初中几何命题整体性教学活动特征分析
——以四节全国优质课为例

斯海霞，吕 坤

（杭州师范大学经亨颐教育学院）

数学教学活动是指学生在教师指导下，利用观察、猜测、实验、计算、推理等方法经历数学问题解决的过程，全面参与并学习数学化过程的活动.它是数学核心素养形成和发展的主要路径.《义务教育数学课程标准（2022 年版）》（以下简称《标准》）不仅强调让学生亲历数学知识发现、形成及应用的活动过程，亦要求教师整体把握教学内容，引导学生从数学概念、原理及法则的联系出发，建立有意义的知识结构，从而实现核心素养培育目标.

有研究表明，在数学几何命题整体性教学中设计并实施“整体—部分—整体”的数学活动路径，有助于学生从单元到课时整体上把握数学知识结构.深刻理解命题研究，是数学推理能力培养在课堂教学中落地的重要教学路径.命题教学是发展学生推理能力、形成数学理性思维的重要课型.为更好地揭示优秀教师如何组织学生参与几何命题整体性学习，本文以四节全国优质课为对象进行教学活动特征分析，以期为一线教师开展基于素养培育的命题教学提供参考.

一、研究设计

1.研究对象

在由中国教育学会中学数学教学专业委员会主办的第十二届初中青年数学教师课例展示活动中，被评为优质课的四节几何命题课（如表1）以“整体—部分—整体”的教学结构开展课时教学，符合素养驱动下数学命题整体性教学结构特征.四节课的教学活动设计与实施经过多次打磨，受到活动评审专家的一致好评，基本代表了当前一线教师对初中数学命题教学的价值追求.本研究选取这四节课作为分析对象，以期揭示其教学活动特征.其中，“多边形的内角和”与“平行四边形的性质”两节课中涉及了部分概念教学，但由于概念并非课中的教学重点和难点，因此仍将这两节课作为命题课进行分析.

表1 研究对象基本信息

2.分析框架

有研究认为，教学中有效的数学活动应具备整体结构性、数学建构性、思维层次性、交流协商性.故本研究从数学教学活动阶段、活动类型、活动水平、活动呈现、活动组织、活动衔接六个维度出发建构分析框架.其中，活动阶段、活动类型、活动水平三个维度分别揭示数学活动的整体结构性、数学建构性及思维层次性特征.活动呈现、活动组织、活动衔接三个维度主要分析数学活动的交流协商性.

为便于后续对数据进行标准化处理研究，将各指标分析要素皆按各自难易程度或复杂程度从低到高进行排序，如表2所示.

其中，数学“活动类型”借鉴已有研究从数学能力特征出发分为归纳概括、说明论证、推测解释、简单问题解决、知识联结.依据教师对学生理解活动的要求，“活动呈现”分为自主理解（教师不做讲解，让学生自己理解活动内容）、简单说明（教师对活动内容有简单的说明）、具体明确（教师对活动的步骤、目标有详细的讲解）.由于在分析互动模式时，已发现的课堂互动模式以“教师提问—学生应答”为主，该模式中教师的提问指向决定了对话的内容特征.因此，本研究通过教师提问、话回结构对“教师提问—学生应答”互动特征进行深入分析.话回结构规定了师生互动言语如何按照一定的规则进行有序衔接，借鉴已有研究对话回结构的分类，将这四节课中师生的话回结构主要分为引发—回应结构（initiation—response，以下统称“IR”），引发—回应—评价结构（initiation—response—evaluate，以下统称“IRE”），回音结构（initiation—response—revoicing—evaluate，以下统称“IRRvE”），架构—发展—评价结构（frame issue—develop interpretations—evaluate interpretation，以下统称“FDE”）四类.

3.编码及数据分析

这四节课均由若干个教学活动构成，每个教学活动又包含若干个子任务，故以每个子任务为基本编码单位.对“教师提问—学生应答”进行深入解析时，则以围绕一个问题解决所展开的完整对话结构为基本编码单位.研究根据如表2 所示的分析框架进行编码，如符合要素特征则编码为“1”；若出现同一维度有多个指标编码，则所有符合要素特征的编码皆为“1”.对数据进行编码后，将各指标按先后顺序或难易程度从低到高进行标准化处理，即统一按1～10分赋值.同时，课堂中不同活动阶段、活动类型、活动水平、活动呈现、活动组织及衔接所占时间客观体现了其重要程度，因此将各编码单位赋值乘所对应的时间得到最终分析所用样本数据.最后利用SPSS 和AMOS软件分别对数据进行一致性分析和路径分析.

为了保证编码的有效性，上述编码皆由三位数学学科教学专业研究生分别编码，并通过三角论证（即三位研究生将独立编好的编码进行对比）对不一致的编码进行讨论，确定最终编码.

