基于一维计算模型的斜盘式柱塞泵流动特性分析

朱志鹏 汤永 孙云伟 杨广根 巴德纯

（1.中国直升机设计研究所，江西 景德镇 333001；2.东北大学 机械工程与自动化学院，辽宁 沈阳 110001）

液压系统具有刚度大、精度高、响应快和驱动力大适合重载驱动的特点，被广泛应用在直升机疲劳试验中。斜盘式柱塞泵作为液压系统动力源，对液压系统的稳定运行起着至关重要的作用［1］。有效降低柱塞泵流量脉动率可减小整个液压系统中各元件周期性振动、爬行和噪声，提高试验系统稳定性。当前数字化试验是试验学科研究热点［2-3］，但其面临的计算迭代速度慢的问题亟需得到解决。因此，开展基于一维计算模型的斜盘式柱塞泵流动特性分析对于实现疲劳试验动力源的数字化和加快计算速度具有重要作用。

当前斜盘式柱塞泵研究关注点不尽相同。如针对斜盘式柱塞泵控制策略的研究，温亚非［4］和杨军［5］分别通过建立斜盘式柱塞泵恒功率控制系统及负载敏感控制系统，分析了不同影响因素对系统瞬态响应的影响；针对斜盘式柱塞泵配流盘关键参数（错位角、阻尼槽及负遮盖角等）的研究，单乐等［6］提出了斜盘式柱塞泵球面配流盘上减振孔、U 形槽、V 形槽3 种常见阻尼槽过流面积的解析计算方法，分析了不同阻尼槽组合形式对柱塞泵配流特性的影响，李理［7］使用理论推导结合Matlab/Simulink软件分析了错配角变化对斜盘力矩及瞬时流量输出特性的影响。

此外，还有学者运用计算流体力学CFD 方法（三维模型）开展了斜盘式柱塞泵流动特性的研究，如马德江［8］通过对不同阻尼槽结构进行CFD分析计算，研究了不同宽度开口角、阻尼槽深度对流体噪声性能的影响；马吉恩［9］使用CFD方法对某型斜盘式柱塞泵进行分析，得到其不同工况下的流量脉动率，并与试验结果进行对比验证。

进行斜盘式柱塞泵的相关仿真时，三维模型和一维模型各具有优缺点。三维模型可考虑分析对象的详细几何尺寸，仿真精度高，但计算时间长且流程复杂；一维模型分析可以方便地进行参数优化而不需要重新生成三维模型和进行前期模型处理，节省了大量工作量及仿真时间。但一维模型仿真要求对分析对象工作原理、各部件作用及布置关系、控制策略有深入了解，而三维模型仿真则侧重于动网格功能的实现［10-11］。

本文基于当前研究现状，拟使用立体几何方法分析柱塞泵柱塞运动轨迹，开展过流面积公式推导及Matlab程序编写，以实现吸排油过流面积自动化计算，构建考虑流量倒灌及泄漏的单柱塞流动模型，结合AMESim 软件的应用来实现柱塞泵三维计算模型向一维计算模型的转变，并对试验中不同运行工况下柱塞泵流量脉动率开展分析，用于指导试验中柱塞泵的调节控制。本文旨在获得准确的柱塞泵一维计算模型并显著提高仿真计算速率，便于后续柱塞泵的改进设计以及作为子系统添加到虚拟数字试验平台中。

1 斜盘式柱塞泵原理及结构尺寸

1.1 斜盘式柱塞泵工作原理

斜盘式柱塞泵主要由柱塞、缸体、斜盘、传动轴及配油盘等关键零件组成。其中，斜盘和传动轴存在倾斜角，当传动轴以一定角速度旋转时，向上方旋转的柱塞向外伸出，导致柱塞底部体积增大而形成局部真空，液压油在外部压力作用下经配油盘吸油窗口进入到柱塞底部完成吸油阶段；而向下方旋转的柱塞不断向内压缩，柱塞底部容积减小导致液压油经配油盘排油窗口排出，以此完成排油阶段。通过以上两类过程循环往复来完成斜盘式柱塞泵的吸排油过程。

