“切线放缩在导数不等式证明中的应用”教学设计

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【摘  要】  导数的不等式证明是導数问题的基本问题之一. 本节课从两个基本函数和与他们对应的切线图象及结构特征出发创设典型问题，引导学生从不同角度分析不等式问题，让学生在面对此类问题时可以尝试切线放缩，把“曲线”转为“直线”，实现抽象的不等式可视化，降低了解题的难度，减少了计算量.

【关键词】 高中数学;导数;切线;不等式

1  内容分析

本节课内容是在学生已学完选修1-1第三章“导数”后，教师就学生学习情况独立设计的有关不等式与函数关系的提升课.目的是让学生重视基础函数图象和性质，引导学生使用已掌握的基础知识去分析和解决问题.函数与导数在高考中往往以综合性比较强的压轴题出现，它其本身又是由某个基本问题或某些基本问题的组合而成.遇到的导数问题常涉及和，本节课利用切线放缩的途径把“曲线”转为“直线”，实现降维打击，降低解题难度，达到解决问题的目的.此外课堂内容还蕴含的数学思想和方法：以函数图象为基础进行研究，让学生体会数形结合的重要思想.

2 学情分析

学生现在在解决导数问题，特别是涉及证明问题时，还处在的原始阶段——先求导、后定好定义域，求极值点，定单调区间，若尝试不得就只能止步于此.然而不等式恒成立问题中，许多试题的几何背景是曲线与切线静态或动态的上下位置关系，如果学生能利用曲线的切线与曲线的位置关系实现了常用函数到一次函数的放缩，进而获得过程简洁的解法，达到帮助学生建立信心，培养学生的思维，提升数学素养的目的.

3 教学目标和核心素养

（1）知识目标：掌握切线放缩和朗博同构的方法，了解这些方法的原理和适用条件，熟练运用这些方法证明一些函数不等式；

（2）能力目标：培养运用导数解决实际问题的能力，提升在涉及导数不等式证明中的思维灵活性和创造性；

（3）情感目标：激发对函数不等式证明的兴趣和好奇心，增强对数学学习的信心和乐趣，培养对数学美的欣赏和追求.

4 教学的重难点

教学重点： 切线放缩和朗博同构的方法，以及这些方法在证明函数不等式中的应用.

教学难点： 选择合适的函数进行切线放缩或朗博同构以及处理复合函数或分段函数的方法.

5 教学方法

（1）教学模式：以探究式教学为主，结合讲授式和讨论式教学为辅，引导学生通过一些具体的例题，自主发现切线放缩和朗博同构的方法，分析这些方法的原理和适用条件，运用这些方法证明一些函数不等式，归纳总结这些方法的特点和规律，表达交流自己的思路和感受.

（2）教学手段：展示函数图象和切线图象，直观地说明切线放缩的含义和作用，利用动画效果，演示朗博同构的过程和结果，增强学生的理解和记忆，收集和分享一些有趣的题目，激发学生的兴趣和好奇心.

（3）教学组织：采用小组合作的形式，让每个小组分别负责一个例题或练习题，通过小组内部的讨论和协作，完成题目的解答和证明.

6 教学工具

geogebra数学软件（下文均简称ggb）、希沃白板

7 教学过程：

7.1 创设情景

导语

同学们，今天我们一起来学习----切线放缩在导数的不等式证明的应用.

相信聪明的你已经反应过来了，在数学试卷上，总会有一些这样的题目：

面对这样的题目其实如果你掌握了切线放缩，这并不难.

那么，什么是切线放缩呢？它又是怎么证明函数不等式的呢？让我们一起来探究吧.

设计意图  通过有趣的提问，让学生快速进入学习状态，并逐渐对学习内容感兴趣，通过这样的设计，学生能够主动参与学习过程，积极思考和探索切线放缩的原理和方法.

7.2  两个引例

过渡  切线放缩题型丰富，但是万变不离其中，为了帮助理解这种方法，我设计了两个引例，想知道是什么吗？一起来看看吧！

师生活动

师  安排学习小组分别完成引例1、引例2，然后利用希沃白板投屏学生的证明过程.

生  讲解引例1、引例2的解题思路.

（预设学生展示成果）

注意  只有在做选填题才可直接使用，而解答题必须先证明后再使用.

设计意图  用两个引例作为本次教学的楔子，让学生掌握两个基础函数与他们相对应的切线建立起不等式的关系，引导学生进入课堂的核心内容，初步体会了“以直代曲”的数学的思想，把抽象的不等式可视化.

7.2  形成新知，强化变形

师生活动

生  （预设答案）学生积极参与集思广益得到一些结论：

号成立.

师  强调在证明解答中运用切线放缩是要“先证后用”，另外还需要考虑等号成立的条件.

设计意图  教师引导，学生参与探究，共同交流，使学生体会指数、对数指数放缩的多样性和严谨性.学生在探究中强化自身素养，为学生的全面发展提供保障.

7.4  典例分析

过渡  我们一起来看看切线放缩是如何出现在我们试卷中的吧.

师生活动  师生一起用前面常规方法证明.

师  鼓励学生相互讨论尝试使用放缩法证明不等式.教师到小组之间与学生交流.

生  整合交流结果做出证明.

设计意图  通过对比两种不同的证明方法，学生可以从中体会到切线放缩的便利性，激起学生学习的兴趣和动力.小组讨论交流这种合作探究的方式，能达到学生共同解决知识难点，实现思维交互和多元发展需求.

师生活动  老师留五分钟给学生自行思考，然后学生投屏展示证明结果.

综上所述，原不等式成立.

设计意图  学生直接面对高考原题，大胆尝试，根据实际情况灵活使用对数切线放缩以及推广，即能巩固已学知识，又能帮助确定学习信心.

师生活动

师  组织学生思考3分钟，下到学习小组中了解学生思考情況

综上原不等式成立.

（完整证明还需补充引例1和引例2简单证明过程）.

设计意图   给学生设计“圈套”，目的是让学生更好的掌握以及应用好新知，让学生不仅能掌握处理问题策略与方法 ，还可以扩宽分析问题与解决问题的思路.以情境为导向，引导学生高效率地完成知识探究任务.

7.5  达标检测

（完整证明还需补充引例1和引例2的简单证明过程）.

（完整证明还需补充引例1和引例2简单证明过程）.

设计意图  尽可能让学生体验从对数、对数函数到一次函数的放缩，体会到它的优越性，从而达到帮助学生建立信心，敢于分析和解决导数证明问题，培养学生的思维，提升数学素养的目的.

7.6  归纳总结

（3）解题思路要根据问题的设置学会随机应变，选择合理的放缩和等价转化，才能避免出现繁琐的计算和分类讨论，简化了解题过程，降低了计算难度，克服了畏惧导数大题的心理.

8  课后作业

9  板书设计

10  教学反思

教师备课时要注意教材与高考试题中蕴含的基本思想之间的联系.从基础知识延伸到相对比较复杂的综合性问题，学生通过这样的拓展才能有所收获.建立在学生已有认知水平基础上的备课才是真正有效的备课.复习提升课应注重问题的启发性，让学生在课堂上能充分表达自己的想法课堂.教师要注意发挥出学生的主体性，鼓励引导学生主动地寻找问题、分析问题、解决问题.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M].北京：人民教育出版社，2020.

[2]钟启泉.核心素养十讲[M].福州：福建教育出版社，2018.

[3]王芳，李昭平.切线放缩法在不等式问题中的应用例析[J].中学数学教学，2021（5）：53-55.