基于实际效果分解法分析斜抛运动问题

林溢源 沈 卫

(湖州市菱湖中学 浙江 湖州 313018)

人教版高中物理必修第二册教科书提出:仿照平抛运动的处理方法能够得到描述斜抛运动的几个关系式[1].因此在多数情况下,分析斜抛运动的方法还是遵循平抛运动的处理方式,即采用正交分解法将斜抛运动分解为水平、竖直方向的匀变速直线运动.此外运用正交分解法分解运动或者力的时候可以沿着任意的两个相互垂直的方向[2].

不过笔者在学习实践中发现,正交分解法虽然原理直观简洁,但在解决部分斜抛运动问题时会构建过多的方程,计算略显繁琐,譬如从斜面底端斜上抛一个物体,计算其落在斜面上时与抛出点的距离,如图1所示.如果遵循按实际效果分解的原理,将物体的运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动、竖直方向的自由落体运动,则在一定程度上可以简化问题的过程分析.

图1 斜面上斜上抛物体示意图

1 按实际效果分解法分析斜面上斜上抛运动

根据图1,可将物体斜上抛运动分解为沿初速度v0方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动.根据分运动独立性原理可知,两个方向上的运动不会相互影响且具备等时性的特点.因此可构建如图2所示的两个分运动位移的示意图.

图2 斜面斜上抛物体的分位移图

由图2可知,当物体从O点斜向上抛出落到A点的过程中,根据△OAB及正弦定律可得

整理之后可得物体由O至A的时间为

再根据△OBC与△OAC即可得到物体抛出点O与落点A之间的距离d满足

基于上述分析,可以看到按实际效果分解法在分析斜抛运动的问题时,其优势在于不改变物体所参与的分运动实际效果的属性,并且将这种属性以几何运算的形式加以呈现出来,从而充分展示物体分运动的特征,避开了因运动分解带来的过多的方程联立.通过笔者的学习实践,发现按实际效果分解在分析斜抛运动问题时具有较为广泛的普适性,下面通过两个具体的问题实例加以说明.

2 按实际效果分解法在斜抛问题实例中的运用

从运动的实际效果出发分解斜抛运动,其运动所构成的位移三角形在多数情况下为斜三角形,因此在数学工具的运用上需要依托于解斜三角形的法则.故在方法运用上需要同学们具备一定的数学能力,并且能够从分位移的三角形出发,建立边角的关系,列方程求解.

2.1 对单一物体做斜抛运动的分析

【例1】最大与水平面成什么角度抛出石子,才能使石子在运动过程中始终远离抛出点?不计石子所受阻力.

分析：取抛出点所在的水平面,构建石子沿初速度方向的匀速直线运动、竖直方向的自由落体运动的运动位移示意图如图3所示.

图3 抛出的石子任意时刻的位移图

图中α为斜抛运动的抛射角.由余弦定理可知,在△OMN中存在

其中d为石子运动的任意时刻位置与抛出点的距离.显然如果抛出的石子一直远离抛出点,则意味着随着时间t的增大,d一直增大,即d2一直增大.不妨取f(t)=d2,并对其求时间t的一阶导数,可得

显然当f′(t)>0时,d始终增大.

构建方程

当f′(t)>0时,运用根的判别式可得

可得石子的抛射角需满足

2.2 两物体斜抛运动问题的分析探讨

【例2】一枪从同一地点发出两颗子弹,发射的时间间隔为Δt,若两子弹在同一平面内运动,证明两子弹相遇的条件是

其中,α、β是两次发射子弹的仰角且α>β,v是发射的初速度,如图4所示,不计空气阻力．

图4 两颗子弹做斜抛运动的示意图

分析：将两颗子弹沿初速度方向与竖直方向构建分运动的位移图如图5所示.

图5 两颗子弹分运动位移的示意图

由图5中两颗子弹位移所构成的△OAB,依据正弦定理可得

(1)

(2)

根据式(1)可得子弹2从发射到与子弹1相遇所需的时间t满足

(3)

联立式(2)、(3)并整理之后可得到两颗子弹相遇需满足

利用和差化积公式与二倍角公式处理该式就能得到问题所要求证的结论,即

3 总结

通过上述两个问题实例可知,不论对于单一物体做斜抛运动还是两个物体做斜抛运动,按实际效果分解物体的运动,把握做斜抛运动的物体分运动的实际效果属性,从解决问题的角度来说其方法是简洁而直观的．这种分解运动的方式在运算上也不是十分复杂,对于大多数处在高中的同学而言,只要具备高中数学的知识即可.因此处理复杂的斜抛运动问题,不妨转换思路,调整思考的角度,说不定能够从物理现象的本质与基本的概念入手,找寻到解决问题的最佳途径.