1.2 斜盘式柱塞泵的结构尺寸

本文将针对A11VOL190 型斜盘式柱塞泵开展具体分析，由图1中右侧往左侧观察，柱塞泵配油盘结构及柱塞窗分布情况如图2所示。

图2 配流盘结构及柱塞窗分布情况Fig.2 Distribution of valve plate structure and piston window

由图2可知，该型配油盘主要由吸油区腰形槽包角、排油区腰形槽包角、三角阻尼槽组成，上、下死点的错位角均为0°。此外，柱塞窗共计9 个（如图中虚线所示），在配流盘上呈间隔40°均匀分布，柱塞旋转方向如图中箭头方向所示，柱塞泵其他关键参数如表1所示［8，12］。

表1 斜盘式柱塞泵关键参数Table 1 Key parameters of swash plate piston pump

2 柱塞泵柱塞运动轨迹的计算

图3所示为柱塞运动轨迹，柱塞球头从上死点A到点C运动过程中，柱塞与缸体接触长度增加且柱塞底部容积减小（排油阶段）。为求解柱塞的运动速度，需借助一些空间辅助点线［13］，具体如下：点O1为各柱塞轴线在Z轴上的交点；点A1、点A及点C构成斜盘平面的一部分；点B1和点B2是点B的投影点，延长O1B与OB2延长线交于点B3；过点A作X轴垂线与OB3延长线交于D1，过点A1和点B作直线与OB3延长线交于D2，由空间几何关系可知点D1和D2重合，角φ为主轴作用下柱塞旋转角度，BB1为此圆锥底部半径，A1B和BB1的夹角为γ。

设上死点A处圆锥底部半径为R，运动过程点B处圆锥底部半径为R(φ)，柱塞球头在Z轴方向位移为Z(φ)，则

在Rt△A1OD1和Rt△A1OA中可知：

在Rt△A1OD1中，=R(φ)tanγ，且=，则

联立式（1）、（3）及式（4），可得

将式（5）代入式（1）中，再结合Rt△BB2B3各边关系，得到柱塞球头沿其轴线方向的位移：

式中，φ=ωt，ω为主轴旋转角速度，t为主轴旋转时间。针对式（6）求导即可得柱塞沿其轴线方向速度vP(t)［14］，其以柱塞压缩方向为速度正方向：

3 吸排油过流面积的计算

吸排油过流面积全自动化计算主要包括两方面内容：一是使用图形解析法对吸排油各阶段配流盘的过流面积进行公式推导计算；二是使用Matlab软件编写各阶段过流面积对应的计算程序并获得吸排油曲线。

3.1 基于解析法的过流面积计算

精准的柱塞泵过流面积的计算是后续计算分析的基础，本节首先介绍三角阻尼槽过流面积的计算，然后着重对吸油阶段过流面积进行计算（排油阶段过流面积计算与上述推导过程类似）。

3.1.1 三角阻尼槽过流面积的计算

三角槽属于典型的变截面阻尼槽，其进出流量较平稳，在缓解困油问题的同时可进行预升压与预卸压调节，从而有效降低压力波动，且加工简单、降噪效果好，因此被广泛应用。图4为典型的三角阻尼槽的过流截面图。

图4 三角阻尼槽的过流截面图Fig.4 Cross section diagram of triangular damping groove

式中，r为配流盘腰形槽半宽度，柱塞窗经过单个阻尼槽时满足|φ-φmin|≤φ△，φmin为柱塞窗从初始零位运行至三角槽顶端对应的分度圆角度，当其运行至三角槽底端时对应的分度圆角度为φmax，式中角度均采用弧度制。

3.1.2 吸排油阶段过流面积的计算

将柱塞窗前端圆弧与下死点接触点定义为计算的初始零位，以吸油过程为例对过流面积解析计算进行介绍。

将吸油过程分为2个主要阶段即柱塞窗进入阶段和脱离阶段，又具体划分为7 个子阶段，如图5所示。图中实线柱塞腔是子阶段的初始位置，虚线柱塞腔是其最终位置，柱塞旋转方向同图2。

图5 单个柱塞窗吸油阶段运动过程Fig.5 Movement process of a single piston window during the oil suction stage

（1）柱塞窗进入吸油腔腰形槽阶段

第1阶段，柱塞窗从初始零位运行至三角槽顶端，此时柱塞窗未完全脱离排油腔，针对该阶段及后续阶段中涉及相交圆弧形成类橄榄球截面的过流面积（图5中阴影区域），其表达式为［16］

