有关相似三角形的动点问题探究

⦿ 甘肃省白银市教育科学研究所 何丽君

在教学过程中,时常会遇到点的运动类问题.由于动点处于不断的运动中,教师讲解时倍感压力,而这类问题在练习与检测中又经常出现.因此,研究点的运动问题非常有必要.本文中以点的运动形成相似三角形为切入点,探究图形中点的运动问题的解决方法.

1 素养体现

动点问题一方面综合了诸多知识点,另一方面对解决技巧有较高的要求.由此观之,动点问题通常体现以下素养:

(1)画图能力,体现数形结合思想.由于点是运动的,因此分析其运动情况就离不开画图.换言之,将运动情况用图形表现出来,既是解决这类问题的首要环节,也是数形结合的重要体现[1].

(2)问题分析能力,体现分类讨论思想.点的运动形成相似三角形后,往往存在多个符合题意的三角形,这就需要对每种情况进行分类讨论.

(3)符号化语言,体现转化思想.根据点的运动情况画好图后,需将相关的线段用代数式表示出来,有利于分析和解决问题,同时也是将文字语言转化成符号语言的过程.

下面结合一道题加以说明:

例题如图1,四边形ABCD是一个长为8 cm、宽为6 cm的矩形.在BC,DC上分别有动点P,Q,点P的速度是2 cm/s,Q的速度是1 cm/s.现规定:点P从点B出发向点C运动,点Q从点C出发向点D运动,当一个点到达终点时,另一个点也立即停止运动.几秒时,以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似?

图1

本题出现了两个动点,运动的速度、方向等为分析动点状态提供了重要条件.那么,本题是如何体现上文中提到的素养的呢?

(1)通过动点的运动情况画图,体现了数形结合思想.由于P,Q两点的运动,线段PQ与BC或DC形成的夹角大小不同.考虑到△ABC是直角三角形,点P,Q在运动的过程中并不能改变∠PCQ为直角这个事实,所以只需线段PQ与BC或DC形成的夹角中有一个与∠BAC相等即可.于是,可画出图2中的简图:

图2

(2)根据画出的图形,利用分类讨论思想解决问题,体现了分类讨论思想.从图2可以看出,∠PQC和∠BAC相等、∠QPC和∠BAC相等是动点运动时存在的两种情况.

(3)根据点的运动情况,将相关线段用代数式表示出来,并根据需要列方程解决问题,体现了转化思想.在确定两种情况后,接下来需进行分析,而分析中的第一步就是根据两点的运动状况用代数式表示出相关线段.如下:

设ts时,以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似.

情况一:如图2(1),有△ABC∽△Q1CP1,此时可知BP1=2t,CP1=8-2t,CQ1=t,DQ1=6-t.

情况二:如图2(2),有△ABC∽△P2CQ2,此时可知BP2=2t,CP2=8-2t,CQ2=t,DQ2=6-t.

接下来,由相似三角形的性质列出方程并解出t.最后,解决本题[2].

2 解法说明

既然点的运动产生的相似三角形问题蕴含着如此丰富的素养,那么这类问题具体应如何解决呢?下面进行说明:

首先,根据动点的运动情况画出符合题意的图形.由于∠ABC=∠PCQ=90°,根据相似三角形的判定,若△ABC和△PCQ相似,应有以下两种情况:

情况一:∠PQC=∠BAC,如图2(1).

情况二:∠QPC=∠BAC,如图2(2).

其次,分类讨论并计算.根据以上两种情况,分别利用相似三角形的性质列方程.

本题的解决过程如下:

解：设ts时,以C,P,Q为顶点的三角形与△ABC相似.根据题意,有以下两种情况.

情况一:∠PQC=∠BAC,如图2(1).此时易证得△ABC∽△Q1CP1.

情况二:∠QPC=∠BAC,如图2(2).此时易证得△ABC∽△P2CQ2.

3 反思与启示

本题是在已经确定一组对应角相等的情况下寻求另一组对应相等的角.为了简化问题,将∠BAC设为参考对象,只需寻找∠PQC或∠QPC与之相等即可.最后,分析出了两种不同的情况.

这种“先确定一个参考对象后寻找其他与之相等的角”的方法,对解决“因动点产生的相似三角形问题”有重要作用.如下面这道中考真题:

(2022·湖州)已知在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,以P(1,1)为圆心的⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和N,点F从点M出发,沿x轴正方向以1个单位长度/s的速度运动,连接PF,过点P作PE⊥PF交y轴于点E,设点F运动的时间是ts(t>0).

(1)若点E在y轴的负半轴上(如图3所示),求证:PE=PF;

图3

(2)在点F运动过程中,设OE=a,OF=b,试用含a的代数式表示b;

(3)作点F关于点M的对称点F′,经过M,E和F′三点的抛物线的对称轴交x轴于点Q,连接QE.在点F运动过程中,是否存在某一时刻,使得以点Q,O,E为顶点的三角形与以点P,M,F为顶点的三角形相似?若存在,请直接写出t的值;若不存在,请说明理由.

不难发现,本题第(3)小题与例题类似,故“先确定一个参考对象后寻找其他与之相等的角”的方法的启示在解决此小题时可发挥作用.因此,本题第(3)小题的解决思路简要分析如下:

首先,根据题意确定12两种情况.然后,在每种情况中根据点的运动情况,同时结合“先确定一个参考对象后寻找其他与之相等的角”的方法,得到12时△OEQ∽△MPF或△OEQ∽△MFP两种情况,如图5.最后,进行分类讨论和计算.

图5

4 结语

综上所述,图形中的动点虽然常令人眼花缭乱,但掌握其分析方法,就可以化繁为简.本文中“先确定一个参考对象后寻找其他与之相等的角”的方法,适用于因动点产生的相似三角形、全等三角形等问题中,是解决这类问题一种行之有效的方法.作为教师,应在讲解中多渗透该种方法,直至学生能掌握并灵活应用于问题解决中[3].