具有Allee效应和B－D项的Leslie－Gower模型解的存在性

程丹丹　李畅通　冯孝周　刘梦妍

摘要：研究一类具有B－D反应项和Allee效应的改进Leslie－Gower模型正解的性质.首先，运用极大值原理、上下解方法对模型正解进行先验估计，利用线性化算子得到正常数解的渐近稳定性.其次，利用Poincare不等式证明非常数正解的不存在性，进一步，利用Leray－Schauder度理论阐明非常数正解存在的充分条件.最后，通过数值模拟验证常数解的稳定性及Allee效应常数对食饵和捕食者种群密度的影响.

关键词：Allee效应；渐近稳定性；Leslie－Gower模型；度理论；数值模拟

中图分类号：O 175.25文献标志码：A文章编号：1001－988Ⅹ（2024）02－0006－08

Existence of solutions to Leslie－Gower models with Allee effect and B－D terms

CHENG Dan－dan，LI Chang－tong，FENG Xiao－zhou，LIU Meng－yan

Abstract：The properties of a class of positive solutions to the improved Leslie－Gower model with B－D reaction terms and Allee effects were studied.Firstly，the maxima principle and the super－sub solution method were used to make a priori estimate for the positive solution of the model，and the asymptotic stability of the normal number solution is obtained by using the linearization operator.Secondly，the Poincare inequality was used to prove the non－existence of non－normal positive solutions.In addition，the Leray－Schauder degree theory was used to clarify the sufficient conditions for the existence of non－constant positive solutions.Finally，numerical simulation was used to verify the stability of the constant solution and the effect of the Allee effect constant on the population density of prey and predator.

Key words：Allee effect;asymptotic stability;Leslie－Gower model;degree theory;numerical simulation

0 引言

在生物数学中，研究不同物种密度之间的关系一直是科学家们非常关心的问题［1－2］.近年来，通过捕食－食饵模型描述物种动力学关系已成为热点.

1931年，美国生态学家Allee提出Allee效应［3－11］来描述种群密度与种群增长率之间的正相关关系；20世纪40年代，Leslie考虑到食饵种群数量对捕食者种群数量的影响，提出了著名的Leslie－Gower模型［12－13］；1960年，Leslie等［14］發现，当捕食者的环境容纳量和食饵的数量达到一定比例时，捕食者的成长率会受到影响，于是提出了修正的Leslie－Gower模型.21世纪初，Aziz－Alaoui等［15］指出，捕食者成长期内由于没有足够多喜欢的食物，它的成长将受到限制，从而提出了具有HollingⅡ型功能反应项的改进Leslie－Gower捕食－食饵模型

其中，u，v分别为食饵种群和捕食者种群数量；b代表食饵的种内竞争，a1，a2表示对应物种的平均减少率的最大值；r1，r2分别为食饵与捕食者的自然增长率；k1，k2分别衡量环境对食饵和捕食者的保护程度.1975年，Beddington［16］和Deangelis等［17］提出了B－D功能反应项αx/（a+bx+cy），相较于Holling Ⅱ型功能反应项，它在分母上加了一项cy来模拟捕食者之间的相互影响.2014年，Yu［18］将B－D项和改进的Leslie－Gower模型结合，得到模型

在自然界中，各物种在空间分布上是不均匀的，这种不均匀极大地影响了种群的发展，结合以上思想，本文在Neumann边界条件和具有Allee效应及B－D项的Leslie－Gower捕食模型的基础上，考虑反应扩散方程组［9］

其中Δ为拉普拉斯算子;u，v分别代表食饵和捕食者的种群密度;Ω是Rn中具有光滑边界的有界开区域，Ω指有界开区域的边界;uv/（a+u+kv）是B－D反应项，参数d1，d2代表扩散系数，hv/（a+u+kv）

1 正解的先验估计和稳定性

首先根据最大值原理，对模型（2）正解进行先验估计，并讨论正常数解的稳定性，为计算方便，设Γ=Γ（a，b，h，α，β）.

引理1 设h*>0，则一定存在常数T1=T1（Γ，h*）>0，使得当d1，d2≥h*时，模型（2）的任意正解（u，v）均满足

从图1可以看到，不同条件下模型（2）的动力学行为很复杂.图1（a）中：a=0.1，α=0.88，b=1.1，其对应的边界平衡解E1=（1，0）是稳定的；图1（b）中：a=2，α=8.5，b=0.1，其对应的边界平衡解E2=（0，0.268）是稳定的；图1（c）中：a=2，α=0.88，b=0.1，其对应的正常数平衡解为E3=（0.851，0.428），根据引理1，当满足一定条件时，模型（2）的正常数平衡解是渐近稳定的.系统参数的改变对系统平衡点的影响很大，所以选择合适的参数有利于对种群数量进行控制.

图2为对应图1在时刻T=30时u，v的剖面图，图2（a）所有参数都与图1（a）相同，图2（b）所有参数都与图1（b）相同，图2（c）所有参数都与图1（c）相同.可以直观地发现不同条件下模型（2）平衡点的稳定性，验证了本文结论的正确性.

图3显示了Allee效应b对食饵和捕食者密度的影响，参数a=2，α=0.88，其他参数与上述相同.在图3（a）～（d）中，b分别取0.1，0.2，0.5，1.0，初始条件u0（x）=0.2cosx+0.8，v0（x）=0.7cosx.从图3可以清楚地观察到u，v的变化.随着Allee效应的增强，食饵u的种群密度不断增加，而捕食者v的种群密度降低，这说明Allee效应对系统的动力学性质有很大的影响.

5 结论

本文讨论了具有B－D项和Allee 效应的改进的Leslie－Gower 模型.首先利用最大值原理得到了正解的先验估计，再利用线性化算子得出了正常数解的渐近稳定性.进一步，利用Poincare不等式证明了非常数正解的不存在性，并给出了非常数正解存在的充分条件.最后对模型进行了数值模拟，验证了理论分析的正确性.

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（责任编辑 马宇鸿）

收稿日期：2023－02－05;修改稿收到日期：2023－08－30

基金项目：国家自然科学基金资助项目（11901370，12001425）；国家大学生创新创业训练计划项目（202110702010）；陕西省自然科学基础研究计划项目（2020JM－569）；西安工业大学研究生教育改革重点项目（XAGDYJ220106）

作者简介：程丹丹（1997—），女，甘肃平凉人，硕士研究生.主要研究方向生物数学.E－mail：1526570471@qq.com

*通信联系人，讲师，博士.主要研究方向為生物数学.E－mail：lctnihao@163.com