“情境—问题”教学培育初中生创新意识的案例研究
——以“平方差公式”为例

陈明万

(贵州师范大学数学科学学院,贵州 贵阳 550025)

创新意识作为贯穿整个基础教育阶段的数学核心素养[1],不仅是对小学生、初中生提出的要求,也是对高中生提出的要求,因为这是培养创造性人才的必经之路.2022年4月颁布的《义务教育数学课程标准(2022年版)》(以下简称《课标》)中创新意识的内涵是从日常生活、自然现象、科学情境中发现和提出有意义的数学问题.这与“情境—问题”教学中创设数学情境进而提出数学问题如出一辙.《课标》还指出,要让学生通过具体的实例,运用归纳类比的思想发现数学知识的关系和规律,提出数学命题和猜想并验证;敢于尝试,勇于探索开放性、非常规的数学问题;进一步形成独立思考、敢于质疑的科学态度和理性精神[2].通过分析可以发现,“情境—问题”教学模式与数学创新意识核心素养之间的关系非常密切,课堂教学中将二者结合,能很好地帮助学生培育其创新意识并有助于提升学生的创新能力[3].

1 问题提出

《课标》的颁布预示着数学课程目标出现了一些新变化.例如,在修订原则方面,坚持3个导向,即目标导向、问题导向、创新导向.可见,创新仍然是当下以及未来教育的研究热点,也是未来教育和社会发展的前进方向;“情境—问题”教学是贵州师范大学吕传汉、汪秉彝两位教授于2000年提出的一种教学模式,之后进行了一系列的教学实践研究并取得了丰硕的教学成果,旨在改变传统数学课堂重学习成绩轻核心素养培育的状况.“情境—问题”教学特别强调问题情境的创设,让学生在课堂上根据问题情境发现和提出问题,以问题链的形式组织学生教学,在解决问题的过程中产生新的情境,进而衍生新的问题,形成“情境—问题”学习链,用以培育学生的创新意识和实践能力,这与《课标》中创新意识的提法不谋而合.“情境—问题”教学模式见图1[4].

图1

2 在培育创新意识上的价值

“情境—问题”教学模式是吕传汉教授团队经过多年的实践研究所提出的重要原创理论.2018年,该理论荣获基础教育国家级教学成果一等奖[5].

2.1 创设问题情境,唤醒创新思维

传统的数学教学旨在让学生按部就班地接受书本上的知识,对知识的来龙去脉并不太重视.然而,“情境—问题”教学的目的是让学生脱离传统课堂的牢笼,通过设置数学问题情境的方式,让学生充分交流,激发学生的问题意识;其创设问题情境的本质是打破学生心理内部的平衡,让学生的知识结构得以重建,进一步唤醒学生的数学思维,从而使得学生融入学习活动之中,以达到培育学生创新思维的目的.创设问题情境的方式有如下几种:引发式、矛盾揭示式、出其不意式、似是而非式[6].

2.2 问题提出与解决,培养综合能力

创新始于问题,没有问题就没有创新.这是“情境—问题”教学模式的立足点,创设出来的数学情境不是胡编乱造的、也不是拿来就用的,是要让学生能够从中提出数学问题并加以解决的;同时,问题源自于情境,没有情境便没有问题[7].这便是为什么“情境—问题”教学模式强调创设问题情境,不能只为了情境而创设情境,也不能只为了问题而设置问题,要从数学教育的目标出发,不仅要让学生会提出数学问题,以培育学生的创新意识和创新能力,也要让学生有能力去解决问题,培养学生的综合能力.

2.3 注重学以致用,培养创造性人才

学习知识,无论是教师引导还是学生自学,最终都要在实践中进行检验.早在2001年,吕传汉教授发表的文章提出,要以学生为主体培养创造性人才[8],在教学中要坚持以学生为中心,“情境—问题”教学模式充分尊重了学生的主体性,让学生根据创设的问题情境提出相应的数学问题,进而解决提出的数学问题,最终做到学以致用.这不仅探求了知识的本质,也让学生探究了知识的完整性;不仅培育了学生的创新意识,而且让学生领悟了知识的实用性.2014年,张奠宙教授发表了《数学教育的中国道路》一文,时至今日,该文的教育理念仍具有重要意义,中国数学教育特色的核心是“在良好的数学基础上谋求学生的数学发展”[9].学生的发展是全面的,不是某一方面的发展,这充分表明,学习知识要重视基础,同时也要与时俱进,基础与创新同等重要,培养创造性人才刻不容缓.

