导数在高中数学解题中的应用

林翠

摘 要：本文主要从导数求解函数解析式、导数求解函数单调性、导数求解函数极值、导数求解函数值域四个方面，探讨了导数在高中数学解题中的应用，旨在为提高学生解题能力提供参考.

关键词：高中数学；导数；函数；解题

中图分类号：G632   文献标识码：A   文章编号：1008-0333（2024）09-0031-03

导数作为高中数学教学的重要知识点之一，一方面承载了大量的数学思想，另一方面也是简化解题流程、促进高效解题的重要工具.新高考背景下，高考数学对于导数解题的重视度愈发提高，也成为学生高中数学学习生涯中必须掌握的关键技能.结合相关考题来看，对导数在高中数学解题中的应用进行探讨极有必要.因此，高中数学教师需要充分理解导数概念，有意识地引导学生利用导数对复杂函数问题进行求解，加强学生解题效率、拓宽学生解题思路.在这种情况下，学生不仅能进一步提高其解题效率，还在充分练习的基础上为后续的学习奠定了坚实基础.

1 以导数求解函数解析式

新高考背景下导数求解函数解析式的出题侧重趋势更加明显，也成为当前高考的重要考点内容.从高中数学教学角度来说，导数求解函数也能实现对函数极小值、极大值以及对称性等知识点的充分渗透，进而帮助学生加强函数思维求取出函数解析式.

例1 某三次函数y=f（x）图象与原点对称，当x=0.5时，f（x）取得极小值，且极小值为-1，求函数f（x）的解析式[1].

解题分析 由三次函数的解析式可设：

f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）

因为题目中提出图象与原点对称，即f（-x）=-f（x），由此可得：

ax3+bx2+cx+d=ax3-bx2+cx-d，

可得b=0，d=0.

由此可推：

f（x）=ax3+cx，

进一步求导可得：

f ′（x）=ax2+c，

结合题意得出：

联合解答可得a=4，c=-3.

由此得出求解的函数解析式为：

f（x）=4x3-3x.

该题目融合了函数几何意义，在进行解题时，可依据这一内容进行导数几何意义与其他导数间的关系这一思路进行求解.因此，学生在解题时，只需要对题目进行仔细观察，并明确题目条件即可.

2 以导数求解函数单调性

导数的函数单调性求解在高中数学教学中有四个步骤：第一步，明确函数f（x）的定义域；第二步，对其进行求导；第三步，从函数定义域出发求f ′（x）与

f ′（x）＜0（f ′（x）>0）的解集；第四步，明确函数单调区间得到函数单调性[2].

解题分析 该题目的求解思路主要是在明确其定义域前提下討论导数与单调区间.结合题目可得以下内容：

函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），

依据f ′（x）＞0，求得：x＜-1或x＞1；

当f ′（x）＜0时，求得：-1＜x＜0或0＜x＜1；

由此可得，函数f（x）单递减区间为：（-1，0）和（0，1）；f（x）的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞）.

导数对函数单调性的求解较为简易，解题流程大致遵循函数对应导数求解，并依据题目条件求出x值即可.高中数学解题教学过程中，学生能够获取到更加全面、直观的解题思路，进而举一反三实现题目的多类型解答[3].

3 以导数求解函数极值

在该类问题进行解答的过程中，借助导数性质确定函数两边符号的一致性就可以得到函数某区间的最大值与最小值.如果函数式中存在字母系数，不应局限于流程而需要另外进行分类讨论.在上述流程进行下明确函数不同区间的单调性.

例3 求函数f（x）=lnx-a2x2+ax（a∈R）的极值.

解题分析 函数f（x）定义域为（0，+∞）;

（1）当a=0时，则f（x）=lnx.由此得知f（x）位于（0，+∞）上显示单调递减，无极值.

（2）当a＞0时，则有f ′（x）=0.由此可得：

在解题过程中需要注意的是，极值点并非指“点”，而是f ′（x）=0解得的根.如果函数位于x0两侧单调性相反那么x0就是极值点

且f ′（x）=0，但f ′（x0）=0，则x0不一定是极值点.在基础上，需要确保函数f（x）位于x0的两侧单调性相反[4].

