高阶结构对无标度网络上合作行为演化的影响

谢逢洁　姚欣　王思一

摘要： 为研究高阶结构对无标度网络上合作行为演化的影响，构建基于囚徒困境博弈的网络博弈模型。在无标度网络上引入二阶高阶结构，定义含成对博弈的三角形面博弈，用高阶结构参数联系成对博弈收益与面博弈收益，并通过仿真实验分析高阶结构对合作行为演化的影响。结果表明，当高连接度个体优先合作并获得高收益时，会促使其他连接度个体也选择合作，博弈个体间一旦形成稳定的“全合作”三角形策略结构，就能显著提高每个合作者收益，进而促进合作行为的产生。

关键词： 二阶高阶结构；无标度网络；合作行为；演化博弈

中图分类号： O157.5;N94文献标识码： A

The Effect of Higher-order Structure on the Evolution of Cooperative Behavior on Scale-free Networks

XIE Fengjie， YAO Xin， WANG Siyi

（School of Modern Posts， Xian University of Posts and Telecommunications， Xian 710061， China）

Abstract：In order to study the influence of higher-order structures on the evolution of cooperative behavior on scale-free networks， a network game model based on the Prisoner′s Dilemma game is constructed. A second-order higher-order structure is introduced on the scale-free network， a triangular face game containing pairwise games is defined， and the higher-order structure parameters are used to link the pairwise game payoffs with the face game payoffs， and the influence of the higher-order structure on the evolution of cooperative behavior is analyzed through simulation experiments. The results show that when individuals with high connectivity prioritize cooperation and obtain high payoffs， other individuals with high connectivity will be prompted to choose cooperation， and once a stable "all-cooperative" triangular strategy structure is formed among individuals， the payoffs of each cooperator can be significantly increased， which in turn promotes the emergence of cooperative behaviors.

Keywords： second-order higher-order structure; scale-free networks; cooperative behavior; evolutionary game

0 引言

理解自利個体如何在现实社会中形成广泛的合作是演化博弈论研究的一个核心问题。学者们主要从不同的理论视角出发解释合作行为的产生，包括亲缘选择、直接互惠、间接互惠、团队选择和网络结构［1］。在不同的理论视角中，囚徒困境博弈是最常见的描述个体间博弈行为的模型［2］，被学者们广泛采用，产生了丰硕的研究成果。

网络结构对群体合作行为影响的研究始于1992年发表于《Nature》的论文“Evolutionary games and spatial chaos”。在这篇论文中，Nowak和May［3］研究了囚徒困境博弈在方格网上的演化，发现合作者在方格网上可以通过结成紧凑的聚集，抵御背叛策略的入侵，从而维持稳定的合作。随后，许多学者进一步研究了各种规则格子对合作行为产生的影响，发现规则格子对合作行为的作用效果与格子的排列细节［45］，个体行为的多样性［68］，差异化的博弈配对［9］，以及博弈群体的人口密度有着紧密关系［10］。在规则格子中，一个个体以某种规则的排列与其他个体进行交互作用，且每个博弈个体有着相同数量的连接关系。然而，在现实社会中，个体之间的交互作用数量很显然不是完全相同的，规则格子无法很好地刻画现实社会中个体之间差异化的交互作用。

随着复杂网络理论的兴起，描述个体差异化连接关系的无标度网络［11］受到研究者们的广泛关注。相应地，无标度网络对合作行为的影响成为研究热点［1217］。研究发现，相比规则格子上的同质性交互作用，无标度网络上的异质性交互作用使得群体的合作水平大幅度提高。此后，无标度网络的集聚性［13，1819］、社区结构［2021］、匹配性［2223］等对合作行为的影响探索也取得了极为丰硕的研究成果。在无标度网络对合作行为的影响研究中，虽然学者们采取的网络形式多种多样，但都有一个共同的前提假设，即个体的博弈行为基于个体之间的成对连接关系。具体来说，如果一个个体在网络中有n个连接关系（即n个邻居），则与每个邻居进行博弈，其收益是与每个邻居进行博弈所得收益的加和。个体之间的成对连接关系是构成各种网络形式的基础，但多变的网络形式却不是简单的成对连接关系所能描述的，而是涉及到更复杂的局部结构［2425］。在现实情况中，个体不仅与每个邻居进行博弈，邻居间的交互关系也会对博弈结果产生影响。一个博弈个体面对n个相互独立的邻居和面对n个具有一定关系的邻居，其博弈收益和策略选择是不同的。

