基于数据驱动的FAST主动反射面调节优化模型

吕茏 陈浩 吴建鑫 刘亚兰 邓依兰 范小林

文章编号  1000-5269（2024）01-0064-08

DOI：10.15958/j.cnki.gdxbzrb.2024.01.10

收稿日期：2023-06-06

基金项目：贵州省教育厅自然科学研究资助项目（黔教技[2023]011）

作者简介：吕  茏（1999—），男，在读硕士，研究方向：数理统计，E-mail：lvlong11@mails.ccnu.edu.cn.

*通讯作者：范小林，E-mail：xiaolin.fan@gznu.edu.cn.

摘  要：针对500 m口径球面射电望远镜（five-hundred-meter aperture spherical radio telescope，FAST）的主动反射面调节问题，利用旋转抛物面在三维空间中的定义建立了一个对任意天体角度均适用的工作抛物面方程，该方法不同于以往的坐标旋转的方法。利用反射面板重心点作为反射点，将反射接收比定义为能把光线反射到馈源舱被其接收的面板数量与300 m口径工作抛物面下总面板数量的比值。结合主索节点径向伸缩距离、边界平稳过度和邻接距离变化幅度三个约束条件，以接收比最大化作为目标函数，建立了一个工作抛物面优化模型，并利用节点数据和模拟退火算法对其进行求解，得到了工作理想抛物面。选用两组天体角度进行实例分析，结果显示调节后的接收比增大12.82%，并给出了工作主索节点的部分径向调节方案。本研究为FAST对于任意天体角度的变形提供了一种新的建模方法，也对馈源舱反射接收比提出了一种新的计算方式。

关键词：FAST主动反射面；旋转抛物面；馈源舱接收比；优化模型；模拟退火算法

中图分类号：P16;O182

文献标志码：A

历时22年建成的我国具有自主知识产权的FAST是目前世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜［1］，从开始运行至今已取得大量重要科学发现［2］，其中，对其主动反射面进行合理调节以增加反射接收比的研究是一个重要的问题。

在观测天体时，FAST会局部形成300 m口径工作抛物面。若想更有效地利用FAST对宇宙进行探索，对其主动反射面的调节优化是关键操作之一，而其中对主动反射面建立理想抛物面方程则是重要的基础问题之一。针对此问题，钱宏亮［3］利用抛物线和圆弧代替工作抛物面和基准球面，通过使抛物面与基准球面之间的距离最大值与最小值的绝对值之和最小，得到了三种理想抛物线方案，为FAST后续研究提供了宝贵的模型和参考方案。随后，朱丽春［4］通过比较这三种方案，选择了第二种方案作为理想抛物面。问题进一步转换到了如何让工作主索节点尽可能快地变化到给出的工作理想抛物面上。为此，研究者们利用了各种方法对主索节点位移变化的求解进行了研究，朱丽春［4］使用了机器学习的方法；端素红［5］使用了粒子群优化算法；王志远［6］使用了迭代学习理论；王亚男［7］使用了统计回归分析理论。他们为后面的FAST整网控制策略奠定了基础，这将对 FAST主动反射面的精确变形研究产生重大的现实意义。

为进一步得到添加约束条件下的最优工作抛物面，李明辉等［8］根据三种理想抛物线方案，将其变换为含焦径比参数f和顶点位移参数h的抛物线方程。同时，李明辉等［8］使用数值模拟方法进行参数优化，为后续分析提供了参考；而牟淼等［9］使用的粒子群算法；庞登浩等［10］则使用的遗传算法。他们逐渐将智能算法应用到该领域，相比于传统的搜索法，提高了运算速度。

当天体变动为任意角度时，刘钰［11］通过坐标轴旋转得到不同天体角度下的旋转抛物面方程，并使用代数推导的方法得到了主索节点位移变化公式；而李建玲等［12］尝试了是否可以通过增加工作口径来尽可能地接收更多光线，从而应对天体位置的变化。综上，我们了解到目前的文献中主要是采用旋转抛物线和坐标旋转的方法来得到任意天体角度下主动反射面的理想抛物面方程。

前面大都是以主索节点位移量最小化为优化目标。而薛建兴等［13］给出了一种FAST 瞬时抛物面的拟合误差（root mean square，RMS），该项研究对确定反射面单元初始面形及调节瞬时抛物面拟合精度很有意义。沈世云等［14］则以RMS精度最小为目标，结合约束条件，使用了一种改进的非常快速的模拟退火算法，具有更高的搜索效率和更优的搜索结果。

