SS－拟正规子群对有限群p－超可解性的影响

高建玲　毛月梅　曹陈辰

摘要：设G为有限群，若存在B≤G使得G=HB，且对任意p∈π（B），P∈Sy1p（B），都有HP=PH，则称子群H在G中SS－拟正规.利用极小阶反例法，讨论某些p－子群SS－拟正规的有限群结构，得到p－超可解群的若干充分条件，推广了p－超可解性的部分结果.

关键词：p－子群；SS－拟正规子群；p－超可解群；极小阶反例

中图分类号：O 152.1文献标志码：A文章编号：1001－988Ⅹ（2024）02－0001－05

Influence of SS－quasinormal subgroups on thep－supersolvability of finite groups

GAO Jian－ling MAO Yue－mei CAO Chen－chen

Abstract：Let G be a finite group.A subgroup H is said to be SS－quasinormal in G if there is a subgroup B of G such that G=HB，and H permutes with any Sylow p－subgroup of B for arbitrary prime p∈π（B）.The structures of finite groups with SS－quasinormality of some p－subgroups are discussed by using counterexample of minimal order，and several sufficient conditions of p－supersolvable groups are obtained，which generalize some known results of p－supersolvability.

Key words：p－subgroup;SS－quasinormal subgroup;p－supersolvable group;counterexample of minimal order

0 引言

本文僅讨论有限群，并用字母G表示有限群，G表示群G的阶，π（G）表示G的素因子构成的集合，p，q表示素数，Op（G）表示群G的使得商群是p－群的最小正规子群，ZUp（G）表示群G的p－超可解超中心，Ap-1表示方次数整除（p-1）的交换群构成的群类，GAp-1表示群G的Ap-1－剩余，其余术语及符号见文献［1－2］.

正规子群在群论研究中起着关键作用，群论学者对其进行了多方面的推广.针对其与任意子群可置换性质的推广，Ore［3］引入拟正规子群：称子群H在G中拟正规，若对任一K≤G，都有HK=KH.在减弱可置换子群的条件后，Kegel［4］引入S－拟正规子群：称子群H在G中S－拟正规，若对任一P∈Sylp（G），都有HP=PH.之后，学者们对S－拟正规子群进行推广，Li等［5］引入了SS－拟正规子群.目前，关于子群SS－拟正规性的研究已有许多结果.Chao等［6］研究了当p∈π（G）且p最小时，若Sylow p－子群的极大子群在G中c－正规或SS－拟正规，则G是p－幂零群；Zhong等［7］研究了当p∈π（G）且（G，p-1）=1时，若G存在Sylow p－子群P，使得P的每个极大子群在NG（P）中SS－拟正规且P′在G中S－拟正规，则G是p－幂零群；Kang［8］研究了当p∈π（G）且p最小，P∈Sylp（G）时，若P存在子群D（12且P是非交换2－群）在G中c－正规或SS－拟正规，则G是p－幂零群.

2015年，Guo等［9］应用正规性研究了Op（G）的Sylow p－群对有限群G的影响，得到如下结论：

命题1［9］设p∈π（G），P∈Sylp（G），1≤d=ped或G是p－超可解群.

本文首先将命题1中的正规性减弱，其次将G的素因子p的限定条件去掉，再结合p－子群的SS－拟正规性，给出了有限群为p－超可解群的若干充分条件，推广了命题1的结论.

1 预备知识

定义1［5］称子群H在G中SS－拟正规，若存在B≤G满足G=HB，并且对任一p∈π（B），P∈Sylp（B），都有HP=PH.

引理1［5］设K≤G，NG且H在G中SS－拟正规，下列结论成立：

（i）若H≤K，则H在K中亦SS－拟正规；

（ii）HN/N在G/N中SS－拟正规；

（iii）若N≤K且K/N在G/N中SS－拟正规，则K在G中SS－拟正规；

（iv）若K在G中拟正规，则HK在G中SS－拟正规.

引理2［5］若p－群P≤G且P在G中SS－拟正规，则PQ=QP对所有Q∈Sylq（G）成立，这里q≠p.

引理3［10］设G是有限群，p∈π（G），则

（i）若NG，则（G/N）Ap-1=GAp-1N/N，Op（G/N）=Op（G）N/N且Op（（G/N）Ap-1）=Op（GAp-1）N/N;

（ii）G是p－超可解群当且仅当GAp-1是p－幂零群；

（iii）G/Op（GAp-1）是p－超可解群；

（iv）G是p－超可解群当且仅当Op（GAp-1）≤ZUp（G）；

（v）若P是p－群且PG，则P≤ZUp（G）当且仅当P∩Op（GAp-1）≤ZUp（G）.

