运动合成与分解中关于“道”与“术”的思考
——2023年北京高考实验题赏析

孙德峰 刘 芳

(1. 北京市第十二中学,北京 100071; 2. 北京教育学院丰台分院,北京 100073)

1 试题解析

2023年北京卷第16(4)题:以频闪照相记录平抛小球在不同时刻的位置,探究平抛运动的特点.

(4) 某同学实验时忘了标记重垂线方向.为解决此问题,他在频闪照片中,以某位置为坐标原点,沿任意两个相互垂直的方向作为x轴和y轴正方向,建立直角坐标系xOy,并测量出另外两个位置的坐标值(x1,y1)(x2,y2),如图1所示.根据平抛运动的规律,利用运动的合成与分解的方法,可得重垂线方向与y轴间夹角的正切值为_____.

图1 示意图

解析:假设坐标为(x1、y1)的点为A点,坐标为(x2、y2)的点为B点,如图2,OA与AB之间的时间间隔为T,Oy′方向为重垂线方向,则图2中建立的x′Oy′坐标系中的Ox′方向即为真正的水平方向,Oy′方向即为真正的竖直方向,OA、OB在Ox′和Oy′方向上的投影位置分别为x1′、x2′和y1′、y2′.假设Oy′与Oy方向的夹角为θ,OA方向与Ox轴之间的夹角为α,OB方向与Ox轴之间的夹角为β.则OA方向与Ox′轴之间的夹角为α+θ,OB方向与Ox′轴之间的夹角为β+θ.则x1′、x2′、y1′、y2′用x1、x2、y1′、y2′表示,可以得到以下8个方程.

图2 坐标示意图

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

假设小球从O到A的时间为T,根据平抛运动的规律可知

x2′=2x1′,

(9)

y2′-y1′=gT2.

(10)

2 试题分析和方法点评

本题明确考查了学生利用运动的合成与分解进行推理论证的能力.运动的合成与分解是物理学中研究复杂运动时常用的方法之一.《普通高中物理课程标准》中,关于运动的合成与分解的教学内容要求中明确提出:“体会将复杂运动分解为简单运动的物理思想,能分析生产生活中的抛体运动.”作为物理学在解决复杂问题时“化繁为简”的重要方法之一,通过考查抛体运动或者与之满足类似规律的匀变速曲线运动中的一些问题,考查学生对于运动的合成与分解这一科学方法的认识和掌握情况是高考的必考考点之一.

该问体现了命题者“别具匠心”的命题意图.以源自实验中的实际问题,考查运动的合成和分解的科学方法(题干中命题人还非常贴心地做了提示),以及直线运动相关规律的应用.上面的试题评析按照“常规思路”将平抛运动分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动,通过建立两个坐标系中坐标之间的关系,结合平抛运动的规律联立方程进行求解.通过以上分析不难发现沿着这个思路进行问题解决虽然出发点比较简单,但过程过于烦琐,对考生的运算能力提出了极高的要求.考生在考场上若没有找到全部的方程,或者没有“眼观六路”地找到消掉g和T的方法都无法得到最终答案.简而言之,在高考的有限时间内选择这个“常规思路”解决问题几乎是不可能完成的任务.

3 方法拓展

方法拓展1:由于空间中两点之间的距离与参考系的选取无关,仍如图2所示,x1′、x2′可以用x1、x2、y1、y2表示如下

x1′=OAcos(θ+α)=OA(cosθcosα-sinθsinα)=x1cosθ-y1sinθ.

(11)

x2′=OBcos(θ+β)=OB(cosθcosβ-sinθsinβ)=x2cosθ-y2sinθ.

(12)

只需要利用x2′=2x1′就可以得到

该种方法的简洁之处在于巧妙地将自行引入的未知量α和β,利用三角函数转化成已知量,从而大大简化了数学运算.上面的两个方程式(11)(12)其实可以通过空间中的几何关系直接得到,如图3所示.但不管是通过几何作图还是通过上面的转化得到x1′、x2′与x1、x2、y1、y2的关系都需要考生在考场上“胆大心细”,对学生的能力要求较高.

图3 几何关系图

方法拓展2:如图4所示,将重力加速度g沿Ox和Oy方向分解,分别得到gx=gsinθ和gy=gcosθ.分析可知,小球在Ox和Oy方向都做匀加速直线运动,根据匀变速直线运动相邻的相同时间间隔内的位移差Δx=aT2,因此有

图4 加速度分解图

x2-2x1=gsinθ·(2T)2,

y2-2y1=gcosθ·(2T)2.

