基于WPT-ISO-RELM模型的月径流时间序列预测研究

王应武，白栩嘉，崔东文

(1.云南省水利水电勘测设计研究院，云南 昆明 650021；2.云南省文山州水务局，云南 文山 663000)

1 研究背景

准确的月径流量时间序列预测为防涝减灾、水资源的合理配置和调度提供科学依据和指导性建议。月径流受降水、气候、人类活动等因素影响，时序数据表现出高噪声、非线性、非平稳性和多尺度等特征，导致未经数据分解处理的模型难以获得满意的预测效果[1-4]。由于月径流影响因素众多，并最终体现在随时间变化的月径流监测数据中，因此，可采用时间预测模型挖掘月径流数据的潜藏规律，进一步预测其变化趋势。近年来，时间序列预测模型已广泛应用于月径流预测，如王文川等[5]建立完全集合经验模态分解方法(CEEMDAN)、变分模态分解(VMD)和BP神经网络相融合的月径流预测模型；刘尚东等[6]将极点模态分解法(ESMD)与最近邻抽样回归模型(NNBR)结合构建耦合月径流预测模型；张璐等[7]建立VMD、相空间重构(PSR)和贝叶斯神经网络(BNN)相融合的月径流预测模型；徐冬梅等[8]基于CEEMDAN、小波分解(WD)二次组合分解技术，构建CEEMDAN-WD-粒子群优化(PSO)-最小二乘支持向量机(LSSVM)月径流组合预测模型；孙国梁等[9]构建VMD、麻雀搜索算法(SSA)与长短期记忆神经网络(LSTM)相耦合的月径流预测模型；梁晓鑫等[10]建立奇异谱分析(SSA)、梯度优化算法(GBO)与相关向量机(RVM)、支持向量机(SVM)相融合的月径流预测模型；李新华等[11]构建小波包分解(WPD)-金枪鱼优化算法(TSO)-极限学习机(ELM)组合月径流预测模型；杨琼波等[12]建立WPD、人工水母搜索算法(AJS)、数据分组处理方法(GMDH)组合月径流预测模型；席东洁等[13]建立经验模态分解(EMD)与Elman神经网络组合月径流预测模型；桑宇婷等[14]建立互补集合经验模态分解(CEEMD)与BP神经网络组合月径流预测模型；王丽丽等[15]构建SSA、灰狼优化算法(GWO)、回归支持向量机(SVR)融合月径流预测模型。

正则化极限学习机(Regularized extreme learning machine，RELM)主要为解决极限学习机(Extreme learning machine，ELM)泛化能力差、预测不稳定等问题而提出，具有训练速度快、泛化能力好等优点，已在各行业领域得到广泛应用。但在实际应用中，随机给定的输入层权值和隐含层偏差(简称“超参数”)在很大程度上影响了RELM的稳定性和预测精度。针对这一问题，PSO算法[16-17]、天牛群优化算法(BSO)[18]、蜉蝣算法(MA)[19]、鸟群算法(BSA)[20]等已被用于RELM超参数优化。

为提高月径流时间序列预测的精度，验证改进蛇群算法(Improve snake optimization，ISO)优化RELM超参数对模型性能的影响，提出小波包变换(Wavelet packet transform，WPT)-ISO-RELM预测模型，并构建WPT-SO-RELM、WPT-GWO-RELM、WPT-变色龙群算法(CSA)-RELM、WPT-鲸鱼优化算法(WOA)-RELM、WPT-樽海鞘群体算法(SSA)-RELM、WPT-侏獴优化算法(DMO)-RELM、WPT-PSO-RELM模型、WPT-ISO-LSSVM、WPT-SO-LSSVM、WPT-GWO-LSSVM、WPT-CSA-LSSVM、WPT-WOA-LSSVM、WPT-SSA-LSSVM、WPT-DMO-LSSVM、WPT-PSO-LSSVM、WPT-RELM、ISO-RELM模型作对比分析模型，通过黑河流域莺落峡水文站、讨赖河水文站1956年1月～2009年12月月径流预测实例对各模型进行验证。

2 研究方法

2.1 小波包变换(WPT)

WPT能同时对信号低频部分和高频部分进行分解，更适用于波动激烈的月径流时间序列分解。WPT对月径流原始信号进行分解，具体参考文献[11，21-22]，其公式为

(1)