目前，提高馈源舱的接收比是进行主索节点调节的主要目标。牟淼等［9］和郭学俊等［15］提出了以主索节点为反射点，利用光线反射原理计算能被馈源舱接收到的反射点数量，并将其与总的工作主索节点数量的比值作为馈源舱接收比。王丹等［16］则利用光滑球面的法向量作为反射法向量，将反射光线进入馈源舱的比例作为接收比。他们提供了一些反射接收比的计算方法。

针对以上现状，本文采用三维空间中旋转抛物面方程的定义，建立了一般化的300 m口径工作抛物面方程。该方法不同于坐标旋转的方法，可直接得到任意天体角度的工作抛物面方程。在实际中，面板仍为平面面板，其反射点不一定在抛物面上。因此，利用反射面板的三个主索节点的重心坐标作为反射点并代替整块面板，将馈源舱接收比定义为能把光线反射到馈源舱被其接收的面板数量与300 m口径下总的工作反射面板数量之比，并结合约束条件建立工作抛物面调节优化模型。利用模拟退火算法对优化模型进行求解，得到接收比最大的工作理想抛物面，同时给出部分主索节点的径向调节方案。本文为FAST对于任意天体角度的变形提供了一种新的建模方法，并结合了已知数据进行优化求解，也提出了具有更广泛意义的馈源舱接收比计算方法。

1  工作抛物面方程的建立

根据三维空间中旋转抛物面的定义［17］推导出工作抛物面方程。

如圖1，根据天体方位角α及仰角β确定直线SC的方向向量n0=（a，b，c），其中，

a=cos β cos αb= cos β sin αc=sin βa2+b2+c2=1 （1）

如图2，由于约束条件使旋转抛物面方程可能达不到以馈源舱点P为焦点的理想抛物面，所以工作抛物面的焦点P′可在点P的基础上沿天体方向上下调节一定的幅度θ1，这里以向上移动为正。则工作抛物面的焦点P′的坐标为

（P′x，P′y，P′z）=（θ1+F－R）n0（2）

在上式中，当θ1=0 m时为馈源舱点P的坐标。根据FAST的调节要求，工作抛物面的顶点D′可在点D的基础上沿天体方向上下调节θ2，θ2∈（－0.6，0.6）［16］，这里以向上移动为正。因此，工作抛物面的顶点D′的坐标为

（D′x，D′y，D′z）=（θ2－R）n0（3）

当θ2=0 m時为点D的坐标。准面上点Q的坐标为

（Qx，Qy，Qz）=－（R+θ1+F－2θ2）n0

以点Q与法向量n0构成的准面方程为

Ω：ax+by+cz+R+θ1+F－2θ2=0（4）

根据三维空间中旋转抛物面的定义［17］，利用工作抛物面的焦点P′的坐标和准面方程Ω、以及空间中的一点A（x，y，z），可得工作抛物面方程为

G：d2（A，P′）－d2（A，Ω）=0（5）

将式（2）与式（4）代入式（5），具体展开如下

G：（x－P′x）2+（y－P′y）2+（z－P′z）2=

（ax+by+cz+R+θ1+F－2θ2）2（6）

2  300 m口径工作抛物面的优化与求解

2.1  300 m口径的圆方程与投影椭圆方程的求解

如图2，300 m口径圆的圆心点B的坐标为

（Bx，By，Bz）=－R2－1502n0

选取一个与向量n0正交的向量u1=（b，－a，0），以及与向量n0和向量u1都正交的向量u2=n0×u1=（ac，bc，－a2－b2）。特别地，当β=90°时，取向量u1=（1，0，0），u2=（0，1，0）。将向量u1，u2单位化得到

u1=u1‖u1‖2，u2=u2‖u2‖2

这里符号·×·表示向量的外积，‖·‖2表示向量的长度。则300 m口径的圆的参数方程为

x=Bx+150（u1xcos +u2xsin ）

y=By+150（u1ycos +u2ysin ）

z=Bz+150（u1zcos +u2zsin ） （7）

式中，∈［0，2π］。椭圆的一般方程为

H（x，y）：h1x2+h2xy+h3y2+h4x+h5y+h6=0（8）

取式（7）中的n个坐标点（xk，yk），并在XOY平面上进行投影椭圆方程（8）的最小二乘拟合。拟合的目标函数和约束条件［18］为

argmin（h1，…，h6）∑nk=1（H（xk，yk））2h22－4h1h3<0 （9）

当取α=36.795°，β=78.169°时，得到的示意图如图3所示。

2.2  工作主索节点径向伸缩距离的确定

本文主要是利用基准球面节点数据进行模型中椭圆方程的参数拟合以及主索节点变化前后距离的计算。文献［19］中附件1是基准球面节点数据，如表1所示，其包括节点编号、三维坐标、赋予的索引i∈I，其中I={1，2，…，2 226}，表示主索节点的索引集合。