引理4［11］设P，Q分别是群G的p－子群和q－子群，其中p，q∈π（G）且p≠q.若LG且PQ=QP，则PQ∩L=（P∩L）（Q∩L）.

引理5［12］设A，B≤G，G≠AB且ABx=BxA对任一x∈G成立，则存在NG，使得A≤N或B≤N.

2 主要结果

定理1 设p∈π（G），P∈Sylp（G），1≤d=ped或G是p－超可解群.

证明 假若结论不成立，取G为极小阶反例.记U=Op（G），M=P∩U，则M≤d并且G不是p－超可解群.特别地，M≠1且d≥p.记Σ={HP：H=d}，由假设知，对任一H∈Σ，H∩U皆在G中SS－拟正规.

以下分五步证明结论.

（1）Op′（G）=1.

若Op′（G）≠1，考虑=G/Op′（G）.令且=d，则存在H∈Σ使得=HOp′（G）/Op′（G）.由假设及引理1的（ii）可知，∩=（H∩U）Op′（G）/Op′（G）在G中SS－拟正规.又∩≤d，由G的取法知，是p－超可解群，故G是p－超可解群，矛盾.于是Op′（G）=1.

（2）M在G中SS－拟正规.

因MP且M≤d，所以存在H∈Σ使得M≤H≤P.故M=H∩U在G中SS－拟正规.

（3）若Y是P的极大子群，则Y∩U=Y∩M在G中SS－拟正规.

因M≤d，所以存在H∈Σ使得Y∩Μ≤Y∩U≤H≤Y.因此Y∩M=Y∩M∩H=H∩M=H∩P∩U=H∩U

，故Y∩M=Y∩U=H∩U在G中SS－拟正规.

（4）G/MG是p－幂零群.特别地，G是p－可解群.

因MG≤U且U∶MG整除p′－数U∶M， 所以U/MG是p′－群.又G/U是p－群，因此G/MG是p－幂零群.另一方面，因为G=PU，所以对任意的素数q（这里q≠p），U的Sylow q－子群必定是G的Sylow q－子群，由（2）及引理2可知，当q≠p时，对任一Q∈Sylq（G）有MQ=QM.由文献［13］的定理A知MG可解，于是G是p－可解群.

（5）导出矛盾.

若d=p，则由（1）及（4）知，M是U的正规Sylow p－子群，因此G是p－超可解群，矛盾，因此d>p.令T是G的极小正规子群且T≤U，由（1）及（4）知T≤M，故T≤d.

情形1 T

此時1≤d/T

T∩（Y∩M）Q=T∩Y∩M=T∩Y（Y∩M）Q，

于是Q≤NG（T∩Y），从而U≤NG（T∩Y）.又T∩YP，故T∩YG，由T的取法知，T∩Y=1，T=p，故G是p－超可解群，矛盾.

情形2 T=d.

此时T=M.由（4）知，G/T是p－幂零群，而p－幂零群系是饱和群系，故可设Tp矛盾.】

定理2 设P∈π（G），p∈Sylp（G），1≤d=ped或G是p－超可解群.

证明 假若结论不成立，取G为极小阶反例.记A=GAp-1，U=Op（A），则P∩U≤d且G不是p－超可解群.由A的定义知，P∈Sylp（A）.

以下分七步证明结论.

（1）Op′（G）=1.

若Op′（G）≠1，考虑=G/Op′（G）.令且=d，则存在HP且H=d使得=HOp′（G）/Op′（G）.由假设及引理1的（ii）可知，

∩=（H∩U）Op′（G）/Op′（G）

在G中SS－拟正规.又∩≤d，由G的取法可知，是p－超可解群，故G是p－超可解群，矛盾.于是Op′（G）=1.

（2）PG且P∩U≠1.

由假设及引理1（i）可知，对所有HP且H=d，有H∩U在A中SS－拟正规，由定理1知，A是p－超可解群.由（1）及p－超可解群的p－长至少是2可得PA，故PG.

若P∩U=1，则由引理3（v）知P≤ZUp（G），因此G是p－超可解群，矛盾.于是P∩U≠1.

（3）对所有HP且H=d，有H∩UG.进一步，对任一Y<·P有Y∩UG.

对任意的素数q（这里q≠p），由假设及引理2知，对任一Q∈Sylq（G），有（H∩U）Q≤G.因PG，故P∩（H∩U）Q=P∩H∩U=H∩U（H∩U）Q，所以Q≤NG（H∩U），从而Op（G）≤NG（H∩U）.又H∩UP，因此H∩UG.

