基于自适应多层RLS的锂离子电池参数辨识

段双明，张胜利

（现代电力系统仿真控制与绿色电能新技术教育部重点实验室（东北电力大学），吉林 吉林 132012）

锂离子电池由于其高能量密度、长循环寿命和无记忆效应的优点被广泛应用在电动汽车、新能源发电和移动电子设备等领域[1-2]。模型参数辨识是电池建模的重要步骤，辨识结果的准确性直接影响模型的精确性，而模型参数直接影响现有电池故障诊断效果[3-4]和电池状态估计精度[5-6]。因此，实现精确的参数辨识对于电池管理至关重要。

在线参数辨识可以根据电池所处的环境和状态实时修正模型参数，因此被大量研究。文献[7]提出滑动窗口差分遗忘因子递推最小二乘法，选择自适应变时间宽度的数据来更新遗忘因子，实现了对遗忘因子的进一步控制，但只验证了在电池参数不发生变化情况下的结果，对于变化参数的情况并未讨论。文献[8]针对电池模型不同部位的收敛时间的不同特点，使用RLS（recursive least squares）和扩展卡尔曼滤波异步辨识二阶等效电路模型，验证了电压误差从零初值收敛到确定参数的收敛时间，同样存在的问题是在参数发生变化的情况下，并未说明参数收敛时间。文献[9]使用粒子群优化模拟退火算法对三种不同类型的电池模型参数进行辨识，展示了所提方法在不同模型间的通用性，但所用方法并未验证在实时参数辨识上的计算时间问题。文献[10]提出使用恒流间歇滴定技术建立等效电路模型参数的精确查找表，对不同温度下的电池参数进行精确表征，但这需要大量的前期实验时间，并且同一型号的电池存在不一致性差异，随着使用时间的增加，查找表精度会越来越差。文献[11]针对锂离子电池组提出了一种改进的复合等效建模方法和拼接卡尔曼滤波算法，提高了荷电状态的预测精度。文献[12]提出了一种改进的前馈-长短期记忆（FF-LSTM）建模方法，通过有效地考虑电流、电压和温度等因素，实现了精确的全生命周期SOC预测。

在电流变化频繁的运行条件下，极化电容参数会剧烈变化，而RLS 适用于参数变化缓慢的系统，当参数变化剧烈时，辨识参数误差会增大[13]，故针对电池参数发生变化时导致辨识误差的问题，本文提出自适应多层RLS参数辨识方法，所提方法根据层数变化来更新参数，以提升算法参数跟踪能力。设计层数选择器，根据误差e(k)值的变化选择层数，减小计算量，搭建仿真实验平台，验证所提方法的正确性和有效性。

1 电池模型

由于戴维南模型精度较高且计算量不大，本文选择戴维南模型作为电池待辨识模型，其结构如图1所示。戴维南模型由受控电压源、欧姆内阻和并联的电阻以及电容组成，电压源表示电池的开路电压(open circuit voltage，OCV)，其值会随着SOC 的变化而改变。欧姆内阻R0代表了当电流流过模型时所产生的瞬态电压降，欧姆内阻由电极材料电阻、电解液电阻等组成，是体现电池健康状态(state of health，SOH)的重要指标[14]。并联的电阻电容分别是极化内阻RP和极化电容CP，其可以描述当电池充电或放电时电压的瞬态变化[15]。图1 所示戴维南模型电流和电压关系可以由公式(1)描述。

图1 戴维南电池模型Fig.1 Theveinan battery model

式(1)中，UP为极化电压，Ut为端电压，i为充电或放电电流，Uocv为开路电压。进行参数辨识前需要将该时域模型转化为外源性自回归模型[16]。令Ul=Uoc-Ut，可得传递函数：

对式(2)使用双线性变换[17]：

式中，z为离散化运算子，Ts为采样间隔，可得传递函数的离散形式为：

中间参数a1、b0、b1可分别表示为：

从式(4)可得离散模型：

式中，y(k)为端电压矩阵，φ(k)为输入矩阵，θ(k)为参数矩阵，分别表示为：

获得参数矩阵θ(k)后，可根据式(8)解出戴维南模型的参数值。

2 自适应多层RLS参数辨识

2.1 RLS

在最小二乘方法中，为使给定的数据和假定的信号或无噪声数据之差的平方达到最小，即最小化式(9)。在公式(9)中，当遗忘因子λ为1 时，式(9)为标准的最小二乘法。当λ小于1 时，随着i的增加，指数λk-i会越来越大，这表示新数据更新参数的权重大于旧数据，因此实现对时变系统的参数跟踪[18]。

