经历探究过程?助力素养进阶

姚莉莉

【摘 要】新课标颁布以来，数学跨学科学习成为研究重点。为了进一步提升课堂教学中学生的主体地位，教师在日常教学中应多采取探究式发现学习，鼓励学生在真实、多样的情境中，应用所学的数学知识和其他学科知识，在实践探究中解决问题，在长久的积累中发展思维能力。

【关键词】主题式探究学习 跨学科教学 核心素养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》颁布以来，数学跨学科学习成为研究重点。基于此，旺庄实验小学教师团队开展了“基于‘发现数学的小学数学跨领域学习变革行动研究”。在此背景下，学校教师团队一直在跨学科教学、跨领域教学理念下进行自己的思考与探索。本案例是安排在苏教版数学六年级下册“比例”单元后的一节拓展课，试图通过学生探究学习的方式开展数学跨学科主题学习。

通过动手操作、小组合作完成“魔术揭秘”，尝试用转化和比例等知识分析图形问题，选择恰当的方法计算“视觉误差”中关键的线段长度；在揭秘探究魔术的过程中，经历解决问题的一般过程，进一步培养学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，形成初步的应用意识和创新意识；在揭秘魔术和解决问题的过程中，体验成功的乐趣，感受数学在实际生活中的应用，感悟数学的价值。

一、初探魔术，引发思考

（一）展示魔术，激活思维

师：老师的女儿最近学了一个魔术，说是可以让巧克力永远也吃不完，你们想看吗？（播放视频）

师：巧克力真的永远也吃不完吗？为什么看上去还是一整块呢？

生1：巧克力肯定能吃完。

生2：虽然看上去还是一整块，但巧克力的体积变小了。

师：这个魔术的奥秘在哪里？如果把它当作一个数学问题，你觉得可以怎样研究？

生3：我们可以拿一块巧克力做实验。

生4：用纸代替巧克力，剪一剪，拼一拼。

师：大家想到了很多办法，我们就从“魔术还原”开始思考，通过分析揭秘魔术。

（二）小组合作，还原魔术

师：请大家打开1号信封，开始还原魔术。

（同桌合作，剪一剪、拼一拼还原魔术）

师：巧克力真的吃不完吗？谁来展示你的作品？

（学生展示不同拼法，见图1、图2。）

小结：虽然拼法不同，但都能表明巧克力已经发生了变化。

【思考】从有趣的魔术过渡到数学问题，突出数学学科的价值，激发学生的积极性。引导学生在真实探究的过程中发现问题，经历将巧克力抽象成长方形的过程，通过动手操作呈现两种不同的图形，明确本课的研究对象：空间形式和数量关系，进而提出问题，启发学生进一步思考巧克力看似不变背后的原理。

二、抽象概括，探究规律

（一）深入思考，聚焦奥秘

师：重新拼组后的巧克力和原来比哪里变了？

生1：巧克力的体积变小了，长方形的面积变小了。

生2：面积变小，是因为长方形的长变短了。

指出：现在再看这个魔术，我们就知道巧克力的长变短了，问题就出在这里。

（播放魔术揭秘视频，提出新问题：巧克力的长短了多少？）

（二）推理论证，形成方法

师：为方便研究，我们把巧克力抽象成边长为1的正方形，你能尝试用不同的方法计算巧克力的长减少的长度吗？研究时，你可以走下座位和同学一起讨论，也可以直接求助老师。请打开2号信封，开始研究。

1.讨论方法一——用面积算：1÷5=0.2

追问：你怎么知道长方形的面积是1？

生：吃掉的巧克力是边长为1的小正方形，所以巧克力减少的面积就是1。

师：谁再来说一说，这里的1表示什么？5呢？

生：1表示长方形的面积，5表示宽，长方形的面积除以宽就是长方形的长。

沟通：联系图1想一想，这个1除了是长方形的面积，其实也是谁的面积？为什么？这时5表示什么呢？

生：1也表示平行四边形的面积，平行四边形的面积除以高就是平行四边形的长。

比较：两种拼法看似不同，其实在思路上有什么相同之处？

小结：两种方法其实都是把小正方形的面积转化成长方形或者平行四边形的面积，利用面积除以高，得到底边的长。

2.讨论方法二——用解比例的方法计算

生：还可以用解比例的方法来计算。

师：听着不错，从哪里可以找到有比例关系的边呢？

生：我们从这两个三角形（见图3）上找数据。（板演方法）

解：设小三角形的高为x。

5∶4=1∶x

5x=4

x=0.8

师：为了看得更清楚，我们把这组三角形移出来，标上数据。请大家也尝试一下用解比例的方法来计算。

校对：x=0.8，那么上面少的这条边就是0.2.