对任一Y<·P， 有｜Y∩U｜≤｜P∩U｜≤d且Y∩UP.取HP且｜H｜=d使得Y∩U≤H≤Y，则Y∩U=H∩U，故Y∩UG.

（4）d>p.

若d=p，则｜P∩U｜=1或p.所以P∩U≤ZUp（G），

由引理3（v）知P≤ZUp（G），因此G是p－超可解群，矛盾.于是d>p.

（5）取T是G的极小正规子群且T≤P∩U，若｜T｜

易见，1≤d/T

在G/T中SS－拟正规，因此G/T满足假设条件.又P/T∩Op（A/T）=（P∩U）/T≤d/T，考虑到G的取法可知，G/T是p－超可解群.

（6）T≤Φ（P）.

若TΦ（P），则存在Y<·P使得P=TY，所以T∩Y<·T. 又T∩Y=T∩Y∩U，于是由（3）知T∩YG，故由T的取法可知，T∩Y=1或T∩Y=T.

情形1 T∩Y=1.此时T=p，由（4）知T

情形2 T∩Y=T.此时T≤Y，于是P=TY=Y，此与Y<·P矛盾.

（7）导出矛盾.

由T≤P∩U知T≤d.

情形1 T=d.此时T=P∩U.因A/T是p－幂零群，由（6）及文献［14］的第Ⅵ章例7.6知，A是p－幂零群，再由引理3（ii）知，G是p－超可解群，矛盾.

情形2 T

定理3 设p∈π（G），P∈Sylp（G），若P存在子群D（1

证明 假设结论不成立，取G为极小阶反例.

以下分五步证明结论.

（1）Op′（G）=1.

若Op′（G）≠1，对商群=G/Op′（G）和=POp′（G）/Op′（G）.由假设及引理1（ii）知，的任一d阶子群或4阶循环子群（若D=2且P是非交换2－群）=HOp′（G）/Op′（G）在中皆SS－拟正规，故满足定理假设.由G的极小性可知，为p－超可解群，所以G为p－超可解群，矛盾.

（2）若N是G的极小正规子群且N≤P，则N≤d.

若N>d，假定N1≤N且N1=d且N1P.由假设知N1在G中SS－拟正规，即对任一q∈π（G）且p≠q，取Q∈Sylq（G）有N1Q=QN1.

因N1=N∩N1QN1Q，故Q≤NG（N1），顯然P≤NG（N1）.假定q1，q2，…，qt是π（G）的所有与p不同的元素，Qi∈Sylqi（G），则N1P，Q1，Q2，…，Qt=G.再由N的极小性易知N1=1或N1=N，矛盾.故N≤d.

（3）Op（G）≠1.

若Op（G）=1，取G的极小正规子群N，由（1）可知N不可解，于是N=N1×N2×…×Nt，其中N1，N2，…，Nt是同构的非交换单群.由（1）知，pN，取P的d阶子群H且使得H∩N1≠1.对任一x∈N1，Q∈Sylq（G），q≠p，

有Qx∈Sylq（G），

于是HQx=QxH.由引理4可得HQx∩N1=（H∩N1）（Qx∩N1）=（H∩N1）（Q∩N1）x.

显然（H∩N1）（Q∩N1）x≠N1，故由引理5知N1非单，矛盾.

（4）若N是G的极小正规子群且N≤Op（G），则N

由（2）知，N≤d.若N=d，取P/N的极小正规子群L/N，则L/N=p，可记L=Na，其中ap∈N且aN.若Φ（L）=N，则L=a循环，故N循环，于是N=p.若Φ（L）

（5）得出矛盾.

易见Φ（G）=1且N=Op（G）是G的唯一极小正规子群，于是存在M<·G使G=NM且N∩M=1.记Mp∈Sylp（M），则P=NMp且Mp≠1.取N1<·N且N1P，并取S1≤Mp满足H=N1S1是d阶子群.由假设知H在G中SS－拟正规，即对任一q∈π（G）且q≠p，取Q∈Sylq（G）有HQ=QH.因N1=N∩H=N∩HQHQ，

故Q≤NG（N1），显然P≤NG（N1）.假定q1，q2，…，qt是π（G）的所有与p不同的元素，Qi∈Sylqi（G），则N1P，Q1，Q2，…，Qt=G.再由N的极小性易知N1=1，故N=p，结合（4）知G是p－超可解群，矛盾.】

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（責任编辑 马宇鸿）

收稿日期：2023－06－20;修改稿收到日期：2023－07－23

基金项目：国家自然科学基金资助项目（12101339，12371021）；山西大同大学科研基金资助项目（2020K8）

作者简介：高建玲（1981—），女，山西朔州人，讲师，硕士.主要研究方向为代数群论.E－mail：gaojl1981@163.com