在复杂网络动力学行为的最新研究中，Iacopini等［26］通过一个高阶传染病模型来描述不同规模的群体间的互动，发现流行病的传播阈值和流行程度与只考虑个体成对关系时不同。Wang等［27］发现在社会交流过程中不仅涉及单个节点的互动，还涉及它们所属派系之间的互动；基于此，他们使用高阶结构（单纯复形）来描述这种现象，然后采用离散微观马尔可夫链的方法对基于单纯形的社会交流过程进行建模，从而得到了信息爆发的潜在临界条件。在研究由发送者和接收者构成的信号传递的动态演化过程中，Kumar［28］发现当用高阶结构刻画信息接收者之间的群体互动时，即使谎言对接收者有利，对发送者不利，诚实策略也依然可以维持，这与仅考虑成对交互作用时的场景是不相同的。这说明高阶结构不仅能够刻画包括成对关系在内的更为复杂的局部结构关系［2933］，还对复杂网络动力学行为产生了显著的影响。

基于以上思考，本文借鉴高阶结构的理论与方法，以群体合作行为演化为研究对象，将二阶高阶结构和无标度网络相结合，构建一种同时考虑成对交互作用和三角形面交互的演化博弈模型，并通过仿真实验探究二阶高阶结构对无标度网络上合作行为产生的影响，研究结果弥补了群体之间仅考虑成对博弈关系时的不足，同时也揭示了现实社会中自利个体形成广泛合作的一个新的关键因素。

1 模型构建

1.1 高阶结构的定义

高阶结构的定义基于单纯形模型和单纯形复合体［26］。单纯形模型将网络中个体间的关系刻画为一个单纯形。一个k维单纯形σ是k+1个节点的集合，σ=p0，…，pk。以3个节点为例，其所构成的三角形就是一个2维单纯形，或称为“完全”三角形p0，p1，p2，由边p0，p1，p0，p2和p1，p2组成。根据单纯形的基本定义，0维单纯形如同网络中的节点，1维单纯形如同网络中的边，2维单纯形对应三角形面，3维单纯形是四面体，如图1a所示。不同维度的单纯形构成单纯形复合体，如图1b所示。在单纯形复合体K中，如果σ∈K，那么σ的子集同样是单纯复合体K的子集。这意味着n维单纯形复合体包含着更低维度的单纯形结构。比如，3维单纯形复合体不仅包含3维单纯形，还包含2维和1维单纯形。

网络的高阶结构与单纯形复合体相对应，n阶高阶结构与n维单纯形复合体相对应。二阶高阶结构则指网络中2维单纯形（三角形面）和1维单纯形（边）的总和。三阶高阶结构指网络中3维单纯形（四面体）、2维单纯形（三角形面）和1维单纯形（边）的总和。

1.2 基于高阶结构的囚徒困境演化博弈模型

1.2.1 基于二阶高阶结构的个体博弈交互作用

个体之间的博弈交互作用在无标度网络上展开。无标度网络采用Barabási和Albert的BA无标度网络模型生成，其方法见文献［11］，个体位于所生成的无标度网络的节点上。在以往的研究中，个体的博弈行为基于无标度网络上个体间的成对连接关系展开。本文首次考虑高阶结构下的群体博弈交互作用，提出个体基于“二阶高阶结构”的演化博弈模型，即个体不仅基于成对连接关系进行博弈，还基于三角形面关系进行博弈。

1.2.2 个体的博弈收益

个体采用囚徒困境模型进行博弈。在囚徒困境博弈中，双方共同合作则各自获得收益R；双方共同背叛则各自获得收益P；如果一方选择合作策略，另一方选择背叛策略，则合作者获得收益S，背叛者获得收益T，其大小顺序为T>R>P>S。本文沿用现有研究中普遍采用的单参数博弈矩阵，即令T=b>1，R=1，S=-0.01，P=0，其中b代表背叛者的诱惑参数［15］。博弈的收益矩阵Α为

个体的博弈基于无标度网络上的二阶高阶结构展开，即个体之间基于成对交互作用和三角形面交互作用进行博弈。图2给出基于二阶高阶结构进行博弈时，个体在网络中与其邻居之间可能形成的博弈交互作用情境。图2中不同颜色的圆点表示不同策略的博弈个体，实线连接表示相同策略个体之间的成对博弈，虚线连接表示不同策略个体之间的成对博弈，黑色的面表示相同策略个体之间的三角形面博弈，灰色的面表示不同策略个体之间的三角形面博弈。