4 以导数求解函数值域

通常情况下函数f（x）位于闭区间a，b是可导的，此时f（x）位于闭区间a，b中最值的求解步骤可划分为：第一步，求取函数f（x）位于闭区间a，b的极值；第二步，计算函数f（x）位于端点与极值点所对应的函数值；第三步，对f（x）位于端点与极值点时的函数值大小进行对比，进而求得值域内最大值与最小值.

5 导数及其应用于函数求解的作用

通过对上述题目的分析，本文就导数及其应用于函数求解的作用方面得出以下结论：首先，导数在高中数学解题中的应用能够帮助学生养成函数思想.相较于初中数学学习来说，高中数学学习具有更强的连贯性与持续性，而函数思想就是学生在高中数学学习阶段所必须具备的基础性数学思想，也是新高考的重点考查内容.随着高中数学教学的不断推进，学生学习数学的难度进一步加大，为了解决高难度数学题学生只能进行大量计算.如果计算过程中出现偏差或计算失误，则很容易使学生陷入反复计算的困境中[6].在试题练习过程中，数学教师可引导学生利用数学模型创设函数关系，实现解题流程的简单化、简洁化.从这一角度来看，学生能够将导数看为对函数问题的已汇总辅助工具，借助导数创设数学模型.帮助学生更好地解决复杂函数问题.其次，能够进一步促进学生对函数特性的理解程度.高中数学函数教学中不同函数之间对应着不同的函数性质.在对这些函数性质进行考查的过程中，学生往往因为无法把握其中要点而自乱阵脚.在解题过程中，教师应引导学生对函数具备的特性进行理解与掌握，进而形成数形结合的数学思维.比如，学生在解答相对简单的函数问题时，函数图象的绘画则较为简单，解题思路也将更清晰.但是在处理相对复杂的函数题时，这种方法则较不适用.因此，教师可将运用导数作为切入点，进一步发挥导数作用.一方面，可加强学生对函数具备性质的判断准确性；另一方面，也能拓宽学生对函数问题的解决思路[7].高中数学的复杂函数经求导后能够转化为相对简单函数，学生能够较为轻易地绘画出相关的函数图象，加强学生解决函数问题的准确性与效率.

6 结束语

导数在高中数学解题中的应用占据了高中数学解题教学的较大比重.如果高中学生能够充分掌握相关导数知识，学会举一反三与知识迁移，不仅能显著提升其解题能力，也能为学生后续的数学学习奠定基础.基于此，函数解题教学过程中教师可利用导数求解函数问题，拓宽学生解题思路.学生在解答函数问题时能够简化解题流程，减少无用的重复解题步骤，提高解题效率.

参考文献：

［1］张春晓.基于高考题探究高中数学解题教学研究：以不等式为例[J].数理天地（高中版），2023（19）：41-43.

[2] 孙志峰.高中物理解题中数学思想与方法应用举例分析：以“三角函数”为例[J].数理化解题研究，2023（25）：110-112.

[3] 陶德泉.数学知识与思想方法在高中物理解题中的应用探究[J].数理化解题研究，2023（22）：130-132.

[4] 李金英.基于“九项循证策略”的高中数学解题策略分析：以求点的轨迹方程为例[J].天天爱科学（教学研究），2023（07）：10-12.

[5] 郑笑容，杨恩彬.审度时宜 虑定而定：例谈函数与导数解答题的求解策略[J].福建中学数学，2022（07）：37-40.

[6] 唐明超，潘敬贞，袁锦前.例谈同构视角下函数与导数高考试题的求解策略：从2020年高考试题谈起[J].中学数学研究，2021（05）：45-47.

[7] 曹凤山，朱伟义.抓主线 明特征 回归原点：从近三年浙江高考压轴试题看函数与导数问题的求解策略[J].中学数学杂志，2021（03）：60-62.