递推最小二乘为式(9)的递推形式，其迭代公式如下：

式(10)～式(13)中，K(k)为增益矩阵，P(k)为协方差矩阵，I为单位矩阵，λ通常取0.95～1。遗忘因子的取值会对参数辨识的结果产生影响。例如在第k次的计算中，λ越小，第k次之前的数据点对第k次参数更新所占的比例越小。传统的RLS参数更新受限于指数遗忘的形式，当系统参数变化剧烈时，存在参数误差。本文提出使用层数更新参数的自适应多层RLS法，以提升对快速变化参数辨识的精度。

2.2 自适应多层RLS参数辨识

电池参数会随着SOC、电流和温度的变化而变化，AMLRLS从各层得出的参数中，计算电压误差中参数量所占的比例，提取误差中的参数量，从而减小参数误差。为了形成多层RLS结构，对于式(6)所表示的系统，在第一层RLS中，根据式(14)可将系统重新表示为式(15)的形式，其中下标Ln表示第n层，即把式(6)的y(k)作为第一层的yL1(k)，把θ(k)作为第一层的θL1(k)。

式(14)中，yL1(k)表示第k次的端电压，θL1(k)表示第一层的参数大小，根据第一层的辨识结果，可得第一层的电压误差为：

展开yL1(k)后为：

θL1(k) -可表示为θL2(k)，作为第一层参数估计后的参数误差矩阵。在第二层中，RLS用来估计第一层产生的参数误差θL2(k)。和第一层相似，第二层的估计误差如式(18)所示：

展开yL2(k)后为：

后面每一层的yL(k)取计算上一层估计参数的电压误差，例如在第(m-1)层中，其估计的参数为θL(m-1)(k)，θL(m-1)(k)所产生的误差[θL(m-1)(k) -]作为下一层待估计的参数，如式(20)所示[13]：

得到第(m- 1)层的yLm(k)后，第(m- 1)层的ek和与第一层RLS类似，分别为：

式中，Kk增益矩阵为第一层的增益矩阵，即所有层共用一个Kk增益矩阵。达到规定的计算层数后，第k次数据点的参数就是第k次所有层的参数之和，即：

随着层数的增加，参数误差会越来越小，但参数误差减小到一定程度后噪声对参数的影响增大，考虑更多的层数带来更多的计算负担，选择合适的层数是必要的。当参数变化更剧烈时，因为RLS的指数遗忘性质会导致参数误差变大，而参数误差体现在e(k)上，故可以通过增加RLS 层数对参数误差进行补偿，因此合理的RLS层数应该和参数变化有关。此外，当参数误差小到一定程度后继续增加层数以减小误差并不合理，因为足够小的误差下噪声所占的比例会变大，故层数不应太大。综上，层数选择器的设计如式(24)所示：

式(24)中，round()代表取整数函数，Lmin为最小层数，h为敏感系数，ebase为允许误差，e(k)为k时刻的误差，h表示了L(k)随误差e(k)变化的快慢，h取值为0～1，当h接近1时，L(k)变化加快，h接近0时，L(k)变化变慢。根据式(24)可以得出：当e(k)大于ebase时，L(k)会增加；当e(k)小于ebase时，L(k)会减小，因此通过增加层数来减小误差是可行的。层数选择器的加入使误差控制在可以接受的范围内，并且减小了计算量。结合层数选择器后，AMLRLS参数辨识步骤如表1所示。

表1 AMLRLS参数辨识流程Table 1 The parameters identification steps of AMLRLS

3 仿真验证

为了验证所提方法在参数变化时跟踪参数的能力，本文使用MATLAB仿真电池戴维南等效电路模型，采样频率设置为1Hz。其中模型参数设定为R0=0.07Ω，RP=0.01Ω，CP设置为1000～1200F 的变化值。分别使用三种方法对变化的极化电容CP进行辨识，AMLRLS遗忘因子设置为0.99，最大层数为4，最小层数为1，AFFRLS最大遗忘因子设置为0.99，最小遗忘因子设置为0.98，RLS遗忘因子设置为0.99。仿真结果如图2所示。图2(a)为极化电容以2000 s为周期变化的情况，结果显示在参数发生变化后，三种方法依次收敛至真实值。得益于以多层结构更新参数，AMLRLS 与真实值最为靠近，在最短的时间内逼近真实值。AFFRLS收敛至真实值的时间大于AMLRLS，但AFFRLS具有改变遗忘因子的优势，这使得其在小于RLS的时间内收敛至设定的准确值，RLS收敛至真实值的时间最长，辨识到的参数有明显的时间滞后。图2(b)为极化电容以1000 s为周期变化的情况，其辨识结果与图2(a)类似，不同的是由于参数变化频率加快，算法辨识值和真实值之差有所增大。

图2 算法辨识以不同周期变化的极化电容Fig.2 Algorithmic identification of polarizing capacitors with varying time periods.