将表1中的坐标（xMi，yMi）逐一代入椭圆方程（8）中，使H（xMi，yMi）≤0，可筛选出包含在椭圆内的节点，即为工作主索节点，将其索引集合记为II。进一步，使－1≤H（xMi，yMi）≤0，可筛选出边界工作主索节点，将其索引集合记为IeI。将基准球面上的主索节点Mi与原点C构成的直线方程和式（4）工作抛物面方程G联立求解得点Ni的坐标，即为由基准球面通过促动器径向伸缩到工作抛物面上的主索节点。联立方程为

x－0xMi=y－0yMi=z－0zMi，i∈Ι

G：d2（A，P′）－d2（A，Ω）=0

如图4，300 m口径基准球面第i∈Ι个主索节点Mi和对应的工作抛物面主索节点Ni之间的距离为

di=（xMi－xNi）2+（yMi－yNi）2+（zMi－zNi）2

定义函数节点变化方向函数为

εi=  1，  若zNi－zMi≥0－1，  若zNi－zMi<0

因此，令δ1i为300 m口径下主索节点对应的促动器径向伸缩距离，其取值为正表示主索节点径向向上，值为负表示径向向下，其中，

δ1i=εidi（10）

2.3  邻接工作主索节点距离变化幅度矩阵

一块三角反射面板有3个主索节点。文献［19］中附件3是每块反射面板的三个节点编号，如表2所示。本文可利用表2中的数据获得每个节点的相邻主索节点，从而结合表1中的节点坐标数据计算出工作抛物面变化前后的邻接点变化幅度。

定义邻接矩阵U=（Uij），其中，

Uij=1，  若节点Mi与Mj相邻0，  若节点Mi与Mj不相邻

基准球面和工作抛物面主索节点之间的距离矩阵分别记为D1=（D1ij），D2=（D2ij），其中，

D1ij=（xMi－xMj）2+（yMi－yMj）2+（zMi－zMj）2

D2ij=（xNi－xNj）2+（yNi－yNj）2+（zNi－zNj）2

因此，变化前后邻接工作主索节点之间的距离矩阵分别为D1=（D1ij），D2=（D2ij），其中，

D1ij=D1ijUij，D2ij=D2ijUij

邻接工作主索节点之间的距离变化幅度矩阵为Δ2=（δ2ij），其中

δ2ij=（D2ij－D1ij）/D1ij×100%（11）

式中，i，j∈Ι，为工作主索节点的索引。

2.4  馈源舱接收比

若主动反射面是一块巨大的光滑反射镜，则光线反射的光心即为旋转抛物面焦点，这时可用曲面面积的比值来表示馈源舱接收比。在实际中，FAST的反射面由若干块近似等边三角形的面板构成，其端点位于工作抛物面上。反射面板将天体入射光线尽可能地反射到馈源舱，从而使之被接收。现取出300 m口径工作抛物面下所有的工作主索节点，根据表1和表2得到工作面板的三个主索节点对应的坐标，计算出每块面板的法向量，并根据天体信号入射向量求得反射向量［20］。

