基于范希尔几何思维水平的初中数学探究型实验教学

尤文奕

摘   要： 范希尔几何思维水平理论是几何教学的一个基本理论框架，在学生几何思维水平评估以及课堂教学设计等方面都有着广泛的应用。数学实验能使学生亲身参与、创造性地体验几何知识和方法之发生、发展的过程，是提升学生几何认知与非认知的重要方式。数学实验教学在实验要素、实验原则、实验路径等方面可依据范希尔理论开展设计并实施。在实践过程中，还可以在学生几何思维水平测试的科学性、教学环节与思维水平的匹配性上开展进一步研究。

关键词： 范希尔理论；几何思维水平；数学实验；探究型几何实验

几何是初中学生认识并了解数学公理体系的重要载体，在促进学生理性思维、科学精神的发展中有着不可替代的作用，有助于促进学生认识、理解，以及表达现实世界的本质、关系和规律。《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出的初中阶段学生核心素养中的几何直观、空间观念、推理能力，都是几何教学目标的直接体现。范希尔几何思维水平理论（以下简称范希尔理论）作为长期以来几何教学中具有重要影响力的理论，对几何教学有着指导性作用。下文将论述在范希尔理论指导下开展几何实验教学何以优化几何教学。

一、范希尔理论是几何教学的基本理论框架

20世纪50年代，范希尔夫妇（Pierre Van Hiele & Dina Van Hiele）作为荷兰一所中学的数学教师，在研究皮亚杰的认知理论基础上，提出了几何学习中思维水平的五个层次以及与之有关的一系列理论，搭建几何教学的一个基本理论框架。其核心理论有两个，分别是几何思维水平和相应的几何教学阶段（见表1）。

范希尔理论具有双重的意义：它们既可以作为诊断学生几何思维水平的评估指标，也可用于设计每个水平上的教学目标与任务。因此，范希尔理论在几何教学中的应用是多方面的，其中包括课程编制、能力评估与教学设计等。

范希尔理论的提出，受到了各国数学教育者的关注，并成为当时几何教学研究的一个热点。如今，范希尔模型已经被运用于许多国家的数学课程的编制，其中包括荷兰、德国、俄罗斯与美国。范希尔理论还被作为不同教材比较研究的理论框架。范希尔理论在编制几何课程上的作用，已经得到了各国学术界的普遍认可。

范希尔理论具有次序性、进阶性等特点，即学生几何思维水平的发展逐层递进，学生在没通过第n-1层次之前，无法到达第n层次；学生几何思维水平的提升只能经由教师教学，并不会随年龄成长或心理成熟而自然提升。没有一种教学方法能让学生跳过某一个水平而进入下一个水平，即由上一个水平进入下一个水平并非一蹴而就。1

二、初中几何实验教学的价值追求

初中几何实验教学是指为了研究初中阶段某个几何对象（几何问题），指导学生借助实验工具（传统文具、信息技术、自制教具等）进行画图操作、测量观察、猜想归纳等数学活动的教学方式。几何实验教学以动手操作、直观感受为表现形式，以动脑思考、主动建构为内在驱动，旨在调动学生多个感官参与并理解几何对象。与初中物理化学实验不同的是，对于学生来说，几何实验的结果是未知或部分未知的，更多的是采取几何实验的手段进行数学领域的探究和发现，验证结论的正确性。几何实验教学的基本思想是以实验促发现，因实验获理解，由实验生感悟，在實验中想象，在想象中论证。

在《义务教育数学课程标准（2022年版）》实施背景下，初中几何实验教学能够提升学生的几何直观、空间观念、推理能力等核心素养，促进学生对几何知识与方法的理解。初中几何实验教学对于学生成长的价值显现在以下几个方面：

1.促进核心素养的有效提升

教育部制定的《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“课程理念”中指出，教学活动应注重启发式，激发学生学习兴趣，引发学生积极思考，鼓励学生质疑问难，引导学生在真实情境中发现问题和提出问题，利用观察、猜测、实验、计算、推理、验证、数据分析、直观想象等方法分析问题和解决问题。在“课程内容”中指出，“图形的性质”强调通过实验探究、直观发现、推理论证来研究图形，在用几何直观理解几何基本事实的基础上，推导图形的几何性质和定理。在“课程实施”中指出，教师可以利用数学专用软件等教学工具开展数学实验，将抽象的数学知识直观化，促进学生对数学概念的理解和数学知识的建构。1