表2 统计了图2 三种算法辨识结果与真实值的平均绝对误差(mean absolute error, MAE)，其中图2(a)中AMLRLS 的MAE 是RLS 的37.5%，是AFFRLS 的55.4%。图2(b)在极化电容参数变化频率增加的情况下，三种方法的MAE 比图2(a)的结果都有所增加，在图2(b)中，AMLRLS 的MAE 是RLS的31.0%，是AFFRLS的53.5%。根据以上分析，可以得出当极化电容参数变化的频率越大，AMLRLS的MAE相较于RLS的提升越大。

表2 极化电容以不同频率变化的平均绝对误差对比Table 2 Comparison of mean absolute error of polarized capacitance at different frequencies

4 实验验证

4.1 SOC-OCV曲线

在参数辨识之前，需要进行实验确定电池的SOC和OCV曲线，SOC与OCV的关系可用式(25)的多项式表示[19]：

式中，ci为多项式系数。首先，将电池以1 C倍率的恒定电流进行充电，充电至截止电压4.2 V，随后以恒定电压4.2 V 进行恒压充电，当电流降低到0.01 C时，停止充电，此时电池已经充满，充满后每次以1/20C的电流放10%的电量，放电后间隔2 个小时，并记录此时的SOC-OCV 对应值，之后进行下一次放电。经过以上实验，可以得出SOCOCV 的11 个对应点。为了得出SOC-OCV 曲线，需要使用MATLAB曲线拟合工具箱对SOC-OCV点进行拟合，拟合的结果如图3所示。图中11个点分别对应了SOC从0至1时开路电压从3.2 V至4.2 V的变化情况。

图3 SOC-OCV拟合曲线Fig.3 SOC-OCV fitting curve

4.2 DST和FUDS工况下的验证

电池在实际使用中，电池参数在不断发生变化[20]，为了验证所提方法在模型参数变化情况下的优势，本文使用DST（dynamic stress test）和FUDS（federal urban driving schedule）两种电流变化比较大的电流文件来进行实验。实验数据均来源于马里兰大学锂电池数据集，实验电池型号为INR 18650-20R，容量2000mAh。DST 和FUDS电压电流的特点分别如图4所示，从图中可以看出FUDS与DST电流变化的幅值相同，但FUDS的电流变化相对更频繁，且两种电流文件中电压不断下降，电池总体呈放电趋势。实验所设置的温度为25 ℃，实验电池初始SOC为80%。辨识后根据电压误差的大小作为电池参数辨识是否准确的依据，电压误差的计算方法为[7]：

图5 是根据式(26)得到的电压误差。在图5(a)的DST 电流文件中，可以看出相同的部分为在电流变化较大的情况下，电压误差也相对较大，这是因为在电流变化大时，电池参数发生变化，而算法并不能及时地收敛至变化的电池参数，而AMLRLS使用多层结构递推分离出电压误差中的参数量，故在2000～8000 s 这一阶段的AMLRLS 的最大电压误差要小于作为对比的AFFRLS和RLS，这验证了所提方法在参数变化情况下可以降低电压误差的优点。另外，在开始和结束时间段3种方法的电压误差均高于中间时间段。在FUDS 电流文件中，电流变化频繁，在电流变化大时AMLRLS 低电压误差的优势并不明显。为了更直观地评价所提方法的优势，分别计算DST 电流文件和FUDS 电流文件下的平均绝对误差(27)和均方根误差(28)。在式(27)和式(28)中，Vtest为实验所测得的电压，Vmodel为电池等效电路模型的电压，N为总数据点个数。

图5 DST电流文件和FUDS电流文件下电压误差Fig.5 Voltage error under DST current file and FUDS current file

计算结果如表3 所示，从表中数据可以看出，本文所用方法无论是绝对误差还是均方根误差都小于RLS和AFFRLS，对比AFFRLS和RLS的结果，AFFRLS作为RLS的改进算法得益于变化的遗忘因子的优势可以减小电压平均绝对误差和电压均方根误差。而AMLRLS以改变RLS层数递推计算电压误差中的参数所占的比例，从而从电压误差中提取出参数值，这使得AMLRLS在DST和FUDS下电压误差均小于AFFRLS。比较DST电流文件和FUDS电流文件，由于FUDS电流文件中电流变化比DST电流文件中电流变化更加频繁，这导致DST电流文件下的误差要小于FUDS电流文件下的误差。

表3 DST和FUDS下电压误差的比较Table 3 Comparison of voltage errors under DST and FUDS

图6(a)和图6(b)分别为所提方法在DST电流文件下的层数分布和层数统计，在图6(a)中，层数分布的形状与DST 电流形状具有相似性，这是因为受到电流变化的影响，电池参数会发生变化，层数选择器则选择较高的层数使更新的参数更接近变化后的参数值，这使电流和层数产生了形状上的关联。在图6(b)中，DST 共有10630 个数据点，74.8%的数据点为一层，共7948个。3层和4层的数据点占比最小，分别为6.1%和6.9%，计算至两层的数据点高于计算了3 层和4 层的数据点，占比为12.2%。

图6 DST下AMLRLS层数分布和层数统计Fig.6 The layer distribution and layer count statistics under DST for AMLRLS.

