自适应事件触发机制下分布时滞Markov跳变网络化系统H∞故障检测

李艳辉 王涵

基金项目：河北省自然科学基金（批准号：F2023107002）资助的课题。

作者简介：李艳辉（1970-），博士生导师，教授，从事鲁棒控制及滤波、智能控制等的研究，LY_hui@hotmail.com。

引用本文：李艳辉，王涵.自适应事件触发机制下分布时滞Markov跳变网络化系统H∞故障检测［J］.化工自动化及仪表，2024，51（2）：255-261.

DOI：10.20030/j.cnki.1000-3932.202402015

摘 要 傳统事件触发机制中阈值的选择会对信号传输效率产生很大影响。针对此问题，研究了自适应事件触发机制下具有分布时滞的Markov网络化系统的故障检测问题。设计了一种模态相关的自适应事件触发机制，通过动态调整阈值，提高了网络资源利用率。考虑网络时延和数据丢包现象，同步设计触发器和故障检测滤波器。构造模态相关的Lyapunov泛数，根据积分不等式技术推导出使系统随机稳定且具有H∞性能的充分条件。利用解耦方法和LMI技术求解出了故障检测滤波器参数。最后通过数值仿真验证了方案在节省网络资源上的优势。

关键词 故障检测 自适应事件触发机制 分布时滞 Markov跳变系统

中图分类号 TP14  文献标志码 A   文章编号 1000-3932（2024）02-0255-07

Markov跳变系统（MJSs）是由多个模态组成的随机系统，许多实际系统（如航空器系统、电力系统）可以建模为MJSs，因此MJSs受到了广泛关注［1，2］。而分布时滞现象也普遍存在于系统中，如在平行输电系统中信号存在大量的并行路径，信号在不同时间段分布传输，这种情况下会产生分布时滞［3］。因此，针对分布时滞进行研究具有显著的工程意义［4］。近年来，实际系统对运行可靠性的要求不断提高，当系统中出现故障时可能会使系统运行失效，所以常采用故障检测技术来及时发现故障，从而提高运行可靠性［5］。针对传感器网络化MJSs，文献［6］在故障检测滤波器通信中采用循环协议方法，提高了网络利用率；文献［7］将传输中出现的随机时滞通过马尔科夫链建模，提出了新型有限频率故障检测方案。

网络信道带宽有限，往往选择事件触发机制过滤数据，但传统事件触发机制由于阈值固定，无法跟踪系统变化进行自调整，会浪费一定的网络资源。在离散神经网络系统框架下，文献［8］针对飞行器动力学中的应用，采用一种新的自适应事件触发方案，提出了故障检测滤波器和控制器同步设计方法。针对模糊非线性网络系统，文献［9］引入自适应事件触发机制，设计了具有异步模糊规则的故障检测滤波器。面对更加复杂的网络系统，选择固态阈值具有局限性，采用自适应事件触发机制优化触发阈值来提高网络利用率值得深入研究。针对具有分布时滞的MJSs网络化系统，笔者同步设计自适应事件触发器和故障检测滤波器。引入模态相关的自适应事件触发机制，自适应调整事件触发阈值，以提高网络资源利用率。利用伯努利分布规律描述数据丢包现象。构造模态相关的Lyapunov泛数，利用积分不等式方法，在保证故障检测系统随机稳定的基础上使故障检测系统具有H∞性能指标。运用LMI技术求出故障检测滤波器参数，并采用数值仿真来验证故障检测方案的有效性和自适应事件触发机制在提高网络利用率中的优势。

1 问题描述

考虑如下具有分布时滞的Markov跳变系统（MJSs）：

其中，状态变量x（t）∈Rn；测量输出y（t）∈Rl；属于L［0，∞）的干扰输入w（t）∈Rp；故障信号f（t）∈Rq；t为连续时间；h为常时滞；d为分布时滞常数；

