略了空气阻力和非弹性碰撞对珠子运动的影响. 珠子动力学的理论分析和实验研究可以提高学生对力学相关知识的理解和应用[6].

1 模型构建

环槽模型为:凹槽横截面为方形,环槽宽度与珠子直径基本相同且珠子可以放在环槽内,环槽为完整环槽的3/5. 不采用完整环槽是为了探究珠子飞出圆环槽时的临界条件. 对于一般材料,滚动摩擦一般远小于滑动摩擦,所以文中不考虑滚动摩擦带来的能量损失.

珠子与环槽的简化模型涉及的部分物理量为:环槽半径R、珠子半径r0、珠子球心到环中心的距离r、珠子球心到转轴的距离ρ、珠子球心与环中心的连线与转轴之间的夹角φ、环转速ω.建立如图1所示的空间直角坐标系,分为eb(垂直环面向内),eφ(切向)和er(径向),其中,eb方向与环转动方向一致.珠子受力情况如图2所示,珠子受到重力mg、离心力mρω2、科里奥利力2mv×ω[7]、静摩擦力f、来自侧壁的支持力N、来自底面的支持力Nr.其中,虚线部分标注的N与2mv×ω的方向为eb方向.

图1 珠子与环槽的简化模型

图2 珠子受力分析图

珠子在圆环中eφ方向上的运动可根据初始条件与外界干扰分为2种情况:

a.珠子在圆环底部相对于环静止;

b.珠子相对于环运动.

同时根据参量的不同,珠子的平衡位置以及平衡位置数量都将发生变化:

a.环转速稳定后,若无外界扰动,则珠子在环槽底部受力平衡,相对于环静止;

b.珠子在eφ方向上相对环运动.实验发现,在环的转速稳定之前,珠子相对于环做eφ方向上的运动所占时间极短,约占珠子全部运动时间的1%,且环转速越快,占比越小.因此,可以忽略珠子在环开始转动到环转速稳定这一时间段eφ方向上的运动.对于此时间段,珠子受到惯性力的作用,相对于环做eb方向的运动,贴附于与环转动方向相反方向的槽侧壁.待环转速稳定后,若珠子满足有外界扰动或者初始位置偏离环槽底部中心2个条件中之一,即可以在eφ方向上相对环运动.

2 珠子相对于底端和侧壁不同状态的运动方程

根据珠子相对于底端和侧壁的滚动情况不同,可分为4种运动状态:

1)珠子相对于侧壁和环槽底面均做纯滚动.

假设底面作用于珠子的摩擦力[8]为fφ,有以下关系:

(1)

(2)

(3)

同理,假设侧壁作用于珠子的摩擦力[9-10]为fb,可得:

(4)

由质心运动定理[11]可得:

(5)

化简可得珠子在此种运动状态下相对于环槽底面的运动方程为

(6)

2)珠子相对于侧壁做纯滚动,相对于环槽底面做滚滑运动.

由受力分析可以得知珠子受到环槽底面的摩擦力为

fφ=μNr=μ(mgcosφ+mrω2sin2φ),

(7)

其中,μ为滑动摩擦系数.同时,侧壁作用于珠子的摩擦力也可沿用至此,即

(8)

由质心运动定理并化简可得珠子在此种情况下的运动方程为

(9)

3)珠子相对于侧壁做滚滑运动,相对于环槽底面做纯滚动.

根据受力分析,

(10)

由于存在科里奥利力,珠子与侧壁的滑动摩擦力为

(11)

同理可得珠子相对于环槽底面的运动方程为

(12)

4)珠子相对于侧壁和环槽底面做滚滑运动.

此时有

fφ=μNr=μ(mgcosφ+mrω2sin2φ),

同理可得珠子的运动方程为

ω2sinφ(μsinφ-cosφ)=0.

(13)

3 珠子做滚滑运动和纯滚动的转换条件

珠子在滚滑运动和纯滚动之间的临界转换条件[12]可分为2类4种情况.每个临界条件可作为判断下一阶段运动首个符合条件的点为转换临界点的依据.

1)当底面满足

侧壁满足

珠子沿底面或侧壁做纯滚动.