二、研究结果与分析

1.设计的数学活动皆体现了整体结构性与建构性，借助几何直观探究数学命题

研究显示，利用SPSS软件计算得到的四节课各阶段的活动类型显著一致.如表3，研究中四节命题课教学整体上经历了“整体分析—局部深入—整体联结”三个阶段，其中首尾两个阶段皆使用了“迁移创新”类活动进行知识整体联结，局部深入阶段则经由“学习理解”与“应用实践”活动引导学生进行命题探究.但研究显示，四位教师在初始的整体分析阶段确定知识网络范围时存在差异，如教师A，B，C在此阶段仅提出一个与新知相近的联结点，教师D 则带领学生先后回顾了“平行线的判断”等四个与新课内容关联的知识点，所呈现的知识结构层级跨度较大.

表3 几何命题教学各阶段数学活动设计特征

在局部深入阶段，四位教师设计的数学活动注重引导学生亲历获得命题、证明命题及运用命题的全过程，其活动设计体现了数学的建构性.例如，“勾股定理”一课着重引导学生探究得到“赵爽弦图”，而非直接呈现教材中的示意图，并在此基础上组织学生通过小组合作“拼接、重组、计算面积”的方式探索勾股定理证明方法的多样性.另外，“勾股定理”一课中，教师C 在应用命题环节只有直接应用，在最后的整体联结阶段，教师C 设计了“本节课学习了哪些内容？”“本节课的研究思路是什么？”等问题进行知识回顾，未要求学生与已有的知识结构进行联结.

从各教学环节时间分配来看，局部深入命题学习是教学的主体阶段.为揭示上述各阶段活动具体的教学特征，下文从活动呈现、活动组织、活动衔接、活动水平进行分析.

2.多种学、教衔接方式有序结合，引导学生“做数学”

研究显示，各数学活动之间的衔接以直截了当为主，其中问题导引式（约占20.4%）和引发需要式（约占6.6%）多出现于证明命题环节，用以引导学生体会对猜想进行证明的必要性，从而过渡到证明命题环节.而学法指导式衔接（约占20.4%）多出现于应用命题环节，教师利用此衔接对知识点进行回顾，帮助学生更好地解决问题.四节命题课首尾两个整体阶段的数学活动呈现与组织方式特征相似，即教师呈现数学活动，并采用收集信息式提问与学生进行IRE 式交流，引导学生对知识进行复习回顾或联结.例如，在“勾股定理”一课的整体分析阶段，教师C通过引导学生对三角形的研究路径进行回顾，提出从边的角度研究直角三角形的思路.

局部深入命题探究是四节课的教学重点.研究利用SPSS 软件计算得到四节课局部深入阶段设计的学、教方式显著一致.教师引导下的全班交流是四节课各环节的主要学、教方式，且“教师提问—学生应答”是全班交流过程中最主要的互动模式，在四节课中的占比分别为83.3%，80.0%，85.7%，83.3%.因此，下文聚焦教师提问、话回结构揭示命题探究活动组织中师生问答互动的特征.

3.多样化提问连同回音式互动，指导学生数学地思考以突破难点

图1 揭示了教师在各环节提问并组织学生互动以完成教学活动的特征.

图1 各环节中的教师提问与互动过程示意图

具体地，在获得命题环节，四位教师组织学生获得命题后，通过探究思维类提问与学生进行FDE架构式对话.当学生进行充分且完整的回答后，教师继续通过问题“还有不同的做法吗？”引导其他学生分享观点.证明命题环节是教学重、难点.教师引导学生通过小组合作证明命题后，再组织全班分享交流.此时，教师会使用多种提问类型，但以用于说明论证的提问为主，以引导学生自己展示推理和证明的具体步骤.在这个环节中，学生应答时常不完整，教师会针对学生回答的情况进行提示性反馈，直至学生呈现充分且完整的答案，因此这一环节的对话结构以回音式的IRRvE 为主.例如，图2 为“平行四边形的性质”一课的对话片断，教师B 基于学生的想法，重新组织语言引导学生深入思考.

图2

在应用命题环节，教师先通过收集信息类提问呈现活动内容，接着给予学生独立或小组合作完成任务的机会，使学生跳出教师主导的对话结构，从多角度对命题进行变式应用，最后通过探究思维类提问与学生进行IRE 或IRRvE 式的交流，或论证说明类提问与学生进行FDE式的对话，使学生在教师引导的问答式交流中完整呈现自己的解题过程.

4.多重因素影响学生思维水平，以提问与话回结构最为显著

学生参与活动的思维水平通过学生对教师提问的应答得以体现.研究的四节课中，学生在各阶段呈现出的思维水平虽然存在差异，但是整体上符合课程标准对其课程内容的教学要求.整体认识阶段，除“平行线的性质”外的三节课中，学生的思维水平皆处于分析层次；局部深入阶段，在获得命题时，学生的思维水平上升至非形式化演绎水平，且在证明命题时除“勾股定理”外的三节课皆上升至形式化演绎水平，但在应用命题时在不同课题教学中的层次不同；整体深入阶段，除“平行线的性质”外的三节课中，学生的思维水平皆处于非形式化演绎水平.