图7(a)和图7(b)分别为所提方法在FUDS 电流文件下的层数分布和层数统计。在图7(a)中，2层、3 层和4 层的数量相较于DST 更为密集。图7(b)的情况和图6(b)类似，层数多的数据点占比小，计算到一层的数据点占比仍然是最多的，与图6(b)不同的是计算至2～4层的数据点占比提高了，这是因为FUDS 电流变化频率更高，导致电压误差e(k)始终较高，故层数选择器偏向选择较高的层数。图6(b)和图7(b)表明了加入了层数选择器后，层数选择器可以根据e(k)选择合适的层数，避免了所有数据点计算至最大层数导致计算量变大的劣势。

图7 FUDS下AMLRLS层数分布和层数统计Fig.7 The layer distribution and layer count statistics under FUDS for AMLRLS

4.3 不同温度和初始SOC下的验证

为了验证所提方法在不同情况下的性能，本文使用不同温度和初始SOC 对电池进行参数辨识，得出的电压误差如表4所示。对于DST电流文件下的实验结果，当设定温度为0 ℃、初始SOC 为50%时，RLS 的MAE 和RMSE(Root Mean Square Error)最大，AMLRLS 的MAE 和RMSE 最小；在80%初始SOC 的情况下，AMLRLS 电压MAE 和RMSE同样小于其他两种方法。对比这两组不同初始SOC的误差我们发现，以80%初始SOC进行实验的电压MAE 和RMSE 要小于50%初始SOC 的情况，这说明在相同的温度下较大的初始SOC 其电压误差较小；同时对比误差大小也说明了在0 ℃时，即使初始SOC 不同，AMLRLS 电压误差都会小于RLS和AFFRLS。对于DST电流文件下45 ℃的情况，也能得出上述结论。另外，比较0 ℃和45 ℃的结果，可以看出在不同的温度下，本文所提方法均可降低电压MAE和RMSE。

表4 不同情况下的电压误差比较Table 4 Comparison of voltage errors in different cases

对比DST 电流文件和FUDS 电流文件的结果，可以看出FUDS 电流文件下的电压误差普遍大于DST电流文件，这是因为FUDS的电流变化相较于DST更加频繁。总之，综合以上结果，我们发现在不同的温度、不同初始SOC 和不同电流文件下本文所提方法的电压MAE和RMSE均小于对比方法，验证了所提方法的有效性和适用性。

4.4 算法辨识时间对比

为了对比各类算法的计算时间，并体现层数选择器的作用，本文针对DST 工况和FUDS 工况对算法参数辨识时间进行对比。使用的计算机CPU为Intel i5-6300HQ，默认频率为2.3GHz。辨识时间对比结果如表5所示，在DST工况和FUDS工况中，RLS所用时间最短，AFFRLS所用时间略高于RLS，本文所提方法计算时间高于AFFRLS 和RLS，在DST 工况下，AMLRLS 计算时间是RLS的1.66 倍，是AFFRLS 的1.61 倍；在FUDS 工况下，AMLRLS 计算时间是RLS 的1.94 倍，是AFFRLS 的1.8 倍。本文另外对比了在没有设置层数选择器的情况下AMLRLS 的计算时间，结果如表5第二行所示，在DST工况下，AMLRLS计算时间为所提算法未设置层数选择器情况下的62%；在FUDS工况下，AMLRLS计算时间为所提算法未设置层数选择器情况下的71%，这验证了在设置层数选择器后，所提方法的计算时间将大幅减小。

表5 算法辨识时间对比Table 5 Algorithm identification time comparison

5 结 论

本文首先对基础的RLS算法进行改进，以算法中的参数更新公式和电压误差更新公式作为RLS多层结构的基础，将本层的电压误差作为下一层参数更新的目标值，进而在下一层计算中分离出电压误差中的参数量，使其更准确地辨识变化的电池参数。每次参数辨识的层数需要根据不同的辨识精度而变化，而不是设定固定的层数值，故设计层数选择器以第一层辨识结果电压误差作为选择合理层数的依据，最终形成AMLRLS 算法。AMLRLS 算法的不同之处在于其更新参数并非以控制遗忘因子的大小来实现的，而是改变RLS层数，这使得其参数辨识结果实现了更低的电压误差。仿真结果显示，对于参数变化频率越大的电池，AMLRLS的优势越明显。实验在不同温度、不同初始SOC 和不同电流下验证了AMLRLS 具有较强的适用性。已经做的工作并未对历史辨识数据进行充分利用，故未来的研究工作将围绕如何把历史的辨识数据融合进AMLRLS辨识计算中这一问题展开。