在图2a～2e中，个体与其邻居间不存在三角形面的关系。这时，个体基于成对连接关系与邻居展开博弈。在图2f～2h中，个体与其两个邻居形成了三角形面。这时，如果个体的两个邻居的策略不同，即邻居未形成统一的策略，则个体仅基于成对连接关系与每个邻居进行博弈，如图2f所示；反之，如果个体的两个邻居的策略相同，即邻居形成了统一策略，则个体不仅要基于成对连接关系与每个邻居进行博弈，还需基于三角形面与两个邻居进行博弈，如图2g～2h所示，2.1小节将会讨论三角形面博弈对个体策略结构产生的影响。

根據以上博弈交互作用的描述，设si为个体i在一次博弈中采取的策略向量，令策略向量si=1，0表示个体采取合作策略C，策略向量si=0，1表示个体采取背叛策略D。则个体i在第t次博弈时的总博弈收益可表示为

其中，Ωi为第t次博弈时刻与个体i有连接关系的邻居集合；sTi是与个体i进行博弈的个体j在t时刻的策略向量的转置；A为式（1）中所描述的博弈矩阵。ΩGi为Ωi集合中与个体i形成图2g和2h博弈情境的邻居集合。∑j∈ΩisiAsTj表示成对连接关系博弈所获收益，G∑g∈ΩGisiAsTg表示三角形面博弈所获收益。参数G刻画了二阶高阶结构对个体博弈收益的影响程度，称为高阶结构参数，其值越大，说明高阶结构的作用越强。当高阶结构参数G=0时，公式（2）回到了未引入三角形面博弈的情形，即仅存在成对交互作用，不考虑高阶结构的作用，通过参数G的改变，把成对交互作用和三角形面交互统一起来。

1.2.3 个体的博弈策略更新规则

策略的动态演化采用现有研究中广泛使用的复制动力学机制。所有博弈个体在一次博弈后同时更新策略，策略的更新以博弈收益为基础。当个体i进行策略更新时，个体i随机从其邻居中选择一个个体j作为比较对象，将两者博弈后的总收益Ui和Uj进行比较。如果Ui>Uj，则以一定概率p选择个体j的当前策略作为个体i的下一步策略。概率p的计算方式为［13，15，18］：

2 理论分析

2.1 二阶高阶结构对群体策略行为选择的影响

为了深入分析1.2.2节中个体基于三角形面博弈的交互情境，图3给出网络中个体间形成三角形面交互作用博弈的微观机制，其中黑色的面表示相同策略个体之间的三角形面博弈，灰色的面表示不同策略个体之间的三角形面博弈。由图3可见，基于二阶高阶结构形成的三角形面交互作用博弈情境总共有4种，即三角形面博弈情境D，D，D、C，D，D、C，C，C以及D，C，C。

对于博弈情境D，D，D，每个D策略个体都能与其他两个D策略个体之间形成三角形面博弈，但由于策略结构D，D的收益为0，则任何一个个体获得的三角形面博弈收益都为0。对于博弈情境C，D，D，虽然C策略个体与其他两个D策略个体之间形成三角形面博弈，但C，D策略结构中C策略个体的收益为0，则其获得的三角形面博弈收益为0。对于博弈情境C，C，C，每个C策略个体都能与其他两个C策略个体之间形成三角形面博弈并获得2GR的面博弈收益。对于博弈情境D，C，C，D策略个体与其他两个C策略个体之间形成三角形面博弈并获得2Gb的面博弈收益。

当高阶结构参数G增大时，高阶结构更大程度地提高博弈情境C，C，C中C策略个体的收益和博弈情境D，C，C中D策略个体的收益。但这两个博弈情境的不同之处在于，高阶结构参数G越大，博弈情境C，C，C中每个C策略个体的收益都得到显著提高，而博弈情境D，C，C中只有D策略个体的收益得到显著提高。其结果是，博弈情境C，C，C三角结构非常稳定，而博弈情境D，C，C中的两个C策略个体很可能在策略调整的时候模仿D策略，进而使得D，C，C三角形面博弈转变为D，D，D三角形面博弈，使得D策略个体的收益变为0。在这样的情境下，D，D策略结构中的D策略个体一旦与C，C，C三角形策略结构中的C策略个体有连接关系，就有极大的概率改变D，D策略结构为C，C策略结构，从而表现出D，D策略结构数量下降，整个群体的合作者比例提高。