柱塞窗中半圆区域对应的分度圆角度（见图2）为φzr，f。令φ1=(φ⋄-φ)π/180，φ⋄为初始零位时柱塞窗后端圆弧与排油腔间的夹角，φ⋄=φ△= 11.5°，第1阶段的过流面积为

第2阶段，柱塞窗从三角槽顶端运行至三角槽底端，可以分为3步（（a）-（c）），各步均需考虑三角槽对过流面积的影响，令φ2=(φ-φd，x+φc)π/180。

（a）仍未脱离排油阶段但已进入吸油腔三角槽。柱塞窗运行到φd，x-φc+φ转捩（φ转捩= 1.33°），柱塞腔流量由流出转捩为流入，过流面积为

（b）从到达转捩点运行至后端圆弧完全脱离排油腔，过流面积为

（c）从完全脱离排油腔运行至三角槽底端，过流面积为

第3阶段，柱塞窗从三角槽底端运行至与吸油腔腰形槽形成完整圆形，可分为2 步（（a）-（b）），令φ3=(φ-φd，x-φ△)π/180。

（a）柱塞窗完整包含三角槽，过流面积为

式中，S△，max为第2阶段的最大过流面积。

（b）柱塞窗部分包含三角槽，解析计算需考虑三角槽局部闭死带来的过流面积的减少S△，dc，过流面积为

第4阶段，柱塞窗从与吸油腔腰形槽形成完整圆形运行至完全进入腰形槽，考虑三角槽过流面积的减少及增加的类矩形面积S□(φ)，令φ4=[φ-(φd，x+φ△+2φzr，f) ]π/180 及φ5=(φ-φzc-φd，x)π/180，过流面积为

式中，配流盘外径Rw= 54.5 mm，配流盘内径Rn=38 mm，柱塞窗类矩形对应分度圆角度（见图2）为φzt，f，。

第5阶段，柱塞窗从完全进入腰形槽至前端圆弧即将离开吸油腔，φ6=φzt，fπ/180。过流面积为

（2）柱塞窗脱离吸油腔腰形槽阶段

第6阶段，柱塞窗从完全包含在腰形槽内部运行至只有圆形包含在其中，令φ7=(φd，x+φ△+φx+φzt，f-φ)π/180，过流面积为

第7阶段，柱塞窗从后端半圆弧与腰形槽形成完整圆形运行至完全脱离腰形槽，令φ8=(φd，x+φ△+φx+φzt，f+ 2φzr，f-φ)π/180，过流面积为

3.2 吸排油过流面积的程序设计

基于以上公式推导编写Matlab程序，主要实现3方面功能：①吸排油各阶段过流面积的计算；②柱塞泵吸排油曲线的绘制；③吸油和排油曲线分离及文本格式输出。具体的程序设计流程如图6所示。

图6 过流面积程序设计流程图Fig.6 Flow chart of overflow area program design

按照图6 中流程编写Matlab 程序，计算得到的吸排油曲线如图7所示。图中实线表示单个柱塞在吸油阶段的过流面积随旋转角度变化历程，虚线表示其在排油阶段的历程。可见图中曲线连续无中断点，三角阻尼槽的引入使得吸排油过渡区较平滑。

图7 过流面积随缸体旋转角度的变化历程Fig.7 Variation process of overflow area with rotation angle of cylinder block

为便于后续计算及保障数据提取精度，在获取吸排油曲线后采用归一化处理以统一各子阶段数据向量维度，并在此基础上实现吸排油曲线数据拆分及无量纲数据的文本格式文件输出，实现从柱塞泵型线关键参数输入到计算所需数据提取的流程自动化。

4 斜盘式柱塞泵一维模型的构建

将图1 中柱塞泵三维模型进行组件分解，如图8 所示，并以此为基础构建不同组件的一维模型。其中，单个柱塞结构的流量分配如图中所示，主要分为柱塞运动流量qp，i、柱塞倒灌流量qg，i以及柱塞泄漏流量ql，i。

图8 三维模型与一维模型对应关系图Fig.8 Correspondence diagram between 3D model and onedimensional model