3 平方差公式教学分析

本内容选自北师大版《义务教育教科书·数学》(七年级下册)第1.5节“平方差公式”.

3.1 主体思路

案例设计的主体思路如图2所示:

图2

3.2 课标内容要求

内容层面:通过具体实例,了解平方差公式.

学业层面:能判定并计算具体多项式与平方差公式的题目,通过题目发现问题、提出问题、分析问题和解决问题,培育学生的创新意识.

3.3 教学目标

1)让学生通过创设的问题情境发现问题和提出问题,并进一步通过探索的规律分析和解决问题,领悟学习知识是一个过程,而不是简单地知道结果,让学生自己推导并证明平方差公式.

2)让学生对所学习的知识加以运用,明白数学与生活的密切联系,体会从问题情境中探索新知的过程.

3.4 教学重、难点

重点:会推导平方差公式并能进行简单运算,理解平方差公式的几何背景.

难点:能将平方差公式运用到相关问题情境中,深刻领悟公式中字母的含义.

3.5 平方差公式教学

3.5.1 复习回顾

师:同学们,上一节课我们学习了整式乘法中的多项式乘以多项式,关于其运算法则,你们还有印象吗?

师:回答得非常好!接下来我们一起探究今天的学习内容.

3.5.2 情境导入

情境1从前有一个故事,讲的是一个地主把边长为30 m的正方形土地租给张三种植棉花.第2年的时候,地主对张三说:“我想把我的土地进行重新划分,你租的地一边减少5 m,相邻的另一边增加5 m,租金不变,这样你也没有吃亏,你看怎样?”张三听完,想着应该也没有吃亏,就答应了地主.当他回到家和邻居们说完,大家异口同声地说道:“张三,你吃亏了!”他感觉到很惊讶.

问题1请同学们思考一下:张三真的吃亏了吗?

设计意图“情境—问题”教学能够培育学生的核心素养.本课例中的问题情境是学生熟悉且感兴趣的,学生通过情境中的问题信息,能主动从情境中发现问题和提出问题,从而培育学生的创新意识和实践能力.

3.5.3 合作探究

师:同学们,我们已经学习过多项式乘以多项式,请大家动笔运算下面的几组题.

浇水：覆盖前如连续阴雨，林地已完全湿透，可以不浇水。如果覆盖前1周左右没有降水，则必须浇水，而且一定要浇透(2～3 d完成)，用水量约60～80 t/667 m2，下挖30 cm，抓一把泥土捏一下不散即可进行覆盖。

1)(2x-5)(2x+5);

2)(-3a-b)(b-3a);

3)(-5m+8n)(8n+5m);

4)(x-1)(x+1)(x2+1)．

问题2仔细观察运算的结果,你发现了什么规律,你能大胆地指出你发现的规律吗?

生1:我发现它们的运算结果只有2项.

师(追问):那这2项有什么规律吗?

生2:好像等于前一个数的平方减后一个数的平方.

师:能再具体一点吗?或者哪位同学补充一下.

生3:其中一个项相同,另一个项相反的两个多项式相乘,其结果等于相同项的平方减去相反项的平方.

师:回答正确.我们把两数和与两数差的积运算,称为平方差运算,其公式为(a+b)(a-b)=a2-b2,这个公式就是我们今天要学习的平方差公式.

设计意图通过创设问题情境,让学生对本节课学习的内容产生兴趣.此时学生的心理活动非常丰富,急切地想知道情境中的张三是不是真的亏了.紧接着抛砖引玉,通过多项式乘以多项式让学生去发现规律,本课例中第1)～3)小题为基础训练题,第4)小题的难度稍高,能够让学生进一步验证并提出自己发现的问题.这不仅促进了学生的问题意识,提升了学生的推理能力,还能培育学生的创新意识.

3.5.4 验证结论

师:同学们,现在我们知道了平方差公式的基本形式,你们知道怎么证明平方差公式吗?

情境2在公元3世纪,我国古代数学家赵爽用“面积割补法”证明了平方差公式.下面的两幅图就是当时数学家赵爽用来证明平方差公式的方法,同学们,结合图3和图4,你们能证明平方差公式吗?请大家仔细想一想并相互交流.