因此，个体在微观层面形成合作的三角形策略结构C，C，C是高连接度个体保持合作行为并获得高博弈收益的根源所在，进而影响到其他连接度个体学习高连接度个体的合作行为，使得群体表现出更高水平的合作状态。

2.2 三阶高阶结构对群体策略行为选择的影响

为了进一步将2.1中结论推广到二阶以上的高阶结构，图4给出网络中个体间形成四面体交互作用博弈的微观机制，图4中的每个四面体是由4个大小相同的三角形组成，其中黑色的面表示相同策略个体之间的三角形面博弈，灰色的面表示不同策略个体之间的三角形面博弈。白色的圆点表示个体采取合作策略，黑色的圆点表示个体采取背叛策略。虚线箭头代表从四面体空间中指向节点i，以此来计算节点i的收益。

由图4可见，基于三阶高阶结构形成的四面体交互作用博弈情境总共有5种，即四面体博弈情境D，D，D，D、D，C，C，C、C，D，D，D、C，C，D，D、C，C，C，C。

对于博弈情境D，D，D，D，每个D策略个体与其他3个D策略个体之间形成四面体并进行博弈，而四面体是由4个策略结构均为D，D，D的三角形面組成，所以个体所获收益是个体与其邻居组合成的所有三角形面博弈收益和3个D，D策略结构博弈收益的加和。由于每个D，D，D策略是3个D，D策略结构组成，而策略结构D，D的收益为0，则任何一个个体所获得的三角形面博弈收益都为零；因此，每个D策略个体基于四面体博弈所获收益为0。同理，博弈情境D，C，C，C中D策略个体和C策略个体所获收益分别为6Gb+3b和2GR+2R。博弈情境C，D，D，D中D策略个体和C策略个体所获收益分别为b和0。博弈情境C，C，D，D中D策略个体和C策略个体所获收益分别为2Gb+2b和R。博弈情境C，C，C，C中每个C策略个体所获收益为6GR+3R。

当高阶结构参数G增大时，其更大程度提高博弈情境D，C，C，C中C策略个体和D策略个体的收益、博弈情境C，C，D，D中D策略个体的收益、博弈情境C，C，C，C中C策略个体的收益。但这些博弈情境有很大不同，首先，高阶结构参数G越大，博弈情境D，C，C，C中C策略个体和D策略个体的收益都会越高，但D策略个体收益的提高幅度大于C策略个体收益的提高幅度。由于四面体上的博弈个体为了追求自身利益最大化，在下次博弈前会选择对自己有利的策略。所以C策略个体在下次博弈之前会更大可能选择D策略，会出现C，C，D，D、C，D，D，D、D，D，D，D3种博弈情境，如图5b、5e、5f。其次，对于C，C，D，D博弈情境，高阶结构参数只会改变D策略个体的收益。因此，在下次博弈开始之前，C，C，D，D博弈情境中的两个C策略个体会很大可能采取D策略，并使博弈情境演化成C，D，D，D或D，D，D，D，如图5c和5g。但C，D，D，D博弈情境并不稳定，最终也会演化成D，D，D，D，如图5d和5f。所以D，C，C，C、C，C，D，D博弈情境最终都会演化成D，D，D，D，使每个D策略个体获得0收益。相反，C，C，C，C博弈情境中的每个C策略个体的收益会随着高阶结构参数的增大而增加，相比于D，C，C，C和C，C，D，D，博弈情境C，C，C，C所形成的四面体博弈情境非常稳定。因此，当D，D，D，D博弈情境中有某一个个体与C，C，C，C博弈情境连接时，D策略个体为了追求更高收益而选择模仿邻居的策略，最终选择合作行为。

综上，个体在微观层面形成的四面体博弈情境C，C，C，C是高连接度个体保持合作行为并获得高博弈收益的原因所在，从而影响其他邻居个体的合作行为策略选择，使得群体表现出更高的合作状态。

3 仿真实验设计及结果

3.1 仿真实验设计

基于以上模型描述，本文使用MATLAB编程，用Monte Carlo方法研究无标度网络上二阶高阶结构对囚徒困境博弈合作行为演化的影响。仿真实验总的个体数N设定为5 000。