重构算法公式为

(2)

2.2 改进蛇群优化(ISO)算法

SO是F. A. Hashim等人于2022年提出的一种新型元启发式优化算法。该算法灵感来自于蛇的觅食和繁殖行为，即通过模拟探索阶段(觅食过程)和开发阶段(繁殖过程)进行位置更新来达到求解优化问题的目的[23]。基本SO数学描述简述如下：

Xi=Xmin+r(Xmax-Xmin)

(3)

式中，Xi为第i个个体位置；r为介于0和1之间的随机数；Xmax、Xmin分别为搜索空间上、下限值。

(2)定义温度和食物量。SO算法中，其探索、开发阶段主要受温度Temp和食物量Q的影响，温度Temp和食物量Q定义为

(4)

式中，t、T分别为当前迭代次数和最大迭代次数；c1为常数，取0.5。

(3)探索阶段。SO算法中，若食物量Q<0.25，则蛇群个体选择任何随机位置来搜索食物并更新位置。位置更新描述为

(5)

(4)开发阶段。SO开发阶段相对复杂，分为靠近猎物、战斗、交配等3种策略，3种策略均受温度Temp和食物量Q的影响。

靠近猎物策略。SO算法中，若食物量Q>0.25且温度Temp>0.6时，则蛇靠近猎物，位置更新如下

(6)

战斗或交配策略。若温度Temp≤0.6时，则蛇执行战斗或交配策略。

战斗策略位置更新为

(7)

交配策略位置更新为

(8)

(5)种群更新。SO算法中，若有蛇蛋孵化，则随机生成位置替换最差雄性或雌性个体位置，数学描述为

(9)

SO已被验证具有较好的寻优性能[23]，但对于复杂优化问题，SO仍然存在搜索能力不足和搜索精度低等不足。为进一步提高SO的全局和局部搜索性能，本文针对常数c1、c2、c3改进如下

(10)

2.3 正则化极限学习机(RELM)

ELM是一种广义的单隐层前馈神经网络，具有较快的学习速度和良好的泛化能力。给定M个样本Xk={xk，yk}，k=1，2，…，M，其中xk为输入数据，yk为真实值，激励函数为f(·)，隐层节点为m个，ELM输出可表示为[24-25]

(11)

式中，oj为输出值；Wi={ωi1，ωi2，…，ωim}′为输入层节点与第i个隐含层节点的连接权值；bi为第i个输入节点和隐含层节点的偏值；λi为第i个隐含层节点与输出节点的连接权值。

在实际应用中，ELM存在过拟合、可控性弱等缺点。为克服ELM不足，Deng等[26]在ELM中引入结构风险和正则化系数C，通过参数C来调节结构风险与经验风险的比例，以改善ELM过拟合问题[27-28]。RELM数学模型目标函数表述为

(12)

受限于

(13)

2.4 建模流程

步骤1。利用2层WPT对莺落峡水文站、讨赖河水文站月径流时序数据进行分解，得到2个高频分量[2，1]、[2，2]和2个低频分量[2，3]、[2，4]，见图1。从图1可以看出，高频分量波动激烈，频率大、振幅小，大致反映了月径流时序数据的随机变化情况；低频分量波动较缓，频率小、振幅大，大致反映了月径流时序数据的变化趋势。本文选取莺落峡水文站、讨赖河水文站月径流时序数据的80%作为训练样本，剩余的20%作为预测样本。

图1 月径流时序数据2层WPT分解

步骤2。参考文献[11，21-22]，利用Cao方法确定图1中低频和高频分量的输入步长a，并利用前a个月的径流分量预测未来1个月的分量值，即输入层节点数为a，输出层节点数为1。利用同样的方法确定原始月径流的输入步长a，计算结果见表1。

表1 输入步长a的计算结果

依据表1，预测模型的输入、输出可表述为

(14)

式中，M为样本数量；a为输入步长，即嵌入维度。

步骤3。利用低频和高频分量的训练样本拟合值与实际值构建均方误差(MSE)，并将其作为ISO、SO、GWO、CSA、WOA、SSA、DMO、PSO算法优化RELM超参数的适应度函数，其公式为

