具体化—形象化—形式化:数学抽象素养培养的路径
——以“单调性与最大(小)值”为例

纪 斐

(丽水中学,浙江 丽水 323000)

1 案例背景

2022年10月,“浙派名师名校长培养工程”高中数学名师班在浙江省淳安县第二中学开展了新课程背景下的课堂教学研讨活动.该活动针对人教A版《普通高中教科书·数学》(必修第一册)第3.2.1节“单调性与最大(小)值”进行同课异构.

在第3.2.1节“单调性与最大(小)值”的教学中,增函数与减函数以及函数单调性概念的获得是一个重要的主题.因此,教师通过教学设计如何从“函数图象的变化趋势”这一单调性的感性描述到“函数单调性”概念的数学形式化定义成为这节课教学的关键.

函数的单调性是函数的一个核心概念,它反映了函数在某个范围内的变化趋势,在数学学科和生活实践中有着广泛的应用.函数的单调性是继函数的概念之后介绍的函数的首个重要性质.因此,函数的单调性这一概念,无论是在学生的学习还是在教师的教学中都有着十分重要的作用.

在教学中,该如何引导学生关注函数图象的这一变化趋势?如何关联自变量x的变化与函数值y变化之间的关系?如何用形式化的数学语言来描述这种变化关系并得到函数单调性的概念?函数单调性概念的本质又是什么?这些都值得关注.

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》在“教学与评价建议”中指出,要结合特定的教学任务,思考相应数学学科核心素养在教学中的孕育点、生长点;要注意数学学科核心素养与具体教学内容的关联;要关注数学学科核心素养目标在教学中的可实现性,研究其融入教学内容和教学过程的具体方式及载体[1].基于这样的理念,本文选取了这次课堂教学研讨活动中的3个案例,分析并探讨在高中数学概念教学中,培养数学抽象这一学科核心素养的路径与策略.

2 案例呈现

教学片段1教师1的课堂情境引入部分.

师:大家都知道淳安的地势高低起伏很大,老师从家里开车到学校,由于山路太多,高低起伏,如果车开得很快,那么就像在坐过山车一样.

全体学生都笑了.教师在黑板上画了一段近似W型的曲线.

师:如果要研究所画的行程中的高度变化趋势,该怎么研究?

生1:要放在坐标系中研究.

师:对于上升阶段的图象,如何描述它的变化趋势?

生2:函数值y随自变量x的增大而增大.

师:这是文字语言的描述,能不能用符号语言描述?

生3:当x1

师:我们前面刚学过函数符号,函数值可以用什么表示?

生4:当x1

师:很好!当x1

生5:不能,有的地方增大,有的地方减小.

师:能否用无数个来说明?

生6:不能.

师:如何描述更合适?

生7:所有的.

师:嗯,也就是说对任意的x1

生8:某一部分.

师:对,应该再加上在某个区间内.对于区间D内任意两个自变量x1,x2,当x1

教学片段2教师2的单调性概念形成与辨析部分.

在得出本节课要研究函数的单调性这一主题之后,教师2提出问题:“我们应该怎么研究单调性?”接着用PPT给出图1,再利用动画功能从图1中慢慢分离出图2.然后,在同一张PPT页面上呈现两个图象,并进行对比,利用3种语言抽象概括出单调性的定义.

图1 图2

例1结合图形,写出下列几个函数的单调区间:

1)f(x)=kx+b(其中k≠0);

2)f(x)=x2;

师:第3)小题的单调区间是什么?

生9:f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递减.

师:很好!请大家思考,能不能说f(x)在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减?

思考一段时间后,教师请生10回答.

生10:不能.比如-1<1,但是f(-1)

师:很好!利用了我们在第一章学过的全称量词与存在量词命题的知识,要说明刚才的命题不成立,只需要找一个反例就可以了.当然我们也可以严格证明,接下来请看例2……

教学片段3教师3的课堂导入部分.

开场用PPT给出教材中的导语:函数描述了客观世界变量之间的一种对应关系,可以通过研究函数的性质获得对客观世界中事物变化规律的认识.什么是函数的性质?变化中的不变性就是性质,变化中的规律性也是性质.