首先，个体位于1.2.1节BA无标度网络模型生成的无标度网络的节点上。在重复博弈的初始时刻，每个个体随机选择合作策略（C）或背叛策略（D）作为自己初次博弈的策略。将某个博弈时刻t合作者在整个群体中所占的比例称为合作者密度pct，则有pct=nct/N（其中nct为t时刻合作者的数量）。那么，在重复博弈的初始时刻（t=0），合作者密度pct≈0.5。每个个体在获得初始策略后，根据1.2.2节的博弈情境选择交互作用邻居进行博弈，按照公式（2）获得自己博弈的总收益；然后，根据1.2.3节中公式（3）所描述的策略更新规则进行策略调整，并将调整后的策略作为自己下一次博弈时使用的策略。

所有个体在每次博弈后对自身策略的调整使得合作者密度在下一次博弈前发生改变。随着重复博弈的进行，合作者密度pct将随仿真时间呈现出动态变化的过程，并逐渐达到一个动态平衡状态。通过多次实验发现，博弈次数为5 000时合作者密度基本达到稳定的动态平衡状态，故取重复博弈次数（即仿真的取样时间）为5 000次（步）。以最后500次的合作者密度的平均值作为群体达到动态平衡状态时的合作者密度，记为合作者均衡密度PC，故PC=∑5 000t=4 501pct/500。为了确保数据的有效性，仿真结果中的所有数据是相同高阶结构参数G和博弈参数b条件下50次实验结果的平均值。

3.2 仿真实验结果

图6给出背叛诱惑参数b=2.2时，群体合作者密度pct在不同的高阶结构参数G条件下的动态演化过程。图7给出在不同的背叛诱惑参数b条件下，群体合作者均衡密度PC與高阶结构参数G的关系。

由图6可以看出，当背叛诱惑参数b=2.2时，初始合作者密度从pct≈0.5开始，先是迅速地下降至pct≈0.24左右，然后逐渐上升，最后在t=5 000时已经达到动态平衡，且合作者密度pct在更大的高阶结构参数G下表现出更高的水平。进一步，由图7可以看出，对于所有的背叛诱惑参数b，合作者均衡密度PC均在更大的高阶结构参数G条件下表现出更高的水平。尤其是当b>2.5后，高阶结构提高合作者均衡密度的效果愈发显著。高阶结构参数G=10对应的合作者均衡密度PC水平比高阶结构参数G=0时（无高阶作用）的合作者均衡密度PC水平提高了25%左右。以上实验结果表明，高阶结构有利于个体抵抗背叛诱惑，产生更高水平的群体合作，并在背叛诱惑很大的情况下发挥更强的促进个体合作的作用。

4 结果分析及讨论

为了更好地理解以上实验结果，本节通过分析群体中不同连接度个体在最终演化时刻的合作者密度、博弈收益、以及邻居的策略结构，来揭示高阶结构促进群体合作行为的内在机理。

4.1 高阶结构对不同连接度个体合作行为的影响分析

仿真实验中的无标度网络有着相同的度分布，图8给出背叛诱惑参数b=2.2时，在不同高阶结构参数G下，无标度网络上连接度为k的个体在最终演化时刻（t=5 000）的合作者密度PCk。选择b=2.2进行分析的原因在于，在该背叛诱惑条件下，合作者均衡密度PCk在不同的高阶结构参数G下有着明显的差异（见图8），能够更好地呈现不同连接度个体在最终演化时刻的合作者密度PCk。PCk的计算方法为：对于给定的仿真参数，在群体一次演化博弈的最后时刻，统计连接度为k的个体数量nk和合作者数量c（k），那么PCk=∑lclk/∑lnlk（其中，l表示对于给定参数所进行的重复实验次数，l=20）。

由图8可见，对连接度水平较低（k<20）的博弈个体，高阶结构参数G明显提高了不同连接度个体的合作者密度PCk；对于连接度水平高（k>30）的博弈个体，更高的高阶结构参数G使得更多连接度的个体达到完全合作状态，即PCk=1；对连接度在20至30之间的博弈个体，更高的高阶结构参数G对应着更高水平的合作者密度PCk。可以看出，随着高阶结构参数G的不断增大，群体中个体进行博弈交互作用的邻居数量在不断增多，不同连接度的个体抵御背叛的能力均在不断加强；所以高阶结构均对其合作策略的选择起到明显的促进作用。