(15)

步骤4。设置ISO、SO、GWO、CSA、WOA、SSA、DMO、PSO算法的种群规模为50，最大迭代次数为200，其他参数采用算法默认值(本文着重介绍ISO算法优化过程，其他7种算法优化过程可参考ISO算法实现)。利用式(3)随机初始化蛇群个体位置Xi，将蛇群规模N分为相等的两组Nm、Nf。

RELM、LSSVM参数设置如下：RELM选用含有一个隐含层的3层网络结构，隐含层节点数设置为a(a为输入步长)，激活函数选择sigmoid函数，超参数搜索空间设置为[-1，1]，其中RELM网络正则化系数C设置为1×10-10；LSSVM核函数g和正则化参数γ搜索空间均设置为[0.01，2 000]，式(15)为8种算法优化的适应度函数。为验证优化效果，RELM模型参数设置同上；所有模型的原始数据进行[0，1]归一化处理。

步骤5。计算蛇群所有个体适应度值，找到并保存当前最佳猎物位置Xfood。令当前迭代次数t=1。

步骤6。计算c1、c2、c3值，分别将其代入式(4)～式(8)。若食物量Q<0.25，则利用式(5)更新雄性和雌性位置；若食物量Q>0.25且温度Temp>0.6，则利用式(6)更新位置；若温度Temp≤0.6，则利用式(7)、式(8)更新位置。

步骤7。基于式(9)替换具有最差位置的雄性或雌性个体。

步骤8。利用更新后的蛇群个体位置计算适应度值，比较并保存当前最佳猎物位置Xfood。

步骤9。重复步骤6～步骤9直至满足算法终止条件。

步骤10。 输出全局最佳猎物位置Xfood，该位置即为RELM最佳超参数。利用该超参数建立WPT-ISO-RELM等模型对低频、高频分量进行预测和重构。

步骤11。利用平均绝对百分比误差MAPE、平均绝对误差MAE和纳什效率系数NSE对模型进行评价。

3 模型验证

数据来源于国家冰川冻土沙漠科学数据中心(http：∥www.ncdc.ac.cn)提供的莺落峡水文站、讨赖河水文站1956年1月～2009年12月共648组月径流时序数据，月径流过程如图1所示。从图1可以看出，莺落峡水文站、讨赖河水文站月径流序列波动性较大，复杂程度较高，呈现出较强的非线性和非平稳性，不利于直接预测。

3.1 算法实例验证

为验证ISO优化性能，基于式(15)构建8个RELM超参数寻优适应度函数fMSE，利用ISO、SO、GWO、CSA、WOA、SSA、DMO、PSO分别对各适应度函数fMSE进行20次寻优，并利用最优值fB、最劣值fW和平均值fA对8种算法的实际优化性能进行评估，见表2、3，某次寻优曲线见图2。

表2 莺落峡水文站月径流8种算法优化结果评估指标对比 10-3

表3 讨赖河水文站月径流8种算法优化结果评估指标对比 10-3

图2 ISO等8种算法实例适应度函数寻优曲线

从表2、3和图2可以得出：

(1)ISO寻优精度均优于SO、GWO、CSA、WOA、SSA、DMO、PSO等7种算法，表现出更好的寻优精度和全局优化性能，表明通过改进c1、c2、c3参数，ISO优化性能得到大幅提升。总体而言，8种算法优化性能依次是ISO>SO>GWO>SSA>PSO>DMO>CSA。

(2)从图2可以直观看出，ISO寻优精度高、收敛速度快，表现最好；PSO、DMO、CSA在实例适应度函数寻优过程中陷入局部极值，表现较差。

3.2 预测结果及分析

利用WPT-ISO-RELM等模型对莺落峡水文站、讨赖河水文站的月径流低频、高频分量进行训练及预测，将预测结果加和重构后得到最终预测结果，同时构建ISO-RELM模型对原始月径流序列进行训练及预测，见表4。

表4 莺落峡、讨赖河水文站月径流预测结果评估指标对比

由表4可知：

(1)WPT-ISO-RELM模型对莺落峡水文站月径流预测的MAPE、MAE、NSE分别为0.854%、0.245 m3/s、0.999 9，对讨赖河水文站月径流预测的MAPE、MAE、NSE分别为0.447%、0.068 m3/s、0.999 9，预测精度优于WPT-SO-RELM模型、WPT-GWO-RELM模型、WPT-CSA-RELM模型，远优于其他对比模型，具有更高的预测精度和更好的稳健性能，将其用于月径流时间序列预测是可行的。

