文化之所向 素养之所往
——2022年浙江省各地区数学中考文化类试题的赏析

⦿ 浙江省杭州市临安区青山湖科技初级中学 李建英

⦿ 浙江省杭州市上城区教育学院 易良斌

《义务教育数学课程标准(2022年版)》在课程内容中指出“关注数学学科发展与数学文化,继承和弘扬中华优秀传统文化”[1],旨在教学活动中创设和积累以数学文化为背景的问题,渗透数学文化,突出文化价值,让数学文化落地生根.

1 文化试题数量、内容与类型剖析

通过对2022年浙江省九个地区中考数学试卷中数学文化类试题的统计,发现共有20道以数学文化为背景的试题,其中杭州、宁波、温州卷各有3题,其他地区除丽水卷外均有2题.中考数学文化试题的具体内容和考查知识点见表1.

表1

通过对2018-2022年浙江省中考数学试卷的分析,发现数学文化类试题在2022年的比重尤其突出(如图1),试题内容除了涉及数学史、数学美等,还增加了更多数学与人文社会及其他学科融合的试题.

图1

2 数学文化类试题赏析

对2022年浙江省中考数学文化类试题进行赏析,发现不同的试题背景下,数学文化创造着不同的价值.命题者分别从融合多学科、渗透数学史、凸显数学美、串联现代科技的视角挖掘数学文化的工具价值、人文价值、思维价值和素养价值.

2.1 融合多学科,体现工具价值

例1(嘉兴卷·15)某动物园利用杠杆原理称象:如图2,在点P处挂一根质地均匀且足够长的钢梁(呈水平状态),将装有大象的铁笼和弹簧秤(秤的重力忽略不计)分别悬挂在钢梁的点A,B处,当钢梁保持水平时,弹簧秤读数为k(单位:N).若铁笼固定不动,移动弹簧秤使BP扩大到原来的n(n>1)倍,且钢梁保持水平,则弹簧秤读数为(单位:N)(用含n,k的代数式表示).

图2

2.2 渗透数学史,体现人文价值

从2022年浙江省中考数学文化类试题的类型可以看出,数学史占总数量的44%,足以看出命题者对数学史的重视程度.不同的命题人会选择不同的载体融入数学史,有外扬型、内嵌型和引译型.外扬型是基于数学家的著名成就,增设条件,改变情境.内嵌型是问题本身看不出数学文化,但在解题中需要借鉴数学史带来的启示解决问题.引译型是直接引用数学著作中的问题,用译文映射到考题中.

2.2.1 外扬型渗透,展示文化贡献

图3

解决此题的过程贯通了正方形、锐角三角函数、直角三角形的性质、相似三角形、解直角三角形等初中数学几何核心知识间的联系,同时渗透了方程、转化、数形结合等思想方法.解题余味浓厚,计算发现C是EH的黄金分割点,L是CM的黄金分割点.通过此题不仅向学生展示了文化贡献,提升思维层级,还寓意着在巨人的肩膀上不断前行.

2.2.2 内嵌型渗透,凸显文化意义

图4

赏析：赵爽弦图中蕴含着丰富的几何特征和代数结构,被称为“中国数学界的图腾”.命题者在反比例函数的背景下将赵爽弦图内嵌其中,将数形结合思想体现得酣畅透彻.解题的关键是需要将图中的“斜”正方形转为“正”正方形,俗称“改斜归正”.构图的启发来源于赵爽弦图,既可以如图5构造外弦图,也可以如图6构造内弦图.将数学文化以这种内嵌式的方式进行渗透,增强学生的几何直观、模型意识、模型观念等核心素养,凸显数学文化的意义.

图5

图6

2.2.3 引译型渗透,揭示文化发展

赏析：《九章算术》是一本反映我国古代数学成就的重要著作,全书总结了246个古人在生产生活中遇到的数学问题,此题就是其中之一.命题者既关注情境应用,也关注文化渗透.首先以引译型的方式将古代问题呈现在考生面前,引用部分是为了提升学生对我国数学成就的文化自信,增强民族自豪感;译文部分揭示了文化的发展,也为保证考试的公平性.本题主要考查学生根据具体问题中的数量关系列出方程,建立模型观念.