4.1 单柱塞流动模型构建

针对单个柱塞在预升压和预卸压两个典型过程进行数学推导，柱塞腔内油液压力的微分方程［6］为

式中，dp和dV分别为柱塞腔内压力变化的微分和体积变化的微分，E为油液的弹性模量，V为被柱塞腔密封的油液的初始体积。由图7可知dV由3部分组成，分别为柱塞运动引起的体积微分dV1（柱塞处于预降压取正值、预升压取负值）、柱塞倒灌引起的体积微分dV2、柱塞泄漏［17-18］引起的体积微分dV3，表达式为

式中，AP为柱塞横截面积，Cd为阻尼系数，Ai为阻尼槽过流面积，pi为单个柱塞腔内瞬时压力，pplp为该柱塞对应的配流盘阻尼槽处压力，c为柱塞副径向间隙，ε为柱塞偏心量，μ为油液动力黏度系数，d为柱塞直径，L为泄漏缝隙长度，Δp为柱塞腔和壳体腔压力差值。

将式（20）-（24）联立求解可获得单个柱塞在预升压或预卸压区域的压力变化规律。基于以上理论推导，使用AMESim进行一维模型图形化构建及求解。

4.2 基于AMESim的一维模型构建

基于以上分析构建斜盘式柱塞泵一维AMESim模型，如图9 所示，主要由9 个单柱塞AMESim 模型组成。

图9 斜盘式柱塞泵一维AMESim模型组成Fig.9 Composition of one-dimensional AMESim model for swash plate piston pump

单柱塞模型又由单柱塞流动模型、配流盘节流模型、相位角分配及柱塞运动模型组成，单柱塞流动模型见式（21）-（24），配流盘节流模型开合规律则由吸排油曲线的无量纲化数据文本进行控制，相邻柱塞的相位差为40°，柱塞运动模型的核心控制方程为式（7），将单柱塞模型封装成超级元件并组合成柱塞泵关键组件，随后添加外部电机驱动模块以及柱塞泵出口模型，其中柱塞泵出口模型由腔体、溢流阀及油箱组成。

当油液温度为30 ℃时，工作压力（定义为柱塞泵出口压力）大于20 MPa，液压油的弹性模量取1.7 GPa 是合理的［9］，此时液压油的黏度为0.042 7 Pa·s，液压油的初始密度为870 kg/m3（可压缩），柱塞泵AMESim模型的主要参数如表2所示。

表2 初始工况下柱塞泵AMESim模型的主要参数Table 2 Main parameters of AMESim model for piston pump under initial working condition

5 流动特性计算结果与分析

仿真计算步长设置为10-5s，以消除步长对计算结果的影响。转速为2 100 r/min，9个柱塞的柱塞泵理论脉动周期为0.003 17 s，为消除初始计算及电机启动带来的不稳定性，取总仿真时间为0.15 s，以获得稳定后的计算结果。

5.1 初始工况下的计算结果及对比验证

使用配备Xeon W-2223 处理器的工作站经35 min即完成柱塞泵0.15 s运行时间的计算，同等算力下相比使用CFD 计算方法极大缩短了计算时间。计算得到的单柱塞出口流量情况如图10所示。

图10 初始工况下单柱塞出口流量变化情况Fig.10 Change in single piston outlet flow under initial operating condition

由图10 可知单柱塞出口流量主要受柱塞往复运动的影响，总体呈近似正弦变化规律，但在过渡区域存在明显的流量倒灌（图中方框1 和方框3）及冲击（方框2）。方框1 的流量倒灌位于预降压区间（排油阶段向吸油阶段过渡），此处产生流量倒灌的原因是柱塞腔内的瞬时压力高于排油腔的压力，预降压区流量倒灌持续约0.08 ms；伴随着柱塞的外伸运动以及倒灌导致的柱塞腔内压力快速下降，产生了一定的流量冲击（方框2）；方框3 的流量倒灌位于预升压区间（吸油阶段向排油阶段过渡），此处产生流量倒灌的原因是排油腔的压力远高于柱塞腔内瞬时压力，预升压区流量倒灌持续约0.12 ms［10］。

预降压区相比预升压区流量倒灌时间短，是由于此时柱塞窗位于下死点附近，腔内体积小，可快速达到与吸油腔压力平衡。

柱塞泵流量是由单柱塞流量复合而成，上述单柱塞在过渡区存在的倒灌及冲击是柱塞泵在其出口处产生流量脉动的主要原因。计算得到柱塞泵出口处流量的脉动情况如图11 所示，得到的脉动周期与理论计算一致。