2.增强对几何知识与方法的理解

追根溯源，现在初中数学中的几何知识总体源于两千多年前《几何原本》，这些几何知识中大多就是由观察和测量开始。从众多的事例中我们不难发现其基本运作逻辑，即通过归纳去猜想或假设，运用逻辑推理的手段去证明并确定为定理，然后再将定理应用于实践中。由此可见，几何实验是研究几何知识与方法的重要手段之一。

3.激发学习兴趣，促进主动学习

数学实验能极大地激发学生的兴趣，引发学生的好奇心，调动学生的学习热情，使学生以一种积极的态度投入实验、探究活动之中。2 在几何实验教学中，学生在学习的体验中激发自身的学习动机，进一步促进了学习，逐渐形成主动学习。

4.形成正确的学习观

在实验教学中，学生认识到数学并非只是一个定理或公式，更多的是生动鲜明的经历。在一次次探索的经历与过程中，学生不断反思、调整，最终完成学习任务。这种研究科学的方法、学习经验的获得，对培养学生良好的学习习惯，以及树立正确的学习观念有着十分重要的作用。

三、初中几何实验的类型

由于实验目的、实验材料、实验方式等差异，初中几何实验分类的方式也各有不同。根据实验结论的未知程度，可将几何实验分为探究型、感知型两种类型。

1.探究型实验

探究型实验是指在实验结论未知的前提下，学生根据实验主题，通过实验操作，经历观察猜想，进而获得发现的几何实验。在开展探究型实验之前，学生并不知道所研究的对象存在怎样的性质，也不清楚实验操作后会有怎样的实验结果，学生完全基于实验主题，在实验手册的指导下开展实验，充分经历知识发生发展的过程。

探究型实验的特点是：从实验教学目标来看，旨在学生通过实验操作，经历主动发现的过程；从学生行为来看，学生自主性较强，实验方案的设计给学生以充分的理性思辨以及探究的空间，从而达成使学生自主经历学科研究与学习的目的；从研究对象来看，由于实验结论的不明确，因此需要学生理性分析实验数据，思考观察猜想的合理性，这就为学生理解知识掌握方法提供了经验。

2.感知型实验

感知型实验是指实验结论已知或已明确范围，学生根据实验主题，通过实验操作，验证已知结论或发现给定范围的结论的几何实验。与探究型实验不同的是，在开展感知型实验之前，学生已经知道实验应有的结果或大概知道实验结果的范围。学生进行感知型实验，并不是为了探究未知，而是在已知范围内经历结论的发生过程，感知实验过程中实验对象表现出的变与不变，进而获得对研究对象本质的认识。

感知型实验的特点是：从实验教学目标来看，希望学生通过实验操作，理解实验对象的本质；从学生行为来看，由于已经掌握研究对象的研究属性，因此学生实验的方案总体明确，学生自主性要低于探究型实验；从研究对象来看，由于实验结论基本明确，因此需要学生感受实验操作过程中的变化，并获得对研究对象本质的感悟。

四、基于范希尔理论的探究型几何实验教学

数学实验以其独特的学科价值和育人价值，在几何教学中有着重要的地位和作用。在开展数学实验的过程中，需要科学理论的引领。因此，在以几何对象为主的数学实验的设计与开展中，需要通过范希尔理论构建数学实验的体系。由于感知型实验在数学实验中所占比例较小，因此，本文主要研究探究型实验在范希尔理论指导下的设计与实施。

1.探究型实验要素确定

探究型实验要素的确定，除了要具有实验因素以外，还需要从几何思维水平的角度考察实验的价值。因此，探究型实验的要素可以确定为以下三项：

（1）基于视觉水平，知识的发生具有观测性。知识的生成过程具有观测性，是指知识的发生本身源于实验，测量、观察是研究该类知识的合理选择。知识发生的观测性反映的是范希尔几何思维水平的视觉水平，通过探究型实验，学生能更顺利地获得基本概念，有利于思维水平的提升。