4.2 高阶结构对不同连接度个体博弈收益的影响分析

采用和图8实验相同的参数条件，进一步比较在不同的高阶结构参数条件下，无标度网络上连接度为k的合作者与背叛者的平均总收益。平均总收益的计算方法如下：对于给定的仿真参数，在群体一次演化的最后时刻，统计连接度为k的合作者数量nClk以及背叛者数量nDlk，并且加和连接度为k的合作者的总收益UClk和背叛者的总收益UDlk。则当前连接度下合作者的平均总收益为UCk=∑lUClk/∑lnClk，背叛者的平均总收益为UDk=∑lUDlk/∑lnDlk。图9给出无标度网络上连接度为k的合作者和背叛者在最终演化时刻的平均总收益。各子图给出不同高阶结构参数G条件下的结果。

由图9的每个子图可以看出，无论高阶结构参数G的取值大小，随着连接度k的增大，群体中个体的博弈收益均呈上升趋势，这说明个体的连接度越高，获得更高博弈收益的优势越大。此外，随着高阶结构参数G的增大，越来越多的高连接度个体选择合作策略，且其获得更高博弈收益的优势越来越明显。具体而言，当高阶结构参数G=0时，群体中有着最高博弈收益的个体既有合作者也有背叛者，最高博弈收益水平为226；当高阶结构参数G=2时，群体中连接度在200以上的个体均选择了合作策略，最高博弈收益水平为463；当高阶结构参数G=5时，群体中连接度在100以上的个体均选择了合作策略，最高博弈收益水平为754；当高阶结构参数增大至G=10时，只有连接度很低的个体选择背叛行为，其他连接度个体均选择合作行为，最高博弈收益水平为1 334。这说明，高阶结构参数G对群体合作行为影响的关键是影响了群体中高连接度个体对合作行为的选择，并使得博弈收益水平显著提高。而高连接度个体有着很多不同连接度水平的邻居，这些邻居会学习高连接度个体的合作行为，进而使得其他连接度个体也更多地选择合作行为。

4.3 高阶结构对个体邻居策略结构的影响分析

采用和图8实验相同的参数条件，进一步分析在不同高阶结构参数G下，无标度网络上连接度为k的个体的邻居策略结构。根据1.2.2小节所描述的博弈交互作用情境，只有当某个个体的两个邻居的策略相同，即邻居形成了统一策略，个体才会基于三角形面与两个邻居进行博弈。本节分析在博弈的最终演化时刻，连接度为k的个体邻居所形成的C，C策略结构和D，D策略结构的平均数量。具体计算方法如下：对于给定的仿真参数，在群体一次演化的最后时刻，统计连接度为k的博弈个体数量nlk，并对该连接度下所有个体的邻居所形成的C，C策略结构数量nCClk和D，D策略结构数量nDDlk分别进行加和。对于连接度为k的个体，其邻居中C，C策略结构的平均数量为numCCk=∑lnCClk/∑lnlk，其邻居中D，D策略结构的平均数量为numDDk=∑lnDDlk/∑lnlk。图10给出无标度网络上连接度为k的个体邻居在最终演化时刻所形成的D，D策略结构和C，C策略结构的平均数量，各子图给出不同高阶结构参数G条件下的结果。

由图10可以看出，随着高阶结构参数G的增大，连接度为k的个体的邻居所形成的D，D策略结构数量越来越少。具体而言，在连接度大于100的范围内，当高阶结构参数G=0时，一共有10个连接度的个体邻居形成了D，D策略结构；当高阶结构参数G=2时，仅有3个连接度的个体的邻居形成了D，D策略结构；当高阶结构参数增大到G=5和G=10时，没有任何连接度的个体的邻居形成D，D策略结构。而在连接度小于50的范围，对比高阶结构参数G=5和G=10条件下的结果，可以看出G=10条件下更少连接度的个体的邻居形成D，D策略结构。这些分析结果说明，高阶结构有效降低了网络中D，D策略结构的数量，进而验证了2.1小节得出的结论。

5 结语

本文将高阶结构引入复杂网络演化博弈的研究中，在原有的成对连接关系博弈的基础上考虑三角形面博弈。对个体博弈交互作用及博弈收益重新定义，以一个高阶结构参数刻画高阶结构对群体合作行为产生的影响，搭建起本研究和以往研究的关系。