（三）链接教材，总结提升

师：刚才我们是从哪里找到比例关系的？

生：从两个三角形中找到了有比例关系的线段。

指出：数学上我们把这种大小不等但形状相同的三角形叫作相似三角形。

师：算一算这里大、小三角形底和高的比值，你有什么发现？

指出：相似三角形对应底和高的比值相等。刚才我们就是利用相似三角形的这个特点，用解比例的方法解决问题。

链接：关于相似三角形，升入初中后我们还会进一步深入学习。其实我们在六年级下学期就曾接触过类似的知识，你知道是哪部分的内容吗？

介绍：在学习图形的放大和缩小时，我们就做过这样的练习（见图4）。把图A按比例缩小得到图B，再按比例放大得到图C。这里的三角形就是相似三角形。

4.把图A按比例缩小得到图B，再按比例放大得到图C。从图中选择两组数据组成比例，并用比例的基本性质进行检验。

总结：利用面积和比例，都能算出切割重组后的巧克力的长少了0.2，面积减少了5×0.2=1，也就是被吃掉的那块巧克力的面积。面对这样的“数学魔术”，当我们的眼睛难以辨别时，数学知识就可以大显身手了。

（四）回顾反思，发展素养

师：回顾解决问题的整个过程，我们是怎样抽丝剥茧，揭秘魔术的？

生1：我们利用有限的材料还原魔术，从数学的角度展开观察。

生2：小组合作，用不同的方法计算巧克力减少的部分，用数学知识进行思考。

生3：我们是用数学的方法和语言揭秘魔术的。

师：事实上，很多看似不可能的问题都可以用数学方法来解决。老师这里还有一个魔术，你敢挑战吗？一起来看。

【思考】从等积变形到用比例思考线段之间的关系，让学生综合应用所学的数学知识解决问题，体会数学知识的价值，感受积极思考的意义。引导学生在主动的探究活动中用数学的眼光观察问题、在真实的思维进阶过程中用数学的方法思考分析，逐步养成用数学的语言表达和交流的习惯，形成初步的应用意识和实践能力。

三、挑战提升，应用规律

（呈现新魔术：64=65？）

师：刚才发生了什么？64会等于65吗？我们可以怎样来破解魔术？

生1：找一张方格纸，按照魔术过程操作看看。

生2：其中肯定出现了小问题，我们可以去算算比例关系。

小结：请打开3号信封，先剪一剪、拼一拼还原魔术，找到问题后再算一算。

交流：能拼成长方形吗？

生1：能，我拼成了一个长方形。

生2：不能，拼成的图形中间有一条缝。

师（追问生1）：现在你觉得呢？

生1：他肯定是剪得不好，所以有缝。

师：是的，操作过程中会存在误差，还有更有力的证据吗？

生3：我们可以通过计算来说明。

师：你算了哪条边的长度？请你上台说一说。

生3：我算的这条边，是用解比例的方法算的。（见图5）

解：设小三角形的高为x。

8∶3=5∶x

8x=15

x=1.875

师：为什么你想到算这条边的长呢？

生：因为这里有些边的长是确定不会有问题的，所以我想到要求它的长度。如果算出来是2，说明中间没有缝。现在算出来不足2，说明中间肯定存在缝隙。

师（追问生1）：现在你同意吗？

生1：同意了。

师：除了用解比例的方法，还有其他不同方法吗？

生4：还可以计算两个三角形底和高的比值，说明这两个三角形的斜边并不在一条直线上。

师：还有其他不同的研究思路吗？时间关系，感兴趣的同学可以课后再研究。

师：以前我们总说“耳听为虚，眼见为实”。现在你还这样想吗？眼睛会欺骗你，但什么不会？通过今天两个数学魔术的揭秘，你有哪些收获？

【思考】通过第二个魔术的检验，培养学生综合应用所学的知识解决更复杂问题的能力。在此过程中，强调学生的主体地位。通过合作学习和生生交流，进一步激发学生的探究欲望，开展有目的、有步骤、有合作、有反思的小组活动，培养学生严谨认真、质疑问难的批判性思维，帮助其形成实事求是的科学态度。

四、跨越课堂，感悟价值

像这样利用了数学原理的错觉现象还有很多，在数学家和艺术家的眼中，很多奇特的设计正来自这些让人产生错觉的创意中。

正因这些奇特的创意，一些在三维立体中不可能存在的事物，被一一绘制到了二维平面上，不可能变成了可能。比如永远走不完的楼梯——彭罗斯阶梯（见图6），永远不可能的三角形——彭罗斯三角（见图7）。

这些创意不只是出现在艺术家的画纸上，其实它们在各行各业都有着广泛的应用。

（播放视频：《神奇的莫比乌斯带》）

师：神奇的莫比乌斯带是在数学家们经历了不断的猜想、实验、失败、再挑战的过程中诞生的，现在它的升级版克莱因瓶——号称永远装不满水的瓶子，已成为数学家们研究的对象。你能看出它的玄机吗？期待着同学们将来也能像数学家一样，利用数学知识，创造更多的奇迹。

【思考】学习的最后，教师带领学生跨越数学，跨越课堂，来到另一个生活领域，感受数学与科学技术之间、数学与社会生活之间的联系。学生经历数学知识的发生、发展和应用的全过程，体会数学发展的每一次创新都经历了曲折的过程，启发学生学以启思、学以致用，初步感受数学家精神，培养使命感和责任感，实现学科育人。