图11 初始工况下柱塞泵出口流量脉动情况Fig.11 Flow pulsation at outlet of piston pump under initial operating condition

为评价柱塞泵流量脉动的情况，定义其出口处流量脉动率为［11，19］

式中，Q（t）max、Q（t）min及Q（t）avg分别为稳定后的流量最大值、最小值及平均值。经计算，初始工况下柱塞泵出口流量脉动率约为31.4%。

图12 为同型号柱塞泵在相同工况下的CFD 计算模型［8］，其低压入口边界条件是0.1 MPa，其高压出口边界条件是35 MPa，工作初始温度是30 ℃。

图12 A11VOL190柱塞泵CFD计算模型及其网格Fig.12 CFD calculation model and grid for A11VOL190 piston pump

将本文计算结果与CFD 计算结果进行对比（见表3），发现两者无论最大值、最小值还是平均值都十分接近，这说明本文提出的基于一维计算模型的方法具有较高的计算精度。

表3 一维模型和CFD模型出口流量计算结果对比Table 3 Comparison of outlet flow calculation results based on one-dimensional model and CFD model

5.2 运行工况对柱塞泵出口流量脉动的影响

柱塞泵在实际使用中面临着多种不同的运行工况，运行温度、工作压力、柱塞泵调节参数（主轴转角以及斜盘倾角）等都将对其出口处流量脉动产生影响。而此处的流量脉动将导致负载端（疲劳试验时为液压作动缸）的压力脉动，且流量脉动越大，负载端压力脉动就越大［20］，而负载端压力脉动对加载力的精度具有显著影响，因此柱塞泵出口处流量脉动将显著影响试验精度。

运行温度的影响以往考虑较少，本研究中运行工况对流量脉动的影响均建立在运行温度影响的基础之上，因此需首先分析运行温度的影响。

5.2.1 运行温度对柱塞泵流量脉动的影响

本节主要考虑运行温度对液压油动力黏度和弹性模量的影响。依据已有试验结果拟合不同运行温度T下对应的液压油的动力黏度μ［8］，表达式为

国内外研究发现运行温度对低工作压力下的液压油弹性模量有较明显影响，而对高工作压力（>20 MPa）下液压油弹性模量无明显影响［9］，因此高工作压力下只需考虑运行温度T对液压油弹性模量E的影响，经拟合获得表达式［9］：

经计算可获得液压油在不同运行温度下对应的动力黏度及弹性模量，如表4所示。

表4 运行温度对液压油特性的影响Table 4 Influence of operating temperature on hydraulic oil characteristics

计算获得不同运行温度下出口流量随时间的变化规律，如图13 所示。由图可知，随运行温度变化出口流量波形仍呈现双峰特征，温度升高后出口流量平均值Q（t）avg稍降，这是由于温度升高导致了柱塞泄漏量略微升高。

图13 不同运行温度下出口流量随时间的变化规律Fig.13 Variation of outlet flow rate with time under different operating temperatures

出口流量脉动率变化规律如图14 所示，可见伴随运行温度升高，流量脉动率先升高，当运行温度介于50 ℃至60 ℃时为平台期，脉动率无明显升高，但随温度继续升高，脉动率快速上升。鉴于以上分析，在疲劳试验中使用柱塞泵时，应将柱塞泵超温保护设置为60 ℃，在有效降低出口流量脉动率的同时拓宽柱塞泵运行温度范围。

图14 随运行温度变化出口流量脉动率的变化规律Fig.14 Variation law of outlet flow pulsation rate with changes of operating temperature

5.2.2 工作压力对柱塞泵流量脉动的影响

当运行温度为40 ℃、斜盘倾角为16°、主轴转速为2100 r/min，工作压力依次为20、25、30 及35 MPa 时分析柱塞泵出口流量脉动情况，由5.2.1节分析可知此时液压油弹性模量可近似为定值。

图15 为计算得到的不同工作压力下柱塞泵出口流量随时间的变化规律，伴随工作压力的升高，柱塞泵出口流量均值Q（t）avg显著降低，这一变化的原因是工作压力增大导致了柱塞泄漏量显著增大。