？谆（t）是Z={1，2，…，Z}中取值的Markov链；

A（？谆（t））、A（？谆（t））、A（？谆（t））、B（？谆（t））、B（？谆（t））、

C（？谆（t））是具有适当维数且已知的系统状态参数矩阵。

时刻t+Δt到t的模态转移概率为：

Pr｛？谆（t+Δt）=j｜？谆（t）=i｝=πΔt+o（Δt），i≠j1+πΔt+o（Δt），i=j

+o（Δt）/Δt=0

其中，π为马尔可夫模态跳变概率，π>0；

π=-π；o（Δt）为Δt的微变化。

当？谆（t）=i∈Z时，定义系统矩阵为：

A（？谆（t））？劬A

A（？谆（t））？劬A

A（？谆（t））？劬A

B（？谆（t））？劬B

B（？谆（t））？劬B

C（？谆（t））？劬C

针对系统（1）设计故障检测滤波器：

（t）=A（？谆（t））x（t）+B（？谆（t））（t）

r（t）=C（？谆（t））x（t）+D（？谆（t））（t）   （2）

其中，xf（t）∈Rn为滤波器的状态向量；r（t）∈Rq为残差信号；（t）为滤波器实际输入；A（？谆（t））、B（？谆（t））、C（？谆（t））、D（？谆（t））是待求解的故障检测滤波器参数矩阵。

当？谆（t）=i∈Z时，定义滤波器待求矩阵为：

A（？谆（t））？劬A

B（？谆（t））？劬B

C（？谆（t））？劬C

D（？谆（t））？劬D

假设1 系统测量输出数据通过周期s采样。采样序列D=｛y（rs）｜r∈N｝（其中，N为正整数序列）。触发序列D=｛y（ts）｜k∈［0，1，2，…］｝。为提高传输效率，动态调整阈值，采用自适应事件触发方案，最新触发时刻为：

ts=ts+{ms｜e（t）We（t）>σ（t）y（ts）Wy（ts）}

e（t）=y（ts+ms）-y（ts）    （3）

其中，W為模态相关的事件触发权重矩阵；m为当前触发时刻；σ（t）为自适应触发阈值；y（ts）和y（ts+ms）分别表示最新触发数据和当前采样数据。

自适应事件触发律为：

（t）=σ-1（t）［σ-1（t）-σ］e（t）We（t）  （4）

其中，阈值初始状态σ>1。

假设2 数据包丢失将随机发生，实际到达故障检测滤波器的输入为：

（t）=δ（t）y（ts）     （5）

其中，δ（t）服从伯努利分布规律。转移概率Pr｛δ（t）=1｝=δ，Pr｛δ（t）=0｝=1-δ，δ为数据成功传输的概率。期望E｛δ（t）-δ｝=0，E｛（δ（t）-δ）2｝=δ（1-δ）。

假设3 网络时延为τ，0<τ≤τ（τ表示τ的上界）。事件触发器未释放数据时，零阶保持器保持数据，数据在触发时刻才会发生变化。将零阶保持器的时间间隔［ts+τ，ts+τ）分段为

