融合生物与数学建模的教学实践

王涛

在中学生物课程中，生物种群数量的增长模型有两种：基于生物种群增长是否有约束因素（环境阻力），分为J型曲线增长模型与S型曲线增长模型。学生在高中阶段学习过函数（指数、对数函数）、导数与积分等相关知识之后，就可以对这两种模型作定量的研究。通过本节学习，让学生经历数学建模的过程，学会用数学思维分析世界，发展数学建模和数据分析素养。

课前导入任务。生物学中有的生命活动规律具有必然确定的特征，不受外界环境的干扰；而有的则易受外界环境的影响，但也具有规律性的特点。为了研究这个问题，我们进行酵母种群的培养实验。把学生分为两组，让学生利用课余时间进行培养实验，一组进行扩瓶实验研究（即将一个培养瓶内的酵母菌定时接种到多个培养瓶内进行培养，培养空间和营养物质始终充足），另一组开展原瓶实验研究（即酵母菌始终在一个培养瓶内进行培养，中间不更换培养液，随着酵母菌的增长，培养空间和营养物质有限）。两个小组分别按照数学建模的基本过程开展研究，完成两个问题：两种实验下菌群增长模型分别是什么？为什么两种实验条件得到的数学模型会有差异？哪个模型与真实世界中的种群增长规律更吻合？

环节一：建立扩瓶实验的数学模型

任务一是依据扩瓶实验所得数据进行数学建模。模拟的是为酵母菌的繁殖提供理想的条件，即有足够的生存和繁殖资源与空间，学生通过实验过程获得数据，并进行整理。将数据描点得到散点图，可以看出曲线的大致增长趋势。再提出问題：绘制的曲线形状与英文字母J相似，故这类增长称为J型增长。那么J型增长用数学语言如何表示呢？

设计意图：引导学生自己动脑动手，体验模型构建的过程。通过该模型建构，让学生领悟数学建模的一般过程。

任务二是利用理论推演法建立J型增长的数学模型。理论推演法需要首先建立假设：在有足够的生存和繁殖资源与空间，在温度、资源充足的情况下，种群可以自由生长。增长率为常数，记为λ，酵母菌初始数量N0=2450，根据假设，任意给定时间Δt，由种群的增长率的概念得：=λ，所以=λN（t），=λN（t），由导数的定义可以知道N'（t）=λN（t），所以N（t）=eλt+c，又因为当t=0时，N0=eC=2450，所以Nt=2450·eλt。

设计意图：引导学生将曲线图转化为数学表达式，使学生对种群增长的数学模型即曲线图和数学公式的各自优势有所了解。

环节二：建立原瓶实验的数学模型

任务一是依据原瓶实验所得数据进行数学建模。原瓶实验的数学模型的建立过程与扩瓶实验类似。根据酵母菌种群培养实验原瓶培养的数据，列出酵母种群密度表。将数据描点得出散点图，可以看出曲线的大致增长趋势，散点图显示的规律不同于扩瓶实验的Ｊ型增长，而是Ｓ型增长。让学生用自己的语言描述这条曲线，与J型增长曲线进行比较，分析造成曲线变平缓的原因，并试说明K值代表的意义，指出在哪一时间该种群的增长速率最快。

设计意图：引导学生得出S型增长的特点、K值的意义以及的意义。

任务二是依据理论推演法建立S型增长的数学模型。理论推演法需要首先建立假设：设环境容纳总量为K，当繁殖时间为t时，菌群数为N（t），此时空间环境的剩余空间为1-。为了建立S型增长曲线的数学模型，首先提出假设：增长率λ（t）与种群剩余空间成正比，比例系数为λ，λ为资源充足情况下种群的增长率。所以，λ（t）=λ（1-）。

根据假设，任意给定时间△t，由种群增长率概念得=λ（1-），所以=λ（1-）N（t），=λ（1-）N（t），由导数的定义可以知道N'（t）=λ（1-）N（t）（*），该式可以看作N'（t）关于N（t）的二次函数，因为λ>0，所以当N（t）=时，增长速率的最大值为。那么满足（*）的函数N（t）的表达式到底是什么呢？利用积分的知识可以求得N（t）=，当t=0时，得C0=ln。

利用数学软件，画出N（t）=的图像，可以看出其形状与S的形状相似。

设计意图：相比而言，S型与J型数学模型探究的思路完全一样，在教学中可以引导学生利用类比的思想去探究。但由于涉及导数与积分的相关知识，对学生的基本功要求比较高，需要教师在运算上作适当引导，确保探究顺利进行。

齐龙新老师点评

本节课从生物实验出发，在教师引领下进行酵母菌种群数培养相关实验， 并记录实验数据，然后应用数据进行作图，进而对图进行理性分析。通过“提出问题-作出假设-建立模型-模型的检验与修正”的过程，让学生体验建构数学模型的过程，发展科学思维与科学探究的能力。用数学建模的思想研究生物学问题，体现了对学生“模型与建模”的科学思维的培养与提升，是一次很好的学科融合的教学实践。