2.3 凸显数学美,体现思维价值

图7

2.4 关联前瞻性,体现素养价值

图8

图9

(1)点F的高度EF为_____m;

(2)设∠DAB=α,∠D′A′B′=β,则α与β的数量关系是.

赏析：此题以光伏发电的场景为背景,看似是一个陌生的背景,实则在浙教版七年级下册第一章阅读材料“地球有多大”中就有预设,因此在考试中同样具有公平性.我国在太阳能光伏发电产业的发展占据全球前列,因而该试题是展现数学成果在人类发展中的作用.命题者将光伏发电这样的现代科技抽象成数学问题,反映数学应用于生活,服务于生活.解决本题的关键是灵活运用光的反射原理,如图11,结合特殊角的三角函数值、平行线的性质,通过∠NAG=∠MA′G,转化得到∠FAN与∠FA′M的数量关系,进而求解.解决此题既可以让学生体会数学在社会和科技发展中的应用,又能培养学生用数学的眼光观察世界,用数学的思维思考世界,用数学的语言表达世界[2],这正是《义务教育数学课程标准(2022年版)》中提出的数学课程要培养的学生核心素养的三个方面.

图11

3 教学启示

3.1 以“著名与成果”为引领,挖掘数学文化

在教学中,教师要善于挖掘教材中关于数学成果的介绍.如,浙教版教材在八年级上册的作业题中记载有《九章算术》中的一道数学题[3],教学中要以此为契机,组织学生开展对该书的阅读活动,弘扬民族自信,拓宽学生视野,并在阅读后征集更多有趣的数学问题进行研究.又如,浙教版八年级下册第二章阅读材料中记载了《几何原本》《大衍历》《田亩比类乘除捷法》等书中对于一元二次方程的不同解法,教师在教学中可尝试让学生整理解法,关注古代解法与现代解法的异曲同工之妙,体会数学思想方法,也可以找出不同解法的优缺点,培养反思质疑精神.

3.2 以“综合与实践”为依托,着力素养提升

笔者对浙教版六本初中数学教材的“综合与实践”内容进行了整理,共有110个学习资源,这些资源大多集中在阅读材料、设计题和探究活动的位置,这些位置的内容有助于学生更系统化、整体化和结构化地理解数学知识,使学生更有效地进行知识迁移.如浙教版九年级上册第一章的设计题,需要学生设计实验探索一个物体自由沿着斜面作直线运动时,路程与时间的关系.学生亲自经历设计方案、实验过程、获取数据以及画图、猜想函数式、检验等各环节,巩固二次函数的有关知识,培养模型观念,使得学生的思维具有开放性和独创性.又如浙教版九年级下册第一章探究活动,需学生探究sin18°和黄金比的关系,教学中可以融入对黄金三角形、五角星等图形的探究,引导学生一题多解,使学生思维具有统整性和灵活性.

3.3 以“跨学科学习”为契机,拓展数学价值

为了拓展数学的价值,跨学科的研究是必不可少或缺的.跨学科学习是指从课内到课外开展项目化学习,以提升学生从数学的角度观察真实世界,解决现实问题的素养,感受数学与其他学科的融合,培养学生的多元化思考.如“体育与心率”项目以怎样运动更健康更有效为驱动性问题,融合了模型观念,依托信息技术,融合了生物学知识储备和体育运动数据收集处理等内容.通过项目学习,学生在建立数学模型的过程当中提升运用知识分析问题、解决问题的能力.以“跨学科学习”为契机培养学生的实践与创新能力、应用意识与合作意识,感悟数学的应用价值和现实意义,进一步激发学习数学的兴趣,增强学习数学的信心,最终实现立德树人的育人目标.

命题者将数学文化融入试题,教师将数学文化渗入教学,学生将数学文化拥入灵魂[4],只有教、学、评一致,方能发挥数学文化的最大价值,促进数学素养的全面形成.