∪Γ，Γ为［ts+qs+τ，ts+（q+1）s+τ）。其中q为零阶保持器分段时间时刻，m′为零阶保持器分段个数。

定义τ（t）？劬t-ts-qs，t∈Γ，可得：

（t）=δ（t）［Ci x（t-τ（t））-ey（t）］  （6）

定义ξ（t）=［x（t）  x（t）］，r（t）=r（t）-f（t），v（t）=［w（t） f（t）］，得到故障检测系统为：

A=A       0 0 A，A=A 0

A=A  0，A=    0BC

B=B B 0  0，B=  0-B，H=I0

C=［0 C］，C=［DC 0］

D=［0 -I］，D=D

笔者主要设计满足如下条件的故障检测滤波器，满足故障检测系统（7）随机稳定，且满足式（8）：

Λ=Er（t）re（t）dt-γEvT（t）v（t）dt<0（8）

则故障检测系统具有H性能指标γ。

其中，Λ为性能指标函数。

采取评估机制判断故障是否发生。本研究的故障评估函数为：

J（r（t））？劬

评估阈值为：

J=［J（r（t））］

当J（r（t））>J时发生故障。

引理1［10］ 对于任意正定矩阵Q>0，参数α>0，向量函数ξ（t）：［0，α］→Rn是可积的，则以下不等式成立：

［ξT（s）ds］Q［ξ（s）ds］≤ηξT（s）Qξ（s）ds

其中，η（η>0）为时间。

注1 由触发条件（3）可知，对于传统事件触发机制，阈值直接决定了网络传输率。因此，与传统事件触发方案相比，动态调整阈值参数可以提高网络利用率。

2 故障检测系统H性能分析

本节利用线性矩阵不等式（LMI）方法，在保证故障检测系统随机稳定的基础上，建立使故障检测系统（7）具有H∞性能指标的充分条件。

定理1 给定正标量d、τ、0<δ<1、σ>1，存在正常数γ和正定对称矩阵P、Q、R、R、N、N、W满足不等式（9）：

Ξ=Ξ τΞ τΞ Ξ Ξ？鄢   -N  0   0   0？鄢  ？鄢  -N   0    0？鄢  ？鄢  ？鄢   -I     0？鄢  ？鄢  ？鄢    ？鄢  -I<0  （9）

Ξ=Φ P 0 P Φ 0 P Φ？鄢  -Q  0   0    0   0   0    0？鄢   ？鄢 -R  0    0   0   0    0？鄢   ？鄢    ？鄢  Φ    0    0   0    0？鄢    ？鄢       ？鄢     ？鄢       Φ  N      0       Φ？鄢    ？鄢   ？鄢 ？鄢       ？鄢   Φ     0    0？鄢    ？鄢   ？鄢 ？鄢       ？鄢   ？鄢     Φ  0？鄢    ？鄢   ？鄢 ？鄢   ？鄢   ？鄢 ？鄢 Φ

Ξ=NH［A A 0 A δA 0 B δB］

Ξ=NH［0 0 0 0 A 0 0 B］

Ξ=［C 0 0 0 δC 0 D -δD］

Ξ=［0 0 0 0 C 0 0 -D］

Φ=PA+AP+H（Q+N-N+R+dR）H+πP

Φ=δPA+HN

Φ=δPB

Φ=-dR

Φ=-2N+HWH

Φ=-HW

Φ=-N-N

Φ=-γI

Φ=（1-σ）W

=δ（1-δ）

=［C 0］

則故障检测系统（7）随机稳定且具有H性能。

证明 选取Lyapunov函数V（t）：

V（t）=V（t）

V（t）=ξ（t）P（？谆（t））ξ（t）

V（t）=ξ（s）HQHξ（s）ds

V（t）=ξ（s）HRHξ（s）ds

V（t）= T（s）HRH（s）dsdθ

V（t）=ξ（s）HNHξ（s）ds

V（t）=τT（s）HNH（s）dsdθ

V（t）=σ（t）/2

定义弱无穷小算子为：

｛V（t）｝=｛E［V（t+Δ）｜t］-V（t）｝

对V（t）求弱无穷小算子：

根据自适应律（4）和式（3）可得：

用引理1处理积分项，可得：

综合式（10）～（12），可得：

｛V（t）｝≤η（t）η（t）

=Ξ+τ（ΞNΞ+ΞNΞ）

η（t）=［η（t） η（t） η（t）］

η（t）=［ξ（t） ξ（t-h）H ξ（t-d）H］

η（t）=［ξ（s）dsH ξ（t-τ（t））H］

η（t）=［ξ（t-τ）H v（t） e（t）］

由式（9）可知，当v（t）=0时，<0，可知系统（7）随机稳定。

引入式（8）的函数Λ：

Λ

=+ΞΞ+ΞΞ

由不等式（9）及Schur补引理可得<0，从而得到Eη（t）η（t）dt<0，进而可得：

Λ=Er（t）r（t）dt-γEv（t）v（t）dt<0

即故障检测系统具有H性能指标γ。

注2 引入自适应阈值相关的Lyapunov函数δ（t）/2，结合自适应事件触发律（4），共同设计事件触发阈值参数和故障检测滤波器参数。

3 故障检测滤波器设计

现利用变量替换解耦定理1中的耦合项，运用LMI技巧求解故障检测滤波器的参数。

定理2 给定正标量d、τ、0<δ<1、σ>1，若存在正常数γ和正定对称矩阵X、U、Q、R、R、N、N、W，使得式（13）成立：

Ψ Ψ Ψ τΨ Ψ    Ψ？鄢  -γI 0  τΨ        0？鄢  ？鄢 Ψ  0  - -？鄢   ？鄢  ？鄢  -N    0    0？鄢   ？鄢      ？鄢   ？鄢  -I    0？鄢   ？鄢  ？鄢     ？鄢  ？鄢  -I<0