师:同学们,学习数学最主要的是要用数学的眼光观察现实世界、用数学的思维思考现实世界、用数学的语言表达现实世界.请大家观察图3中各个函数图象,说说它们从左到右有什么变化规律?

图3

生11:图象有起伏,有的变大,有的变小.

师:是什么在变大,什么在变小?

生12:从左向右,有的部分图象y的值随x变大而变大,有的部分图象y的值随x变大而变小.

师:很好!大家观察得很仔细,像这种函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质,称为函数的单调性.

3 案例的反思

从上面的3个案例可以看出,从函数的单调性概念的引出,到初步形成学生对单调性概念的理解,到最后给出单调性概念的形式化定义,3位教师的教学设计各有侧重.但仔细反思和总结,我们发现“具体化—形象化—形式化”是以“单调性与最大(小)值”这节课的教学为载体、培养数学抽象素养的有效途径.

3.1 “具体化”起始

教师1先从学生日常熟悉且能引起共鸣的现实生活经历入手,通过建立坐标系,将从家里到学校路线的高低起伏变化抽象成一个函数图象性质的问题.具体的生活情境为抽象的研究提供了必要的基础.学生从具体的实例中结合已学过的知识抽象出函数单调性的概念,可以较快地初步理解函数单调性的定义,为后续概念的辨析打下基础.当然,上述课堂教学中函数单调性定义的抽象过程的关键点是在教师的引导下完成,学生从中积累了经验.更重要的是,通过对现实问题的一步步抽象分析,学生慢慢理解了函数是构建数学模型的有效数学语言,更进一步理解函数单调性的研究不仅仅是数学本身的需要,也是更好地表达现实世界的需要.

在初中阶段,学生主要是通过正比例函数、反比例函数、一元二次函数的图象的变化趋势来认识函数的单调性.对于增函数,从函数图象上来说,是上升的趋势,用文字语言描述为函数值y随x的增大而增大.随着学生认知水平的提升,到了高中阶段,可以进一步用抽象的数学符号语言来表述函数的单调性:增函数即对某区间内的任意两个自变量x1,x2,当x1

3.2 “形象化”辅助

单调性通常是函数的一个局部性质,当然也有些函数在整个定义域上是单调的.为了强调这一点,不少教师都会在抽象出函数单调性的定义后花费不少的时间来辨析.在辨析过程中用大量的文字说明并反复强调,利用定义中的“任意”来解释,但任意性的理解恰恰是单调性定义理解的难点所在,较为抽象的辨析反而增加了学生对函数单调性理解的难度.

教师2的做法是在单调性概念形成之前精心设计,充分利用图形语言将较抽象的辨析问题形象化.对于具有多个单调区间的函数图象,利用动态效果,将其单调的一部分图象单独截取出来并对比呈现,这一细节的设计非常精彩.函数图象部分的动态分离,使学生印象深刻,效果更好.在此环节中无需再用更多的语言说明,两个图象进行对比,一目了然,非常直观,让学生比较自然地形成了单调性是函数局部性质的印象.这种数学直觉的建立为函数单调性严格定义的抽象形成起了潜移默化的作用,同时也对后续单调区间的学习起到了很好的先导作用.台上一分钟,台下十年功,没有教师平时对教材深刻思考的教学积累,也就不会有课堂上的神来之笔.

教师3借助几个特殊函数的图象,通过问题“你能说说它们从左到右有什么变化规律?”,让学生对函数单调性形成感性认识.

图4

3位教师都利用教材并通过分析函数图象的变化趋势以加深学生对增函数概念的理解:如图4,增函数是对某区间内的任意两个自变量x1,x2,当x1

数学核心素养的培养需要我们认真思考,从细微之处着眼,从教学细节入手.对数学抽象素养的培养,在平时的课堂教学设计时要多从图形语言入手,思考如何让抽象的问题更加形象,更加有利于学生对数学概念本质的理解,从而更好地运用数学抽象思维解决问题.