图3 图4

问题3根据图3和图4,验证平方差公式(已知图4根据图3割补而来).

生4:设图3的阴影部分面积为S1,图4的阴影部分面积为S2,则

S1=S大正方形-S小正方形=a2-b2,

S2表示一个大的长方形的面积,长方形的长为a+b,宽为a-b,因此,

S2=(a+b)(a-b)=S1=a2-b2.

师:很好!这是一种证明方法,还有其他证明方法吗?

生5:老师,还可以用梯形的面积来计算.

师:请在黑板上书写你的证明过程.

生5:在图3中,我们可以沿着对角线剪成2个全等的梯形,求阴影部分的面积即求一个梯形面积的2倍.而一个梯形的上底为b,下底为a,高为a-b,故阴影部分的面积为

与图4求得的面积一样,即验证了平方差公式.

师:刚才同学们用两种几何方法证明了平方差公式,说明同学们已经掌握了平方差公式.回到之前的问题情境,张三是不是真的吃亏了?哪位同学能通过口述进行回答.

生6:根据刚刚验证的平方差公式,我们可以用平方差公式来验证张三亏还是不亏的问题.他最开始租地的面积为

30×30=900(m2),

而一边减少5 m和相邻的另一边增加5 m,即是长方形的面积

(30-5)(30+5)=302-52=900-25=875(m2).

在租金不变的情况下,租地的面积减少了25 m2,因此,张三亏了.

师:回答得很好.在没有学习平方差公式的时候,我们很难一下子判断张三是不是真的亏了,但是通过学习,并验证了平方差公式之后,是不是感觉这个问题其实很简单.平方差公式在以后的学习中是很重要的,而证明平方差公式的方法还有很多,同学们可以查阅相关资料了解其他证明方法.

设计意图平方差公式的证明在本节课中非常重要.数学知识不是让学生死记硬背,学生的兴趣来源于教师的教学.在上述案例中,教师首先以古代数学家赵爽的“面积割补法”为问题情境,让学生知道赵爽也是通过这种方式证明平方差公式的,直接激发了学生的问题意识,迫切地想知道如何证明平方差公式.教师通过创设问题情境,激发学生发现和提出问题的能力,引导学生积极思考;学生通过观察图形又引入了新的证明方法,促进了学生创新精神的培育.最后回扣本节课的问题情境,让学生感叹数学的神奇之处.

3.5.5 公式应用

师:我们学习并且验证了平方差公式,如何运用平方差公式呢?

问题4下列哪些式子能用平方差公式计算?哪些不能?如果不能,请说出理由.

1)(m+n)(-m-n);

2)(m-n)(n-m);

3)(a+3b)(3b+a);

4)-(2-x)(x+2);

5)(-3x+2y)(2y-3x)．

生7:只有第4)小题能用平方差公式进行计算.

师(追问):请板书或者说出你的理由.

生7:因为我们学习的平方差公式是

(a+b)(a-b)=a2-b2,

它代表的意义是两数和与两数差的乘积,其中两个数是相同项和相反项的关系.而第1)小题和第2)小题的两个数均为相反项,第3)小题和第5)小题的两个数均为相同项,第4)小题前面的负号可以先不看,即

(2-x)(x+2)=(2-x)(2+x)=22-x2=4-x2,

则

-(2-x)(x+2)=-(4-x2)=x2-4.

师:很好!这位同学分析得很完整,你能总结运用平方差公式需要注意的地方吗?

生7:我认为运用平方差公式需要注意的关键点可以概括为4个字“一同一反”,两个多项式相乘,若式子中刚好存在“一同一反”的关系,则可以运用平方差公式进行运算.

师:这位同学总结得很好!我们在运用平方差公式的时候要紧紧抓住两个多项式刚好“一同一反”的关系,这样才能利用平方差公式进行运算.

问题5计算下列各式,并观察它们的共同特点.

1)5×7=____,17×19=____,59×61=____;

2)6×6=____,18×18=____,60×60=____.

生8:老师,我发现下一个式子的结果比上一个式子多1.

师(追问):结合今天的学习内容,你能探索其中的规律吗?

