模式思想对代数教学意义的探讨

曹一鸣　王竹婷

几何与代数是数学中两个最经典的分支，是数学方法与思想的重要源泉，也是中学数学教学的基本内容.古典的综合几何（欧氏几何）曾统治数学及其教学有2000年的历史.随着解析几何的诞生，把分析的方法（代数方程）引进几何研究，使得初等几何的问题代数化、形式化，从而为数学研究的程序化、机械化、模式化奠定了基础.更进一步，数学的代数化成为20世纪数学发展的一个重要特征1.代数在从其他领域汲取新思想、新方法的同时，不断深入到数学的其他领域以及数学之外的领域，这是由于它的方法与结果形成一种一般模式具有广泛性.从某种意义上讲，数学就是一种模式的科学，正是由于这种代数模式的推动，促进了许多新学科相互交织发展.因此，代数不再被看成是解决一些技巧性很强的个别支离破碎的问题和没有意义的符号游戏，而是由“代数思维”贯穿的整体，这种代数思维的一个很重要的特征就是模式，已经延伸到几何、概率等领域.因此，代数思维已经成为数学教学的基本话语，代数思维的教学是学生在数学及其他领域获得成功经验的必要准备.2

代数教学在我国已有一定的重视，但是对于将代数作为一种数学中的“核心思想（big idea）”的教学进行研究则相对较少.对几何教学以及逻辑思维则视为数学的“核心思想”而忽视了对代数思维的研究.在国际上已经有很多学者对代数思维展开了深入的讨论、研究.主要集中在以发展学生的代数思维这一理念下提出的，旨在通过对代数核心思想的教学，让学生获得对代数整体性认识和概念性理解，将课程被割裂的代数知识整合起来，并将代数与几何及其他学科紧密联系3.特别需要提及的是全美数学教师理事会（NCTM）关于“为每个人的代数”的报告，促使越来越多的数学教育专家关注于代数思维的教学研究，并明确提出将代数核心思想作为贯穿中小学代数教学的主线.4

目前，对代数思想中的核心思想究竟包括哪些，众说纷纭，Randall I. Charles在NCTM 2005年会上归纳的10个代数核心思想具有一定的代表性：数、运算方法和关系、性质、比例、等价、比较、变量、模式、关系和函数、方程和不等式.相关的研究表明，模式作为代数核心思想之一已受到普遍的认同和关注.模式是指现实或数学情境中的数学形式，它必须能够反映出某类事物的关系结构.本文以“模式”为例，对代数核心思想进行探讨，旨在为我国的核心思想的教学提供借鉴和启发.

1 模式的概念界定

人们通常使用的“模式”一词，来源于“模型”.“模”包含了实物模型的意义，“式”包含了形式、样式的意义，“模式”一词便兼有实物和形式的意义5.对于作为代数核心思想的“模式”一词，主要有以下几种不同的观点：

①Randall I. Charles在NCTM 2005年会上，提出模式作为10个代数核心思想之一，是指一些数学情境中的数字和对象，可被用来定义关系和进行概括，是将现实情境和数学问题联系起来的桥梁.

这一观点，是本文最初的出发点，虽对“模式”做出的定义比较笼统，但揭示出了“模式”是来源于“情境”中，需要人们进行理性思维和提炼才能认识.正是由于它这种与“情境”的渊源和蕴涵的理性思维的性质，使得它成为将二者紧密连接起来的关键.

②刘长明、孙连举在对全美数学教师理事会2000年公布的《美国学校数学教育的原则和标准》（以下简称NCTM2000《标准》）进行分析中，认为“模式指的是存在于现实情境中的数量形式，关系指的是模式中的数量之间的联系，函数是对关系的抽象概括，是模式中的一种”6.

虽然“理解模式、关系和函数”是NCTM2000《标准》中贯穿13个年级的代数教学的主题之一，但它并没有对“模式”做出明确的定义或说明.刘长明、孙连举的分析，进一步阐明了“模式”是“数量形式”.但对“数量形式”这一说法，目前从数学哲学观点看还存在着一些争议.

③徐利治、郑毓信教授认为，数学模式是指“按照某种理想化的要求（或实际可应用的标准）来反映（或概括地表现）一类或一种事物关系结构的数学形式.当然，凡是数学模式在概念上都必须具有一义性、精确性,一定条件下的普适性及逻辑上的演绎性.”7

这一观点是从数学哲学的角度对“模式”进行了界定，较之前两个观点更抽象，是更一般的“模式”，不仅包括内容上的“模式”，而且还包括数学方法以及思维的“模式”.作为本文对象的“模式”是要求学生掌握的代数核心思想之一，是学生认识规律的方法，不研究作为方法以及思维的“模式”的性质.这一观点所界定的“模式”反映事物的“关系结构”比“数量形式”的说法更加明确，也与观点①更为接近.