Ψ=  XA 0 XA  0？鄢   UA 0 UA  0？鄢  ？鄢  -Q  0  0  0   0？鄢  ？鄢    ？鄢 -R  0  0      0？鄢  ？鄢      ？鄢   ？鄢  -dR 0     0？鄢  ？鄢      ？鄢   ？鄢       ？鄢    N？鄢  ？鄢      ？鄢   ？鄢  ？鄢   ？鄢  （13）

Ψ=［X U 0 0 0 0 0］

Ψ=［-δB -δB 0 0 0 0 0］

Ψ=N［A 0 A 0 A 0 0］

Ψ=［0 C 0 0 0 δDC 0］

Ψ=［0 0 0 0 0 DC 0］

Ψ=N，Ψ=（1-σ）W

Φ=AX+XA+Q+N-N+R+dR+πX

Φ=A+AU+πU，Φ=δBC+N

Φ=A+A+πU，Φ=δBC

Φ=-2N+CWC，Φ=-N-N

=［B B］

D=［0 -I］

=δ（1-δ）

則故障检测系统（7）随机稳定且具有H性能。

所得故障检测滤波器参数矩阵为：

A=UA，B=UB

C=C，D=D

证明 对于任意的模态i，定义：

P= X -Y-Y Z

F=I  00 YZ

F=diag｛F，I，I，I，I，I，I，I，I，I，I，I｝

利用F对不等式（9）全等变换，然后定义A=YAZY，B=YB，C=CZY，D=D，U=YZY变量替换得到式（13），根据文献［11］的求解思路，得到滤波器传递函数T=C（sI-A）B+D=C（sI-UA）UB+D，解得滤波器参数。

4 仿真实例

笔者考虑MJSs存在两种模态i=（1，2），设置π=［-0.6 0.6； 0.4 -0.4］。

模态1系统参数矩阵如下：

A=-2.5  0.1 0.7 -1.3，C=0.10.4

A=-0.3 0.1-0.8 0.1，A=  0.6 -0.8-0.2   0.4

B=0.10.1，B=0.20.3

模态2系统参数矩阵如下：

A=-2.4   0.7  0.3 -3.1，C=0.10.3

A=-0.1 0.3-0.3 0.4，A=  0.3 -0.4-0.2   0.6

B=0.30.2，B=0.10.4

设阈值初始状态σ=80，时滞参数h=0.1、d=0.2、τ=0.3，丢包参数δ=0.8，采样周期s=0.1。得到最优H性能指标γ=1.7160。

所得模态1故障检测滤波器参数矩阵为：

A=-30.5836  -5.6151-57.2032 -14.3373，B=-36.9352-80.1578

C=［-0.0382 0.0056］，D=0.0400

所得模态2的故障检测滤波器参数矩阵为：

A= 1.7277   -6.632313.0333 -20.5181，B=-13.1062-25.5848

C=0.0042 -0.0075，D=0.0228

噪声干扰信号w（t）和故障信号f（t）分别为：

w（t）=rand［0，1］，2≤t≤60     ，其他

f（t）=1，3≤t≤50，其他

为验证设计方案的优势，现针对模态相关与模态无关的自适应事件触发设计方案所得H性能指标γ进行对比，见表1，可以看出，选择模态相关的自适应事件触发方案所得γ值，得到较低的保守性结果。

表1 模态相关与模态无关方案下所得

性能指标γ值

为了验证自适应事件触发方案在节省网络资源中的优势，与传统事件触发方案对比，设置相同收敛阈值，传输率（触发次数/采样次数）对比，结果见表2，可以看出，自适应事件触发方案传输率低于传统事件触发方案，说明本方案更加节省网络资源，同时完成了故障检测。

表2 两种触发方案传输率对比

残差评估函数和模态切换规律如图1所示，可以看出，故障评估阈值J=0.0086，J（r（t））｜（t=4.3）=0.0115>J（r（t）），说明故障信号在4.3 s时被检出。自适应事件触发阈值σ（t）和滤波器的实际输入如图2所示，可以看出，σ（t）收敛到了0.495 9。由滤波器输入可知，当产生丢包时实际输入为0，触发器未释放数据时，零阶保持器保持数据。由自适应事件触发机制和传统事件触发机制的触发时刻和间隔（图3）可知，在100个采样时刻下，当σ=80时，自适应事件触发机制共有39个触发时刻，选择相应收敛阈值0.495 9的传统事件触发机制共有52个触发时刻，证明自适应事件触发机制相对传统事件触发机制更节省了网络资源。

