一类具梯度项的分数阶椭圆方程解的存在性

潘 柔,陈 林

(1.伊犁师范大学数学与统计学院,新疆 伊宁 835000;2.伊犁师范大学应用数学研究所,新疆 伊宁 835000)

0 引言

分数阶椭圆方程在连续介质力学、种群动力学和博弈论等学科中具有广泛的应用[1-2].近年来,对具有解的梯度项的椭圆方程的研究受到了学者们的普遍关注,同时得出了丰富的结论[3-4].因为具有解的梯度项的椭圆方程往往不具有变分结构,因而经典的变分法和临界点理论不能直接使用,这是此类方程求解的难点所在.一些学者通过上下解、不动点理论和逼近的方法研究了方程解的存在性[5-6]. DWIVEDI等[7]运用De Figuereido提出的一种变分方法,将不可变分的问题变分化,再结合山路定理与迭代方法证明了椭圆方程:

变号解的存在性.受文献[7]和[8]的启发,本文研究以下分数阶椭圆方程的边值问题:

(1)

函数V与f满足如下假设条件:

μ{(x∈RN:V(x)≤M}<+∞,

其中,V0为常数;

(V2)V(x)是周期为1的连续函数,即对∀y∈ZN,∀x∈RN,V(x+y)=V(x);

(f1)对∀z<0,∀ξ∈RN,f(z,|ξ|p-2ξ)=0;

(f2)对∀ξ∈RN,当|z|→0时,|f(z,|ξ|p-2ξ)|=o(|z|p-1);

(f5)存在正数a1与a2使得对∀t>0,∀ξ∈RN,有F(t,|ξ|p-2ξ)≥a1tθ-a2;

(f7)对∀z1,z2∈[0,ρ1]与∀|ξ|≤ρ2有

|f(z1,|ξ|p-2ξ)-f(z2,|ξ|p-2ξ)|≤L1|z1-z2|p-1,

对∀z∈[0,ρ1]与∀|ξ1|, |ξ2|≤ρ2有

|f(z,|ξ1|p-2ξ1)-f(z,|ξ2|p-2ξ2)|≤L2|ξ1-ξ2|p-1,

这里的ρ1与ρ2依赖于条件(f3)(f4)所给的q和θ.

注1 本文主要定理的证明将用到RN中的标准不等式,即

这里〈·,·〉是RN中通常的内积.

主要结果如下:

1 预备知识

基于迭代技巧,构造与问题(1)相关的一类不依赖于解的梯度项的分数阶椭圆边值问题.即,对∀w∈Xs(RN),研究问题:

(2)

此时该问题具有变分结构可以使用变分法.

设s∈(0,1),对分数阶Sobolev空间Xs的定义如下[9]:

(3)

对∀u∈Xs,在空间Xs上赋予范数:

(4)

定义1 若对任意的φ∈Xs,有

成立,则称u∈Xs为问题(2)的弱解.

设问题(2)的欧拉泛函Jw:Xs→RN,具体定义为:

(5)

易知泛函J∈C1(Xs,R),Jw的Gateaux导数为:

Jw的临界点就是问题(2)的弱解.

下面证明能量泛函Jw具有山路定理的几何结构.

引理1 设w∈Xs,则存在正数ρ与α(独立于w),使得对∀u∈Xs,当‖u‖=ρ时,有

Jw(u)≥α>0

成立.

证明 由(f2)～(f3)可知,给定ε>0,存在一个正常数Cε(独立于w),使得

由Sobolev嵌入定理,可得

因为p

引理2 设w∈Xs,固定v0∈Xs,‖v0‖=1,则存在T>0(独立于w),使得对∀t≥T,有

Jw(tv0)≤0

(6)

成立.

证明 由(f5)与Sobolev嵌入定理,有

因为θ>p,从而存在一个充分大的T(独立于v0与w),当t≥T时,有(6)式成立.

该引理的证明可由集中紧性原理得出,类似于文献[10]中的引理2.2的证明.下证问题(2)正解的存在性.

引理5 假设条件(f1)～(f6)成立,则对∀w∈Xs∩C1(RN),问题(2)至少有一个正解uw.此外,存在正数ρ1与ρ2(独立于w),使得‖uw‖C0≤ρ1与‖∇uw‖C0≤ρ2.

证明 由引理1与引理2可知,能量泛函Jw符合山路几何结构,再根据Ambrosetti与Rabinowitz的没有PS条件的山路定理[11],可知存在一个序列{un}⊂Xs满足:

Jw(un)→cw,J′w(un)→0,

由(f4)可知,

C4‖un‖p≤cw+‖un‖.

因此,对∀φ∈Xs,有J′w(uw)φ=0.

首先假设uw不恒为零,由(f1)可知uw≥0,由Harnach不等式[15]可得,对∀x∈RN,uw>0. 此外,与文献[16]中的讨论类似,存在正常数ρ1,ρ2(独立于w),使得‖uw‖C0≤ρ1,‖∇uw‖C0≤ρ2.

若uw≡0,则存在序列{yn}⊂RN,α,R>0使得:

(7)

引理6 设w∈Xs,则存在正常数K1(独立于w),使得由引理5得到的解uw,有‖uw‖≥K1成立.

证明 因为uw不恒为零,且由(f2)与(f3)可知,

(1-C5ε)‖uw‖p≤C6Cε‖uw‖q,

即

引理7 设w∈Xs,则存在一个正常数K2(独立于w),使得由引理5得到的解uw,有‖uw‖≤K2成立.

证明 由(f6)可知,

由引理2中的v0与(f5)可得:

再由(f4)可得:

因此,

2 正解的存在性

定理1的证明构造一个序列{un}⊂Xs,是

(8)

由(9)减(10)可得:

根据条件(f7)与注1可估计上述积分如下:

由Hölder不等式可得:

因为K<1,从而由Banach不动点定理可知,{un}强收敛于u,u∈Xs,且对∀n,‖un‖≥K1,故u>0.这样就得到了问题(1)的一个正解,则定理1得证.