1）通过理论分析给出二阶高阶结构对群体策略行为选择的影响，并将结论在三阶高阶结构上进行推广。结果表明，博弈群体在二阶高阶结构和三阶高阶结构的作用下均表现出更高的合作水平，一旦个体间形成了C，C，C三角形策略结构或C，C，C，C四面体策略结构，就可以显著提高每个C策略个体的收益，使得策略结构的稳定性极高。相反，虽然D，C，C策略结构和D，C，C，C策略结构中的D策略个体能够获得比C，C，C策略结构和C，C，C，C策略结构中的C策略个体更高的博弈收益，但D，C，C策略结构和D，C，C，C却极不稳定，很快会转变为D，D，D策略结构和D，D，D，D策略结构。D，D，D三角形策略結构和D，D，D，D四面体策略结构在收益获得方面没有任何优势，从而会在策略演化过程中学习周围的合作者，选择合作行为。

2）在仿真实验验证中发现，在更强的高阶结构作用下，不同连接度的个体均表现出更强的抵御背叛行为的能力，主要原因是高阶结构作用显著影响了群体中高连接度个体对合作行为的选择，并使其博弈收益水平明显提高。高连接度个体有着很多不同连接度水平的邻居，这些邻居会学习高连接度个体的合作行为，进而使得其他连接度个体也更多地选择合作行为。

在本文构建的理论模型中，高阶结构参数对合作策略或背叛策略没有任何偏好。但理论分析和实验结果表明，高阶结构有效地提高了群体的合作水平，从而给出了一个新的理解现实世界自利个体间产生合作行为的关键因素。这为进一步深入研究更高阶的网络结构（如单纯形复合体）对群体合作行为演化的影响提供了思路。

参考文献：

［1］NOWAK M A. Five rules for the evolution of cooperation［J］. Science，2006，314（5805）：1560－1563.

［2］WEIBULL J W. Evolutionary game theory［M］. Cambridge： MIT Press，1997.

［3］NOWAK M A， MAY R M. Evolutionary games and spatial chaos［J］. Nature，1992，359（6398）：826－829.

［4］SZAB G， TKE C. Evolutionary prisoners dilemma game on a square lattice［J］. Physical Review E，1998，58（1）：69.

［5］SZAB G， VUKOV J， SZOLNOKI A. Phase diagrams for an evolutionary prisoner′s dilemma game on two-dimensional lattices［J］. Physical Review E，2005，72（4）：047107.

［6］PERC M， SZOLNOKI A. Social diversity and promotion of cooperation in the spatial prisoners dilemma game［J］. Physical Review E，2008，77（1）：011904.

［7］SANTOS F C， SANTOS M D， PACHECO J M. Social diversity promotes the emergence of cooperation in public goods games［J］. Nature，2008，454（7201）：213－216.

［8］LIMING W， WU F. Effects of empty sites on cooperation in the prisoners dilemma game based on social diversity［J］. Discrete Dynamics in Nature and Society， 2014，2014（1）：1－8.

［9］XIA C Y， MENG X K， WANG Z. Heterogeneous coupling between interdependent lattices promotes the cooperation in the prisoners dilemma game［J］. PloS One，2015，10（6）： e0129542.

［10］ ZHU C， SUN S， WANG J， et al. Role of population density and increasing neighborhood in the evolution of cooperation on diluted lattices［J］. Physica A： Statistical Mechanics and Its Applications，2013，392（24）：6353－6360.

［11］ BARABSI A L， ALBERT R. Emergence of scaling in random networks［J］. Science，1999，286（5439）：509－512.

［12］ SANTOS F C， PACHECO J M. Scale-free networks provide a unifying framework for the emergence of cooperation［J］. Physical Review Letters，2005，95（9）：098104.

［13］ 謝逢洁，崔文田，孙笑明.无标度网络的群聚性对合作行为的影响［J］.系统工程学报，2010，25（2）：152－158.

XIE F J， CUI W T， SUN X M. Influence of clustering on cooperative behavior in scale-free networks［J］. Journal of Systems Engineering，2010，25（2）：152－158.

［14］ WU Y， LI X， ZHANG Z， et al. The different cooperative behaviors on a kind of scale-free networks with identical degree sequence［J］. Chaos， Solitons & Fractals，2013，56：91－95.