为探究活动实施过程中学生思维水平的影响因素，研究先利用SPSS软件中皮尔逊相关性分析框架中各指标与“活动水平”的相关性，得到除“活动衔接”外其余七个指标均与“思维水平”存在显著相关.在文献［16］和文献［17］及上述分析的基础上，研究通过反复观看四节课的教学视频，构建影响学生思维水平的路径，再利用AMOS 软件进行验证，删去影响不显著的路径，最终得到如图3 所示的路径图.该路径模型各拟合度皆符合参考标准，其中活动类型、学习方式、教师提问及话回结构对学生的思维水平有显著的影响.

图3 数学活动（影响思维水平）路径分析模型

如图3，活动类型可以直接影响学生思维水平的变化，也可以经由学习方式间接影响学生的思维水平，且这些影响特征主要体现在局部深入研究命题阶段.实践中，学生学习方式由单一的全班交流转向多样化，由此学生的思维水平逐渐从非形式化演绎上升至形式化演绎.而首尾两个环节虽然设计了迁移创新类活动，但是由于教师通常采用收集信息式提问与学生进行IRE 式交流，学生仅需对知识进行简单的记忆，故这两个阶段中学生的思维水平较低，验证了教师提问与师生话回结构对学生参与活动的思维水平影响更大.特别是在应用命题环节，由于不同教师在该阶段对活动的呈现和教授方式不同，相应的教师提问与师生间的话回结构类型也有所不同.因此，学生参与活动的思维水平或高或低.

三、研究结论与启示

1.从数学本质出发设计整体性教学，落实核心素养培育

数学核心素养的发展源于提炼数学本质.学生对数学本质的理解包括其对数学知识的来源、发展及应用的理解.数学命题的“整体分析—局部深入—整体联结”式教学路径引导学生从学科整体结构视角把握命题及其中蕴含的思想方法，体现从数学本质出发的设计理念.研究中，四节课基本遵循了整体性教学路径，但在整体联结阶段，四位教师仅对分散的知识点进行回顾，且有的教师在整体分析阶段选择了多个蕴含相同思维方式的知识“生长点”，知识结构层级跨度较大.若从单元整体教学视角出发设计课时教学，可以将整体分析阶段的诸多知识层级联系依次分散于不同课时加以呈现，以优化大单元整体结构并提高课时教学效率.因此，建议教师遵循数学知识的发生、发展及应用过程，重视教学结束环节与起始环节的知识整体联结呼应，突出教学重点内容的数学活动探究，促进学生对数学本质的理解，进而促进其数学核心素养的连续性和阶段性发展.

2.以推理活动为路径实践知识建构教学，发展真实性学力

研究发现，四位教师不仅引导学生建构知识网络结构，更在局部深入阶段组织命题知识建构式教学，发展学生的推理能力.数学命题课时教学中的知识建构主要是指学生根据自身经验提出新命题，再由演绎推理活动证明命题，它符合知识建构教学始终考虑学生自我对知识建构的特点.研究中，四位教师都组织学生经历了数学命题建构的过程.例如，“勾股定理”一课中，教师C 先引导学生自主探究发现直角三角形三边长的关系，进而组织学生分析特殊情况下获得猜想的思路以类比方式获得命题证明思路，再组织学生多角度证明勾股定理.数学核心素养是学生在参与相应数学活动过程中逐渐形成并发展的.研究中，教师以合情推理与演绎推理活动为路径组织教学，在引导、鼓励学生亲历命题发现、证明的过程中实现学生自我对知识的建构，发展了学生真实性学力，即从学生的现有经验出发，通过自我建构、实践体验、反思提升发展推理能力.

3.发挥提问引导功能并创设主体探究机会，推进深度学习

深度学习是指学生在教师引领下，围绕有挑战性的教学任务，积极参与、获得发展的有意义的学习过程，这也是促进学生核心素养形成的学习过程.但深度学习并不能自然发生，教师提问、对话指导及反思指导是促进学生深度学习的先决条件.正如上述研究结果表明，四位教师设计的活动水平虽然整体上符合课程标准提出的教学要求，但教师提问与话回结构的不同使得部分环节中学生的几何思维深度存在差异.研究中，若师生间低水平提问引领下的IRE 式交流过多，学生无需深入思考，此时其参与活动的思维水平则较低；若师生对话具有一定开放性，允许学生自主探究解决问题，学生参与活动的思维水平常处于较高的形式化演绎水平.因此，建议教师遵循各环节的教学目标，立足学生的主体性学习，充分发挥课堂提问的不同教学功能，并结合对话指导与反思指导，引导学生在探究性、对话性及协同性的学习过程中实现对数学知识本质与思想方法的深度理解.

四、结束语

本研究从活动阶段、活动类型及活动组织呈现等方面揭示了数学命题整体性课时教学的特征，并揭示了各活动要素对学生参与活动时几何思维水平的影响.但研究仅分析了数学命题整体性教学的特征，如何从单元整体设计到课时设计呈现阶段性并有序地渗透素养导向的教学，以及其他课型是否适合从单元到课时的整体性教学设计，仍有待后续研究揭示.