生8:老师,我发现5×7=62-1,17×19=182-1,59×61=602-1,而1可以看作12,那这是不是说明两个数的乘积可以运用平方差公式计算呢?

师:通过观察上面的式子,是任意两个数的乘积都可以吗?还是有什么限制条件呢?

生9:我刚刚进行了验证,发现要相邻的两个数或者接近的两个数之和能被2整除才能运用平方差公式进行计算.两数之和除以2所得的数即为平方差公式运用的本质所在,如教材上的

118×122=(120-2)(120+2)=1202-22

=14 400-4=14 396.

如果两个数不相邻,比如21×91,运用平方差公式,得

21×91=(56-35)(56+35)=562-352

=3 136-1 225=1 911,

这并没有简化运算,反而增加了运算量.

师:很好!通过分析我们发现,平方差公式有时候可以简化我们的运算,但学习知识要活学活用,举一反三,而不是拿来就用.生9分析得很不错!

设计意图问题4引导学生判别平方差公式,这里的问题情境可以看作是数学情境,让学生对比平方差公式,总结并论述自己发现的关于判别平方差公式的方法;问题5属于知识探究,让学生观察两组算式,发现两个数的乘积与相邻项之间的关系,提出相近的两个数之和能被2整除便能运用平方差公式进行计算,培养了学生发现问题和提出问题的能力,培育了学生的创新意识.

3.5.6 作业巩固

师:同学们,我们这节课学习了平方差公式,并且利用几何背景验证了平方差公式,接下来通过作业检验今天的学习成果,共设置了4种题型.

1)直接计算型.如

(-5m+9n)(-9n-5m), (x-3)(x+3)(x2+9).

3)化简求值型.如

(3x-y)(y+3x)-(y+x)(y-x),

其中x=1,y=3.

4)几何背景型.如图5,从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的小正方形(其中a>b),把剩下的阴影部分拼接成梯形(如图6),通过这两幅图形的面积,能够验证的乘法公式是______.

图5 图6

设计意图数学知识的教学不能止于课堂,课后作业也应该是学习数学知识的一部分,作业要精心挑选.本节课共布置了4种题型的作业,从基础到提高,层层推进,学生从简单计算到复杂运算,经历题型的多变,拓宽学生的知识视野.几何背景的题目可以培养学生观察和直观想象的能力,对于今后实践能力和创新精神的提升均有重要意义.

4 思考与建议

4.1 精心设置问题情境,培育学生创新意识

正如前文所述,教师在教学中要合理设置问题情境.创设问题情境的方式有很多,本文所设置的问题情境大致有引发式、似是而非式.毫无疑问,这些问题情境都很好地激发了学生学习数学的兴趣.初中生,特别是初一的学生,如果一开始就失去了学习数学的内部动机,那么在今后的数学学习中,将会越来越吃力,这无疑会阻碍学生的数学学习.“情境—问题”教学模式把课堂还给学生,以学生为中心开展教学,充分调动学生的积极性和主动性,创设学生感兴趣的问题情境、与学生相关的问题情境等.特别强调,在设置问题情境的过程中,要让学生提出与数学知识相关的数学问题,否则,就变成了为问题情境而设置情境了,学生通过问题情境能发现并提出相应的数学问题,有助于培育学生的创新意识.

4.2 教学方式灵活多变,主动探究孕育创新

本节课采用“情境—问题”教学进行授课,通过精心设置问题情境,引导学生从情境中发现问题,让学生带着问题学习,积极思考,主动探究,旨在通过这样的授课方式,培养学生对数学学习的兴趣和自信心.而创设的问题情境能很好地激发学生的学习热情,让学生主动探索新知,不仅培养了学生的推理能力,也让学生敢于提出自己发现的问题,对学生的创新精神和实践能力均有不同程度的促进.学生创新意识的培育任重而道远,教育教学不能急功近利,而是要徐徐图之.“平方差公式”作为最基本的乘法公式之一,采用“情境—问题”教学,学生能很快进入学习的状态,教师引导学生发现和提出问题,整节课下来学生的精神状态都是充满激情的,这就为培育学生的创新意识奠定了坚实的基础,学生通过问题情境主动探究,本身就孕育了潜在的创新意识.长此以往,定能促进学生创新意识的培育,实现创造性人才的培养目标,体现数学学科的育人价值.