（2）基于分析水平，知识的生成具有操作性。有些知识的生成具有一定的操作性，通过实验操作展现知识生成的动态过程，更容易使学生产生对知识的本质认识，从而产生几何概念间的相互关系及联系，更有利于分析水平的提升。

（3）基于非形式化演绎水平，问题的呈现具有动态性。有些几何问题在其解决过程中就蕴含了实验性，通过实践操作会使问题的本质变得更为直观，更有利于学生做出非形式化的演绎推理。

这三个要素对应范希尔几何思维水平中相对较低的前三个水平。在这样的前提下，开展几何实验才能使学生充分经历学科研究与学习的过程，并在探索的过程中充分地获得经验，形成自己的理性思辨能力，使自己的几何思维水平进一步提高到形式化演绎水平，甚至是严密性水平。

2.探究型实验教学的基本原则

（1）水平评估原则。不同的思维水平应当对应不同的教学阶段。在开展几何实验教学之前，教师应当对学生的几何思维水平进行评估，再设计适切学情的实验活动，使学生从实验操作中提高興趣并获得新的认知和感悟。具体而言，就是教师需要预判学生学习难点，由于知识的发生发展源于实验操作，这时几何实验的适当介入将恰到好处。否则仅仅为实验而实验，忽略学生本身思维能力，反而失去了实验的本来价值。

（2）自主探究原则。在设计实验时，应当留给学生充分的探究空间，从而使学生自主经历学科研究与学习的过程，并在此基础上形成自己的思辨结论。在几何实验教学中，如果忽略了这条原则，或者教师设计实验操作的步骤指向过于明显，从思维上来说，学生仍然是被动地接受，这样的几何实验教学就形同虚设，学生的思维水平无法得到提高。

（3）创造性原则。在自由定向、整合这两个教学阶段中，学生获得的无论是新的实验结果，还是新旧知识联系的自我建构，都是创造力的体现。探究型几何实验就是一种再创造，因此，实验的设计要有利于学生创造力的发生。学生在进行实验操作时需要发挥自己与小组的智慧，充分参与，设计并实施方案，如此才能创造性地解决问题或获得创造性的发现。

3.探究型实验教学的路径

范希尔的几何思维水平的发展具有顺序性和进阶性，五个水平既不能被跳跃，也不能被调整次序，学生必须达到前一水平才能进入后一水平。1 因此，探究型实验的设计与开展，也应当遵循五个水平以及相应的五个教学阶段的逐层递进。

探究型实验教学能充分发挥学生的主体作用，更有利于培养学生的创新精神和发现问题的能力，是一种新型的数学教学模式。探究型几何实验的基本思想是以实验促发现，因实验获理解，由实验生感悟，在实验中想象，在想象中论证。在实验路径上，根据范希尔的几何思维水平划分，可将探究型几何实验教学分为初步体会、实验探究、交流讨论、推理论证、体会感悟五个环节（见图1）。

（1）初步体会。几何实验教学的目的是为了使学生获得发现、获得感悟，因此，几何实验不是简单地提炼规律。这不是几何实验的全部，甚至不是实验的核心。在正式实验之前，让学生先动手画图，简单操作，初步体会研究对象的大致情况，获得初步感受。这一环节主要对应的是几何思维水平的视觉水平，也包含少量分析水平，目的是使学生从感官上建立基本认识，达成几何思维水平进阶的第一步。

（2）实验探究。这是几何实验教学的主体部分，在这一环节，学生开展实验操作，借助实验工具（传统文具、信息技术、自制教具等）进行画图操作、测量观察、猜想归纳等数学活动，发现研究对象的本质和关键。几何实验教学以动手操作、直观感受为表现形式，以动脑思考、主动建构为内在驱动，调动学生多感官参与并理解几何对象（问题）。这一环节主要体现的是几何思维的分析水平与非形式化演绎水平。实验探究活动使学生认识到研究方向，并通过实验操作建立整体认识，根据图形或辅助材料进行推理和理解。