［15］ 谢逢洁，武小平，崔文田，等.博弈参与水平对无标度网络上合作行为演化的影响［J］.中国管理科学，2017，25（5）：116－124.

XIE F J， WU X P， CUI W T， et al. Influence of game participation level on the evolution of cooperative behavior in scale-free networks［J］. Chinese Journal of Management Science，2017，25（5）：116－124.

［16］ MAO Y J， RONG Z H， WU Z X， et al. Effect of collective influence on the evolution of cooperation in evolutionary prisoners dilemma games［J］. Applied Mathematics and Computation，2021，392：125679.

［17］ HU X T， WU M Y. The analysis of evolutionary prisoners dilemma game based on weighting effect［J］. International Journal of Modern Physics C，2021，32（5）：2150066.

［18］ ASSENZA S， GMEZ-GARDEES J， LATORA V. Enhancement of cooperation in highly clustered scale-free networks［J］. Physical Review E，2008，78（1）：017101.

［19］ KLEINEBERG K K. Metric clusters in evolutionary games on scale-free networks［J］. Nature Communications， 2017，8（1）：1－8.

［20］ XIE F J， CUI W T， LIN J. Structural heterogeneity mediates the effect of community structure on cooperation［J］. Complexity，2012，17（4）：40－48.

［21］ ZHANG J L， ZHU Y Y， CHEN Z Q， et al. Evolutionary game dynamics of multiagent systems on multiple community networks［J］. IEEE Transactions on Systems， Man， and Cybernetics： Systems，2019，50（11）：1－17.

［22］ RONG Z H， LI X， WANG X F. Roles of mixing patterns in cooperation on a scale-free networked game［J］. Physical Review E，2007，76（2）：027101.

［23］ WANG Z， WANG L， PERC M， et al. Degree mixing in multilayer networks impedes the evolution of cooperation［J］. Physical Review E， Statistical， Nonlinear， and Soft Matter Physics，2014，89（5）：052813.

［24］ BATTISTON F， CENCETTI G， IACOPINI I， et al. Networks beyond pairwise interactions： structure and dynamics［J］. Physics Reports，2020，874：1－92.

［25］ MAJHI S， PERC M， GHOSH D. Dynamics on higher-order networks： a review［J］. Journal of the Royal Society Interface，2022，19（188）：20220043.

［26］ IACOPINI I， PETRI G， BARRAT A， et al. Simplicial models of social contagion［J］. Nature Communi-cations，2019，10（1）：1－9.

［27］ WANG D， ZHAO Y， LENG H， et al. A social communication model based on simplicial complexes［J］. Physics Letters A，2020，384（35）：126895.

［28］ KUMAR A， CHOWDHARY S， CAPRARO V， et al. Evolution of honesty in higher-order social networks［J］. Physical Review E，2021，104（5）：054308.

［29］ SKARDAL P S， AROLA-FERNáNDEZ L， TAYLOR D， et al. Higher-order interactions can better optimize network synchronization［J］. Physical Review Research，2021，3（4）：043193.

［30］ BATTISTON F， AMICO E， BARRAT A， et al. The physics of higher-order interactions in complex systems［J］. Nature Physics，2021，17（10）：1093－1098.

［31］ CENCETTI G， BATTISTON F， LEPRI B， et al. Temporal properties of higher-order interactions in social networks［J］. Scientific Reports，2021，11（1）：7028.

［32］ MALETIC′ S， ANDJELKOVIC′ M， RAJKOVIC′ M. Potential grouping of nodes induced by higher-order structures in complex networks［J］. Chaos，2021，31（12）：123115.

［33］ SHI D H， CHEN G R. Simplicial networks： a powerful tool for characterizing higher-order interactions［J］. National Science Review，2022，9（5）： nwac038.

（責任编辑 耿金花）

收稿日期： 2022－10－03；修回日期： 2022－11－26

基金项目： NSFC－云南联合基金（U2102221）；陕西省自然科学基础研究计划项目（2023－JC－QN－0261）；陕西省教育厅研究计划项目（23JK0675）

第一作者： 谢逢洁（1974－），女，重庆人，博士，教授，主要研究方向为复杂网络理论及其应用。

通信作者： 王思一（1994－），女，陕西汉中人，博士，讲师，主要研究方向为演化博弈论及其应用。