3.3 “形式化”提升

在课堂上,教师对数学概念的认知水平是高于学生的.教师觉得显然的事情,对于学生来说,有可能是难以接受的,这就需要教师先稚化自己的思维,尽可能贴近学生的认知水平,以学生的认知水平为出发点降低抽象问题的理解难度,多设置“阶梯”,让学生的理解一步一步上台阶,最终达到深度理解.

另外,教师对数学概念本质的高水平理解更应在课堂教学中体现出来.虽然在这3堂课中,每位教师都较好地通过从图形语言到文字语言再到数学符号语言的抽象形成了函数单调性的概念,但综观3位教师的教学,还是可以看到他们在处理单调性的形式化定义时,多少带着点生硬、“不自然”的感觉.

首先,教师1对定义中“任意”这个词的启发和铺垫还不够;其次,3位教师对定义中的“当x1

4 案例的启示

数学抽象素养是指通过对数量关系与空间形式的抽象,得到数学研究对象的素养.主要包括:从数量与数量关系、图形与图形关系中抽象出数学概念及概念之间的关系,从事物的具体背景中抽象出一般规律和结构,并用数学语言予以表征.数学抽象主要表现为:获得数学概念和规则,提出数学命题和模型,形成数学方法与思想,认识数学结构与体系[1].

基于此,教师在教学中要充分认识数学抽象这一学科核心素养的内涵与外延.

4.1 精准定位

正如教师3所总结的“用数学的眼光观察现实世界,用数学的思维思考现实世界,用数学的语言表达现实世界”,这正是数学抽象素养的主要内容.

该教师导入环节设置的目的就是从3个图象中函数的变化趋势抽象出一般规律,从而得到这节课要研究的对象“函数的单调性”,这一抽象过程也正是数学抽象素养的基本要求.

4.2 精心设计

笔者以前也曾多次观摩过“函数的单调性”的公开课,有些教师在课堂一开始就抛出课本上的3个图象让学生观察,直接让学生回答“可以研究哪些性质”.学生的回答五花八门:有答增减性的,有答对称性的,有答变化趋势快慢的,有答图象是否过原点的,有答图象在x轴上方的.这些回答都是学生基于不同的观察角度所得出的结论,虽说学生也都在积极参与,但是注意力比较分散,没有集中到这节课要研究的主题上来,其原因就是研究问题的方向不够明确.

其实,对于函数单调性的概念,在初中阶段,学生已经初步了解正比例函数、反比例函数具有单调性的特征.因此,在高中阶段继续研究函数单调性的概念时,应突出“从左向右”这一细微提示,为学生从特殊函数图象中找出共同的规律性指明方向,从而让学生把思考目标聚焦到初中曾研究过的单调性上来,更好地突出这节课的研究主题.

因此,教师在平时的课堂教学中培养数学抽象素养还需要在教学设计上充分考虑学生的认知水平,于细微处下功夫.

4.3 呈现本质

众所周知,数学抽象是数学的基本思想,是形成理性思维的重要基础,它贯穿在数学产生、发展、应用的过程中,不仅反映了数学的本质特征,也是使得数学成为高度概括、表达准确、结论一般、有序多级的系统的有力抓手.

函数单调性概念的本质在于处理无限变化的趋势,通过用单调区间内任意两个点的函数值的大小变化来考查函数在某个范围内的变化,以“两点”刻画“无穷”,即以“有限”把握住了“无限”.因此,在教学中,要多设置具体的情境,多运用“具体化”“形象化”的教学手段,多方位剖析数学概念,让学生积累从具体到抽象的活动经验,帮助学生理解数学概念的本质,培养学生把现实问题抽象成数学问题的意识,并在理解的基础上运用数学抽象的思维方式思考并解决问题.

数学抽象素养落实的一个很好的载体是概念课教学,但数学抽象的培养不仅体现在概念课的教学中.“具体化—形象化—形式化”这一有效路径,应贯穿在教师日常的课堂教学过程之中.“精准定位,精心设计,呈现本质”可以使得课堂教学的研究方向更加明确,学生学习的重心更加稳固,它不仅架起了从动态观察到理性分析的桥梁,也为数学概念的抽象和概念的形成起到铺垫和指引的作用,它能够有效地让学生在学习数学的过程中逐渐培育和发展数学抽象这一学科核心素养.