图1 残差评估函数和模态跳变过程

图2 自适应阈值和滤波器输入

图3 触发时刻和间隔

5 结束语

针对具有分布时滞的MJSs网络化系统，设计了一种模态相关的自适应事件触发方案，得到了较低的保守性结果。故障检测滤波器实际输入同时考虑了网络延时和丢包现象，选取事件触发阈值相关的Lyapunov函数，实现事件触发和故障检测滤波器参数的共同设计。仿真结果证明，笔者方法在更节省网络资源的同时，能够及时检测出故障。所提自适应事件触发故障检测方法可为化工生产过程等领域提供理论参考。

参 考 文 献

［1］ SHI P，LI F B.A survey on Markovian jump systems：Modeling and design［J］.International Journal of Control，Automation and Systems，2015，13（1）：1-16.

［2］ SUN W Y，NING Z P.Quantised output-feedback design for networked control systems using semi-Markov model approach［J］.International Journal of Systems Science，2020，51（9）：1637-1652.

［3］ WU Z G，SHI P，SU H Y，et al.Reliable H∞ Control for Discrete-Time Fuzzy Systems with Infinite-Distributed Delay［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2011， 20（1）：22-31.

［4］ SUVEETHA V T，SAKTHIVEL R，NITHYA V.Finite-Time Fault Detection Filter Design for T-S Fuzzy Markovian Jump Systems with Distributed Delays and Incomplete Measurements［J］.Circuits，Systems，and Signal Processing，2022，41（1）：28-56.

［5］ DONG S L，WU Z G，SHI P，et al.Networked fault detection for Markov jump nonlinear systems［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2018，26（6）：3368-3378.

［6］ GONG C，ZHU G P，SHI P，et al.Distributed fault detection and control for Markov jump systems over sensor networks with round-robin protocol［J］.IEEE Transactions on Circuits and Systems I：Regular Papers，2021，68（8）：3422-3435.

［7］ ZHAI D，AN L W，LI J H，et al.Fault detection for stochastic parameter-varying Markovian jump systems with application to networked control systems［J］.Applied Mathematical Modelling，2016，40（3）：2368-2383.

［8］ WANG Y L，LIM C C，SHI P.Adaptively adjusted event-triggering mechanism on fault detection for networked control systems［J］.IEEE Transactions on Cybernetics，2016，47（8）：2299-2311.

［9］ NING Z K，YU J Y，PAN Y N，et al.Adaptive event-triggered fault detection for fuzzy stochastic systems with missing measurements［J］.IEEE Transactions on Fuzzy Systems，2017，26（4）：2201-2212.

［10］ HE S P，LIU F.On delay-dependent stability of Markov jump systems with distributed time-delays［J］.Circuits，Systems，and Signal Processing，2011，30（2） ：  323-337.

［11］ HU S L，YUE D.Event-based H∞ filtering for networked system with communication delay［J］.Signal Processing，2012，92（9）：2029-2039.

（收稿日期：2023-03-03，修回日期：2024-01-09）

H∞ Fault Detection of Distributed Time-delay Markov Jump Networked System with Adaptive Event Triggering Mechanism

LI Yan-huia，b， WANG Hanb

（a. Bohai Rim Energy Research Institute；b. School of Electrical Engineering and Information，

Northeast Petroleum University）

Abstract   The threshold selection in the traditional event triggering mechanism greatly influences signal transmission efficiency. Aiming at this problem， the fault detection of Markov networked systems with distributed delay under adaptive event triggering mechanism was studied， including the design of a modal dependent adaptive event trigger mechanism to improve utilization of network resources by dynamically adjusting the threshold. Considering the network delay and data packet loss， both trigger and fault detection filter were designed synchronously and the modal dependent Lyapunov universal was constructed， including having the integral inequality technique based to deduce the system with stochastic stability and the H∞ sufficient conditions for performance. In addition， through making use of the decoupling method and LMI technology， parameters of fault detection filter were solved. Simulation results prove this schemes advantages in saving network resources.

Key words   fault detection， adaptive event triggering mechanism， distributed time-delay， Markov jump system