2)当相对侧壁满足

相对底面满足

珠子相对于对应面的纯滚动转化为滚滑运动.

综上,珠子的运动曲线对应4种运动状态,通过滚滑运动与纯滚动转化条件连接组合而成.

图3所示为当珠子球心到环中心的距离r=3.55 cm,珠子直径r0=19.00 mm,圆环槽转速ω=36 rad/s,滑动摩擦系数μ=0.5时,由上述理论得到珠子的整体运动曲线.理论曲线模拟时,程序根据临界转换条件自动进行珠子运动方程的转换,因此珠子的1次完整运动过程可能包含上述4种运动状态.

图3 珠子的理论运动曲线

4 珠子运动过程中的科里奥利力

珠子在运动过程中受到科里奥利力,由于在环槽内运动,珠子中各点到环中心的距离不同,故珠子内部各处受到的科里奥利力的力矩作用不均匀,即科里奥利力力矩对珠子的整体作用不能完全抵消.

珠子相对于环槽静止(平衡)时贴附于哪一侧壁取决于珠子在相对静止前向哪一方向运动,若向上运动则贴附与环转动方向相反的槽侧壁,若向下运动则贴附与环转动方向相同的槽侧壁.

5 珠子的平衡位置

在整个运动过程中,由于珠子在相对于环槽底部和相对于槽侧壁2个方向分别滚动,因此珠子是绕通过质心的轴旋转着向上运动,然后在平衡位置附近做阻尼振动[13],相对环趋于静止.珠子的旋转速度可由相对于环槽底面和相对于槽侧壁2个方向的滚动速度矢量叠加得到.

(14)

6 实验测量

实验装置示意图如图4所示.

图4 实验装置示意图

研究珠子球心到环中心的距离r、环转速ω和滑动摩擦系数μ对珠子运动进程(珠子球心到转轴的距离ρ随时间t的变化)和平衡位置的影响. 实验测量珠子球心到转轴的距离ρ和珠子球心到环中心的距离r,夹角φ可以通过ρ=rsinφ得到.

1)实验所用环的内槽难以做到完全光滑[15](3D打印精度有限导致环内槽会有垂直于槽侧壁的规则纹路);

2)Tracker软件自动追踪珠子位置存在误差;

3)槽宽略大于珠子直径,珠子在实际运动中存在和侧壁的碰撞,以及eb方向上的摩擦力.

图6为μ=0.3,ω=36 rad/s时,r=3.75,3.70,3.60,3.55 cm时珠子的运动曲线.由图6可以看出,随着r增大,珠子的运动进程加快.

图6 不同r对应的珠子的运动曲线

(a)ω=36 rad/s

图8为r=3.75 cm,r0=15.00 mm,μ=0.3,不同环槽转速对应的珠子运动曲线.当转速ω增大时,珠子运动进程加快.这是因为环转动是由外界永磁同步电机带动,电机供给系统的能量越大,环转动角速度越大,珠子所获得的动力越大.

图8 不同ω对应的珠子的运动曲线

图9为r0=19.00 mm,r=3.75 cm,μ=0.5,以及r0=15.00 mm,r=3.55 cm,μ=0.3时,平衡位置与ω的关系曲线.ω增大时,珠子平衡位置上升.同理,由理论平衡位置公式可知当φ<90°时,ρ与ω的关系也为正相关,与实验相吻合.

(a)r0=19.00 mm,r=3.75 cm,μ=0.5

r=3.55 cm,r0=19.00 mm,ω=51 rad/s时,不同滑动摩擦系数μ对应的的珠子运动曲线如图10所示.当μ增大时,珠子运动进程减慢.根据理论研究,只有珠子相对于环槽做滚滑运动时,珠子的运动方程才包含μ,而且加速度与摩擦系数呈现反相关,和实验结论一致.另外,实验测量和理论均表明滑动摩擦系数对珠子平衡位置无显著影响[16].

图10 不同μ对应的珠子的运动曲线

将图6～10中数据与对应条件下理论曲线数据进行对比计算,可知:珠子平衡位置的相对偏差均小于3%,珠子整体运动曲线实验与理论的相对偏差基本处于10%以内,这主要是由于实验所用3D打印环的内槽难以做到完全光滑.

7 结 论