“动”中求“静”,“动”“静”互化
——中考动态几何问题解题思路初探

⦿ 江苏省苏州市高新区实验初级中学 袁 媛

马克思主义哲学告诉我们,运动是绝对的,静止是相对的.在几何的学习过程中,我们发现“静”只是“动”的瞬间,是运动的一种特殊形式,“动”与“静”是可以相互转化的.如果能让静止的几何图形“动”起来,就可以帮助学生加深对图形概念的准确理解,探索图形的性质.教师可以用动态图形创设富有启发性的教学情境,引发学生对问题的讨论与思考;还可以通过动态图形让学生体验数学实验成功的乐趣.更重要的是,动态的几何图形能够把与几何、代数相关的知识联系起来,其中蕴含着动静结合、数形结合的思想方法,能够在运动变化中发展学生的空间想象能力,不断提高学生综合分析、解决问题的能力.

在初中几何教学中,与动态图形有关的问题主要有以下几类.

1 动“点”类问题

动点问题是中考数学中最常见的题型,涉及面非常广泛.解决动点类问题的思路是化动为静,以相对静止的瞬间去寻求量与量之间的关系.

图1

图2

所以△A′EM≌△DEB′(ASA),则A′M=B′D=a,即AM=v1t=a.

思路与方法：本题考查矩形背景下的动点问题,通过动态图形,将矩形的性质、对称性质、中点性质、三角形相似、全等的判定与性质、勾股定理及翻折的运动形式等知识点联系起来.熟练掌握相关性质及三角形全等的判定定理,利用翻折及中点性质,根据三角形全等的性质求出相应线段的长是解题的重要方法.

2 动“线”类问题

动线类问题的特点很明显,动线在运动过程中可能会出现多种情况,尽管情况不同,但解题的思路是一致的,那就是“以静制动”,通过特殊的静止状态去寻找量之间的关系.

例2(2022年江苏省盐城市中考第14题)如图3,在矩形ABCD中,AB=2BC=2,将线段AB绕点A按逆时针方向旋转,使得点B落在边CD上的点B′处,线段AB扫过的面积为______.

图3

解析：由AB=2BC=2,得BC=1,所以AD=BC=1.因为将线段AB绕点A按逆时针方向旋转,所以AB′=AB=2.

思路与方法：首先由动线AB旋转的性质可得AB′=AB=2,再由锐角三角函数可求出∠DAB′=60°,进而求出∠BAB′,最后根据扇形面积公式即可获解.本题考查了旋转的性质、矩形的性质、扇形的面积公式、锐角三角函数等相关知识点.会观察和分析动态图形,灵活运用相关性质是解题的关键.

3 动“图”类问题

动图类问题常常结合图形的平移、旋转、翻折等变换,提出相关问题.解题的思路主要是从寻找图形运动的特殊情况中打开,进而灵活运用相关几何知识(如平行四边形的性质、切线的性质、圆的有关知识、锐角三角函数、直角三角形等)解决问题.

图4

在△AME中,根据勾股定理,可得

第二种情况:当ED逆时针旋转60°得到EF时,如图5,作EM⊥AC交AC于点M.

图5

在△AME中,根据勾股定理,可得

思路与方法：首先要考虑到图形顺、逆两种旋转情况,根据旋转的性质可知△DEF是等边三角形,过点E作EM⊥AC,又可证得△AEM是等腰直角三角形,再设DM=x,利用勾股定理便可求出x的值,最后利用勾股定理即可求出AE的长度.本题考查了图形旋转的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点.能够根据题意,按照ED顺时针旋转与逆时针旋转两种情况,分别画出动态图形进行分类解析是解题的关键.

综上所述,解决动态几何问题的基本思路是:把握运动规律,寻求运动中的特殊位置,在“动”中求“静”,在“静”中探求“动”的普遍规律.在具体解题过程中,要用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,找出其中的等量关系和变量关系,并要特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.在解答动态几何类题型时,经常要用到数形结合思想、分类思想、转化思想和方程思想等重要的思想方法.