如图5，入射向量为－n0。取反射面板的两个平面向量n1，n2，通过计算得到面板的法向量n3，并将其进行单位化得到n3，其中，

n3=n1×n2，n3=n3‖n3‖2

利用反射向量计算公式［20］得到反射向量为

n4=－n0+2〈n0，n3〉n3

〈·，·〉表示向量的内积。

假设每块面板能将所有的入射光线反射到馈源舱接收平面上，则可用每块面板的重心点T代替整块面板，其坐标为

Tx=1/3（N1x+N2x+N3x）

Ty=1/3（N1y+N2y+N3y）

Tz=1/3（N1z+N2z+N3z）

式中，Ni表示第i个工作主索节点。如图6，将第l块面板的重心点Tl与对应的反射向量n4l构成的直线方程和馈源舱接收平面方程联立求解得到交点Kl，其方程为

ax+by+cz－（F－R）=0x－Tlxn4lx=y－Tlyn4ly=z－Tlzn4lz

n4l=（n4lx，n4ly，n4lz）

因为馈源舱是以点P为圆心、直径为1 m的圆盘，所以当点Kl与馈源舱点P的距离小于0.5 m时，可认为该面板反射的光线能被馈源舱全部接收。

最终计算能把光线反射到馈源舱并被其接收的面板数量Nre，接着将Nre与300 m口径工作抛物面下的面板数量Njob的比值定义为工作抛物面的馈源舱接收比，记为

γPR=NreNjob×100%（12）

类似地，将抛物面方程替换为球方程，可得到300 m口径基准球面反射面板的馈源舱接收比，记为γSR。

2.5  工作抛物面调节的优化模型建立及求解

模型优化的主要目的是对于任意给出的天体位置α，β，确定参数θ1，θ2，使工作抛物面反射接收比γPR尽可能大。需要考虑的约束条件为：（C1）顶点D′在点D的上下径向移动范围为θ2∈（－0.6，0.6）；（C2）主索节点由基准球面变化到工作抛物面时，径向变化距离不超过0.6 m，即δ1i≤0.6 m，i∈Ι，并记δ1am=maxi∈Ιδ1i；（C3）为了使300 m口径工作抛物面与基准球面的边界能平稳过渡，令边界主索节点的径向变化距离的绝对值不超过0.1 m，即δ1i≤0.1 m，i∈Ιe；（C4）相邻主索节点之间的距离变化幅度不超过0.17%，因此令矩阵Δ2中元素的绝对值δ2ij小于等于0.17%，并记δ2am=maxi，j∈Ιδ2ij。综上，结合式（1）—（12）及约束条件（C1）—（C4）建立工作抛物面优化模型为

（θ1，θ2）=argmax（θ1，θ2）γPR（α，β，θ1，θ2）

s.t.a=cos β cos α，b=cos β sin α，c=sin β

n0=（a，b，c），R=300.4，F=0.466R

（P′x，P′y，P′z）=（θ1+F－R）n0

（Ax，Ay，Az）=（x，y，z）

Ω：ax+by+cz+R+θ1+F－2θ2=0

G：d2（A，P′）－d2（A，Ω）=0

（Bx，By，Bz）=－R2－1502n0

x=Bx+150（u1xcos +u2xsin ）

y=By+150（u1ycos +u2ysin ）

z=Bz+150（u1zcos +u2zsin ）

argmin（h1，…，h6）∑nk=1（H（xk，yk））2

h22－4h1h3<0

H（xMi，yMi）≤0，i∈Ι

－1≤H（xMi，yMi）≤0，i∈Ιe

θ2∈（－0.6，0.6）；δ1i≤0.6，i∈Ι

δ1i≤0.1，i∈Ιe

δ2ij≤0.17%，i，j∈Ι

ΙeΙΙ，Ι={1，2，…2 226}

式中，Ι表示所有節点的索引；Ι表示工作主索节点索引；Ιe表示边界主索节点索引。针对上述工作抛物面优化模型，本文利用模拟退火算法［21］对其进行求解。

3  模型实例分析

3.1  天体位置α=36.795°，β=78.169°

选取天体位置α=36.795°，β=78.169°，利用模拟退火算法迭代200次，得到当θ1=－1.087 9 m，θ2=－0.340 8 m时，工作抛物面的反射接收比达到最优，此时焦径比f′=（F－θ2+θ1）/R=0.463 5。将上述解代入式（6）得到工作理想抛物面方程为

0.973 0x2－0.040 3xy－0.321 4xz－91.441 9x+0.984 9y2－0.240 4yz－69.394 8y+0.042 0z2－545.125 5z－16 7499.753 9=0

其方程的抛物面图形如图7所示。

由式（3）得到此天体位置下工作理想抛物面的顶点D′的坐标为

（D′x，D′y，D′z）=（－49.376 0，－36.931 2，－294.352 0）

节点径向伸缩变化距离绝对值的最大值δ1am=maxi∈Ιδ1i=0.484 4<0.6 m；邻接主索节点距离变化幅度矩阵绝对值的最大值δ2am=maxi，j∈Ιδ2ij=0.161 2%<0.17%。通过比较，二者分别符合约束条件（C2）、（C4）。计算结果还给出了工作主索节点间的连接主索共1 986根，其中距离变化幅度的绝对值小于0.07%的有618根，占31.12%，在0.07%到0.17%之间的有1 368根，占68.88%。

需要调节的部分主索节点编号、原始坐标、调节后的坐标和径向伸缩长度的方案如表3所示。共有692个工作主索节点需要调节，如主索节点A0需径向向上移动0.086 m。利用该数据点绘制出图像如图8所示，其中红色圆点表示基准球面所有主索节点，绿色星点表示300 m口径下工作主索节点变化后的点。从图中可观察出靠近顶点部分的点主要向上延伸，靠近边界部分的点主要向下延伸。