图5 坐标系位置关系图

4 学生考查的表现及原因分析

鉴于学生对运动的合成与分解这一方法掌握较为充分,以及题目考查的知识和方法并不复杂,即使作为实验题的压轴一问,笔者最初也认为学生答题情况应该比较乐观.但成绩公布后,笔者调查发现即使是一个成绩较好(班级高考平均分约660分)的班级,在全班28位学生中也只有3位学生得出了正确答案.可想而知,本问应该是整套试题中区分度最高的题目之一,对学生能否赋得A1等级(100分)具有重要的筛选作用.

为了深入了解学生的测试表现与教师的教学预期之间存在较大差异的根本原因,笔者对这个班的学生进行了答题的复盘,复盘结果表明:有13位学生审题后按照“常规思路”建立了坐标系但没有找到两组坐标之间的关系方程选择了放弃,有8位学生沿着“常规思路”建立了方程,但由于方程个数不够无法通过数学推理得出正确结果,有3位学生选择了方法拓展2中“分解加速度”方法并得到了正确答案,没有学生想到方法拓展1的思路.

从“常规思路”到方法拓展1再到方法拓展2的变化并不仅仅是“解法越来越简单”,其本质是人们对于运动的3种不同层面的认识:其中“常规思路”侧重于运动规律在不同坐标系中“数学表达”的转换,方法拓展1则需要在坐标系的转换中找到“运动的不变量”,而方法拓展2则需要认识到运动是场与物质相互作用的结果,场的客观存在性和其在空间中叠加规律决定了物质在场中如何运动.而学生的临场表现表明:大多数学生都能够认识和理解运动的一般规律,但对运动本质的认识还不够深刻.

其实方法拓展2中通过分解加速度研究平抛运动的方法在高考复习中有例可循:(1) 如图6所示的情境中小球从倾角为θ的足够长斜面上,以水平速度v0抛出,求小球落到斜面之前距斜面的最远距离;(2) 如图7所示的情境中质量为m、电荷量为q的带正电小球在足够大的匀强电场中以初速度v0竖直向上抛出,求运动过程小球的最小动量的大小及方向.以上两个示例中利用“运动的合成与分解”分解加速度都会极大地简化问题解决过程,因此是高三复习运动的合成与分解的典型例题.照理说经过了多轮复习的高三学生遇到类似的问题,应该能做到应对自如.但考场上学生不甚理想的临场表现却表明学生对于运动的合成与分解的认识和理解远远没有达到教师预期的水平.

图6 小球平抛示意图

图7 小球在场中的运动

5 教学反思与启示

学生不甚理想的临场表现使笔者陷入沉思:面对非常熟悉的问题情境,为什么学生无法利用方法的迁移发现问题解决的正确思路呢?学生的评价表现反映着教师教学行为的有效性.在以往的教学过程中,我们更加侧重于“这道题该用什么方法去解决”,甚至会拿这种“好方法”去跟那些“不太明智的方法”比较,让学生确信该种方法很好.但是却很少跟学生解释“这道题为什么可以用这么好的方法来解决”,也不会追问“这样的方法还可以解决怎样的问题”,以及“你是否还有更好的方法?”等问题.

其实选择什么样的方法解决问题属于“术”的问题,而为什么选择这样的方法解决问题则属于“道”的问题.何为“术”?方法、谋略之路数,引申为“技艺”的套路,在这里,就可以理解为“解题”的套路.何为“道”?事物的运行轨道或轨迹,引申为事物运动和发展的规律,在这里,就可以理解为“解题套路”背后深刻的物理原理.若教师在平时的教学过程中仅仅满足于“术”的传授,而忽略了“道”的溯源,当命题人不按“套路”出题时,大多数学生俱“罔”矣的测试表现也就不奇怪了.

“术”的传授易行,但“道”的溯源对于教师的业务水平提出了更高的要求.假如时光倒流,回到高考前的课堂上,在带领学生比较了两道例题的两种方法之后,如果教师还能继续引导一步,“运动的分解本无定法,根据题目的具体情景,结合场与物质的作用规律,方能做出最优的选择”,那学生在临场时的评价表现必定不会如此遗憾.时光无法倒流,但我们的课堂可以改进,我们教学理念也可以提升.跳出对“术”的执念,启发学生对于“道”的感悟,正是核心素养背景下对物理教学要求的一个更高层次.