（3）交流討论。几何实验教学的目的是通过几何实验，让学生掌握科学研究的方法，获得对研究对象本质的认识。在生生交流中，学生分享自己对实验操作的方法、经验、成果、体会，思维的火花互相碰撞，实验的价值得到升华；在师生交流中，学生反思自己的得失，提升自己的认识。这是几何实验教学必不可少的环节，也是培养合作精神、进行数学交流的重要环节。这一环节是几何思维非形式化演绎水平的体现。学生能够对自己的实验过程与结果在思维层面进行梳理，更为清晰地呈现本质，为后面的形式化演绎奠定基础。

（4）推理论证。初中平面几何是数学严谨逻辑体系的经典。任何几何实验的结论都应当通过推理论证来予以证明，因此，推理论证是几何实验教学必不可少的环节。在充分进行实验探究、合作交流的过程中，学生已经建立了直觉猜想，并获得了对问题的全面认识，能够抓住问题的关键。这时推理论证水到渠成。因此，推理论证环节的开展，既是几何逻辑体系的需要，又是几何实验成功与否的重要表现。这一环节是形式化演绎水平的充分体现。

（5）体会感悟。几何实验教学与传统教学的显著区别在于，学生作为实验者是研究、学习的主体，其参与程度要远高于传统教学。这一环节在一定程度上体现了几何思维水平的严密性水平。在学生完成推理论证后，回顾实验过程和结果以及推理论证的过程，并形成感悟和观点，对象和关系被统一内化为一个新的思维领域，学生能建构起属于自己的知识和数学认知体系。

五、实践反思

1．促进学生思维水平的提升

由于几何实验教学能够使学生通过动手操作、动眼观察、动脑思考，亲身投入知识的发生、发展、形成和应用的过程中，因此，学生更容易随着教学环节的递进突破当前思维水平，而且这些思维水平的进阶是自然发生的。

2．学生几何思维水平测试的科学性有待探索

学生在进行几何学习时，思维水平从层次0逐级提升。面对不同的测试问题，学生所表现出的思维水平会有很大差异。如何设计客观准确的测试题，国内外都进行了很多尝试。但由于学情各异、内容不同、标准多元，因此，目前还没有十分科学准确且普遍认可的测试体系。

3．教学环节与思维水平的匹配程度需要提升

几何实验有着自己独特的教学环节，尽管与范希尔理论匹配度较高，但还存在着一定的不匹配的情况。比如，在初步体会环节，既有一部分视觉水平，也有一部分分析水平；在实验探究部分，则是分析水平与非形式化演绎水平兼而有之。如何将实验环节与思维水平有着更高的匹配度，从而使教学分析能更为准确，值得进一步研究。

几何实验的具体可操作性，让抽象的几何变得生动、具体。不仅打破学生的畏难情绪，也让学生在做中学、学中思。几何实验给予不同能力水平的学生以充分的参与感。在教学中设计实验活动，使学生亲身经历探索实践、抽象概括、联系知识，改善自身的学习方式，也使学生在实验中生成几何思维，在演绎中升华。

Inquiry-based Experimental Teaching of Junior High School Mathematics

Based on Van Hiele Levels of Geometric Thought

YOU Wenyi

（Shanghui Experimental School of Xuhui District，Shanghai，200231）

Abstract： Van Hiele Levels of Geometric Thought is a basic theoretical framework of geometry teaching，which has been widely applied in studentsgeometric thinking level assessment and classroom teaching design. Mathematical experiments can enable students to participate in and creatively experience the formation and development of geometric knowledge and methods，which is an important way to improve studentsgeometric cognition and non-cognition（learning interest and efficacy）. Mathematical experiment teaching can be designed and implemented according to Van Hieles theories in terms of experimental elements，experimental principles and experimental paths. In the course of practice，further research can be done from the scientific nature of tests on studentlevels of geometric thought，and the matching between phases of teaching and thinking level.

Key words： Van Hieles theories，geometric thinking level，mathematical experiment，inquiry-based geometry experiment