(2)在相同预测器情形下，对于莺落峡水文站月径流序列，WPT-ISO-RELM模型预测的MAPE较WPT-SO-RELM模型、WPT-GWO-RELM模型、WPT-CSA-RELM模型、WPT-WOA-RELM模型、WPT-SSA-RELM模型、WPT-DMO-RELM模型、WPT-PSO-RELM模型分别提高12.4%、50.2%、61.0%、82.7%、53.7%、82.3%、69.2%，对讨赖河水文站月径流序列分别提高9.1%、55.2%、68.5%、81.6%、61.9%、83.5%、74.6%，表明ISO优化RELM超参数的效果要优于其他算法，算法优化性能越强，寻优精度越高，优化获得的RELM超参数越优，由此构建的模型预测精度越高。

(3)与WPT-RELM模型相比，通过优化RELM超参数构建的模型，其预测性能均得到大幅提升，表明采用智能算法优化RELM超参数，能大大改善RELM网络的预测性能。

(4)与ISO-RELM模型相比，采用WPT对月径流时序数据进行分解，其预测精度得到显著提升，表明WPT能有效将月径流原始序列分解为更具规律的低频和高频分量，大大提高了模型的预测精度。

(5)由于RELM超参数优化维度Dim=inputnum×hiddennum+hiddennum(inputnum、hiddennum分别为输入层、隐藏层神经元个数)，因此，本文RELM超参数优化维度在132～756之间，属高维优化问题；而LSSVM超参数仅有2个，属2维优化问题。从表4预测结果来看，对于高维优化问题，ISO优化效果最好，SO、GWO、SSA次之，PSO、DMO、CSA优化效果较差；对于2维优化问题，虽然ISO优化效果最好，但与其他算法优化效果差别不大，其他7种算法均对LSSVM超参数有着较好的优化效果。可见，基于c1、c2、c3参数改进的ISO算法，无论是高维还是低维优化，均具有较好的全局极值寻优能力；同时也可看出，对于高维RELM超参数优化问题，算法的寻优性能对提升RELM预测精度十分关键。

4 结 论

为验证ISO改进效果和优化算法寻优能力对RELM超参数寻优效果的影响，基于WPT分解方法和ISO、SO、GWO、CSA、WOA、SSA、DMO、PSO共8种群体智能算法，提出了WPT-ISO-RELM、WPT-SO-RELM、WPT-GWO-RELM、WPT-CSA-RELM、WPT-WOA-RELM、WPT-SSA-RELM、WPT-DMO-RELM、WPT-PSO-RELM等8种组合时间序列预测模型，并构建若干对比模型，以黑河流域莺落峡水文站、讨赖河水文站月径流预测实例对各模型性能进行验证，得到以下结论：

(1)对于实例适应度函数fMSE，ISO寻优效果均优于SO、GWO、CSA、WOA、SSA、DMO、PSO，具有较好寻优精度和收敛性能，通过改进c1、c2、c3参数，能有效提升ISO极值寻优能力和平衡能力。

(2)WPT-ISO-RELM模型对莺落峡水文站、讨赖河水文站月径流的预测效果均优于其他对比模型，具有更高的预测精度和更好的稳健性能。

(3)对于高维优化问题(RELM超参数优化)，ISO优化效果最好，SO、GWO、SSA次之，PSO、DMO、CSA优化效果较差；算法寻优性能对提升RELM预测精度十分关键，算法优化性能越强，寻优精度越高，由此获得的RELM超参数越优，所构建的模型预测性能越好。对于低维优化问题(LSSVM超参数优化)，ISO、SO、GWO、CSA、WOA、SSA、DMO、PSO等8种算法均具有较好的优化效果，但ISO优化效果最好。

(4)WPT能有效挖掘原始序列中的内部特征信息，获得更具规律的低频和高频分量，更容易建模预测。

(5)本文提出的模型及组合方法可为相关预测研究提供参考，具有较好的实际应用和推广价值。