图15 不同工作压力下出口流量随时间的变化规律Fig.15 Variation of outlet flow rate with time under different working pressures

工作压力变化时出口流量脉动率的变化规律如图16 所示，伴随工作压力升高，流量脉动率显著升高，且流量脉动率与工作压力呈现近似线性关系。鉴于以上分析，当柱塞泵应用在某些对加载精度有较高要求的疲劳试验中时，应合理选择液压作动缸规格和液压管路直径（影响压力衰减）来降低试验所需工作压力，从而降低柱塞泵出口流量脉动率，提高试验加载精度。

图16 随工作压力变化出口流量脉动率的变化规律Fig.16 Variation law of outlet flow pulsation rate with changes of working pressure

5.2.3 柱塞泵调节参数对流量脉动的影响

在实际试验使用中，柱塞泵调节参数主要包括主轴转速和斜盘倾角，分别分析这两项参数对柱塞泵出口流量脉动的影响。

当运行温度为40 ℃、工作压力为35 MPa、斜盘倾角为16°，主轴转速n分别为900、1200、1500、1800及2100 r/min时分析柱塞泵出口流量脉动情况，结果如图17 所示。伴随主轴转速增大柱塞泵脉动周期明显缩短，Q（t）max与Q（t）min间的差值显著增大，且柱塞泵出口流量显著增大体现为出口流量平均值Q（n，t）avg与主轴转速n之间呈线性正相关，并满足以下表达式：

图17 不同主轴转速下出口流量随时间的变化规律Fig.17 Variation of outlet flow rate with time at different spindle speeds

当运行温度为40 ℃、工作压力为35 MPa、主轴转速为2100 r/min，斜盘倾角分别为8°、10°、12°、14°及16°时，分析柱塞泵出口流量脉动情况，结果如图18所示。随斜盘倾角增大Q（t）max与Q（t）min间差值显著增大，且柱塞泵出口流量显著增大，体现在出口流量平均值Q（β，t）avg与斜盘倾角β间呈线性正相关：

图18 不同斜盘倾角下出口流量随时间的变化规律Fig.18 Variation of outlet flow rate with time under different inclined angles of swash plate

表5 和表6 是运行温度为40 ℃、工作压力为35 MPa 情况下，柱塞泵调节参数（包含主轴转速和斜盘倾角）改变对出口流量脉动率的影响。表5中，当斜盘倾角保持16°不变、主轴转速逐渐降低时，柱塞泵出口流量脉动率先是略微降低，但幅度很小，当主轴转速达到1800 r/min 后继续降低，流量脉动率快速升高；而表6中，当主轴转速保持2100 r/min不变、斜盘倾角逐渐减小时，柱塞泵出口流量脉动率先缓慢升高随后快速升高［21］。

表5 主轴转速变化对出口流量脉动率的影响Table 5 Influence of spindle speed variation on outlet flow pulsation rate

表5和表6中，柱塞泵初始运行工况完全一致，对比降低主轴转速和调小斜盘倾角两种调节控制方式可知，如需使得柱塞泵出口流量平均值降低相同幅度且出口流量脉动率增大幅度较小，则优先采用降低主轴转速的方式来进行调控。因此，当疲劳试验数量减少而需减小柱塞泵出口流量时，从降低出口流量脉动率提高试验精度的角度，应首先采取降低主轴转速的调控方式。

6 结论

通过本文的计算及分析主要得出以下结论：

（1）基于图形解析法推导过流面积公式并编写相应的Matlab程序，可实现从柱塞泵型线关键参数输入到一维计算模型所需数据提取的流程全自动化；

（2）柱塞泵在预降压区的流量倒灌时间较之预升压区时间更短，单柱塞在过渡区存在的倒灌及冲击是柱塞泵在其出口处产生流量脉动的主要原因；

（3）柱塞泵运行工况诸如工作压力、运行温度以及柱塞泵调节参数均对其出口流量脉动有较明显影响，为提高疲劳试验的精度应开展液压系统选型，并在试验过程中对柱塞泵进行合理的控制；

（4）基于一维计算模型的方法具有良好的计算准确性并可显著缩短计算时间，便于后续柱塞泵的改进设计以及作为子系统添加到虚拟数字试验平台中。