通过求解得到300 m口径下的工作反射面板数量为1 295块、基准球面的有效反射面板为65块，因此，根据式（12）计算得到基准球面的馈源舱接收比为5.02%。工作理想抛物面的有效反射面板为231块，则馈源舱接收比为17.84%。通过对比，可知调节后的馈源舱接收比明显增大。

3.2  天体位置α=0°，β=90°

选取天体位置α=0°，β=90°，利用模拟退火算法迭代200次，得到当θ1=－1.124 1 m，θ2=－0.342 9 m时，工作抛物面达到最优，对应的馈源舱接收比为27.55%。此时焦径比f ′=（F－θ2+θ1）/R=0.463 4、顶点变化距离h′=0.342 9 m，与文献［8］中最优参数（f，h）=（0.463 0，0.304 0）结果相近。将上述结果代入式（6）得到工作理想抛物面方程为

x2+y2－556.820 8z－167 459.902 2=0

取x∈［0，150］，步长为1 m，在XOZ平面上分别计算基准球面到添加约束和未添加约束的两个工作抛物面之间的连续点的径向距离。如图9，橙色圆点表示未添加约束的径向距离变化情况，其最大值为0.695 3 m，在x=107 m处取得，不能满足约束条件（C2）。文献［11］中提到未添加约束的径向距离变化最大为0.674 1 m，在x=106.223 4 m处取得，与本文模型计算结果相近。蓝色星点表示添加约束后的径向距离变化情况，其绝对值最大为0.487 0 m，在调节约束范围（－0.6，0.6）内。此时边缘点的径向变化距离的绝对值为0.057 7<0.1 m，满足平滑过渡约束条件（C3）。

4  结语

本文针对FAST主动反射面调节问题，利用旋转抛物面在三维空间中的定义对其建立了一般化的300 m口径工作抛物面方程，并给出了馈源舱接收比的计算方法，同时结合约束条件建立了调节优化模型。本文选取两组天体角度，利用模拟退火算法求解优化模型得到结论如下：

1）当天体位置α=36.795°，β=78.169°时，基准球面的馈源舱接收比为5.02%，工作理想抛物面的馈源舱接收比为17.84%。通过对比发现反射接收比增大12.82%，表明模型效果较好。同时，文中还给出了此天体角度下部分工作主索节点的径向调节方案。模型具有能对任意天体角度进行求解的优点。

2）当天体位置α=0°，β=90°时，在XOZ平面上分别计算了基准球面到添加约束和未添加约束的两个工作抛物面之间的连续点的径向距离。结果为未添加约束的径向变化距离最大为0.695 3 m，添加约束后径向距离最大为0.487 0 m，并且边缘节点的径向变化距离最大为0.057 7 m。加入约束条件后，主索节点的最大径向位移变小，从而使FAST整体变形更加快速稳定。

本文在计算接收比时，利用的是反射面板的数量之比。但某些面板并不能处处反射光线，因此，可将接收比的计算转化为实际反射光线的面板面积与300 m口径曲面面积之比，从而得到更精确的馈源艙接收比。

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（责任编辑：于慧梅）

Data Driven Optimization Model for the Adjustment of FAST Reflector

LV Long， CHEN Hao， WU Jianxin， LIU Yalan， DENG Yilan， FAN Xiaolin*

（School of Mathematical Sciences， Guizhou Normal University， Guizhou 550025， China）

Abstract：

At any celestial angle， For the adjustment of the active reflector of the Five-hundred-meter Aperture Spherical radio Telescope （FAST）， a working paraboloid equation for arbitrary celestial angles is established using a rotating paraboloid equation. This is different from the previous coordinate rotation method. The center of gravity of the reflector used as the receiving point， the receiving ratio is defined as the ratio of the amount of light received by the feed chamber to the total amount of light under the 300-meter aperture working paraboloid. Subject to the constraints of radial change of main cable nodes， a smooth transition of borders and variation amplitude of adjacency distance， a working paraboloid optimization model is formulated with maximization of receiving ratio of the feed cabin as the objective function， and the working ideal paraboloid is obtained by simulated annealing algorithm according to the main cable nodes data. The numerical results show that the receiving ratio increases by 12.82% after adjustment， and the procedure of adjusting radial change of main cable nodes is provided. This work provides a new modeling method for FAST deformation at any celestial Angle， and presents a new calculation method for receiving ratio of feed cabin.

Key words：

FAST reflector; paraboloid of revolution; receiving ratio of the feed cabin; optimization model; simulated annealing algorithm