综合考虑以上观点，本文采取的观点是，模式是现实或数学情境中的数学形式，它必须能够反映出某类事物的关系结构.

2 模式思想对代数教学的意义

2.1 有助于学生获得概念性理解

我国《普通高中数学课程标准（实验）》（以下简称我国高中《标准》）中倡导让学生获得概念性理解.NCTM2000《标准》则将强调概念性理解和理解模式贯穿始终.以模式为代数核心思想之一的代数教学有助于学生获得概念性理解.

代数作为数学最主要的分支之一，是以代数结构作为研究对象的一门学科.所谓代数结构，就是指带有一个或多个代数运算并且满足一定运算规则的非空集合.学生从小学、中学到大学，正是以“感性”或“直观”概念作为特例，逐步地拓展范围，逐步地提高抽象层次.代数学这种高度抽象的理论与方法，较之其他数学分支尤为明显.高中阶段代数领域的学习与初中比较，有进一步符号化、知识点多、进度快的特点.学生在初中初步接触符号化，从用字母表示数开始，逐步学习变量、代数式、方程和函数变量说的概念.进入高中阶段，重新定义函数,研究函数的性质、典型函数的特点都要用到符合化的语言，公式的推导也要求能够进行纯粹的符号运算而且推理更加严密.如数列部分，大量的符号本身就已经成为学生学习和教师教学的一个难点.因此，在高中代数教学中，使学生摆脱机械的操作与记忆，获得概念性理解就显得尤为重要了.而要获得概念性理解，就要深入理解研究对象的结构和本质，模式正是对事物关系结构的反映.

2.2 有助于代数学习与现实生活的联系

在对模式进行的概念分析中，我们已经看到，模式正是来源于情境中，是将代数与现实世界联系起来的桥梁.荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔提倡要让学生学习多方面联系的数学，这包括数学内部的联系以及数学与外部的联系两方面.数学内部的联系使得数学构成统一的整体，数学与外部的联系对学生来说却是“更自然与更重要的”，而且为了教有联系的数学“还是应该从数学与它所依附的学生亲身体验的现实之间去寻找联系”8.中国高中《标准》代数部分中在每一部分都要求提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，以激发学生学习代数的兴趣，增强学生的应用意识.同时，随着对数学本身的不同理解，数学不再单单是“思维的体操”，而且它的工具价值越来越受到重视.学生不仅要借助现实情境来理解代数，而且要在情境中体会数学的用途，为适应社会和选择不同职业作好准备.

2.3 有助于发展学生的抽象概括能力

代数的高度抽象性是其显著特征之一.12到18岁的中学生正处在抽象思维迅速发展的时期.因此不能仅仅看重中学生数学创新、发散等思维能力的发展，也要重视抽象思维能力的培养，否则将事倍功半.就高中代数内容而言，抽象程度与初中相比显著提高.对于高中学生来说，抽象概括能力也应在代数学习中得到提升.

在代数思维的理论框架中，模式属于基本思想中的学习方程和数学建模的工具，与属于代数思维工具中的概括相互对应.适当的模式可以给学生提供观察和口头概括的机会，进而用代数符号记录结果.学生在对所给情境中的隐藏的模式进行识别或是建构的过程中，实际上就是在进行思维抽象层次的提升，模式分析则又是一次抽象层次的提升.如NCTM2000《标准》中，给出了三个不同的问题情境后，分别要求学生建构其中的模式，发现函数表达式，这是对现实问题的一次抽象.在这个基础上，又要求学生比较这些函数（也就是在比较这些模式内部或不同模式之间）的相同点和不同点，比如增减性或增长率等，这又是一次抽象.这样的过程，才可以使学生的思维上升到一定高度.

参考文献

［1］ 张继平主编．新世纪代数学［M］．北京：北京大学出版社，2002：2

［2］ Kriegler, S. (2001). Just what is algebraic thinking? submitted for algebraic concepts in the middle school ［J］. A special edition of Mathematics Teaching in the Middle School

［3］ Woodbury, S. (2000). Teaching toward the big ideas of algebra ［J］.Mathematics Teaching in the Middle School, Vol.6, Dec2000:226-229

［4］ 曹一鸣，王竹婷，数学“核心思想”代数思维的教学研究［J］，数学教育学报，Vol.16, No.1, 2007:8-11

［5］ 曹一鸣著.数学教学模式导论［M］.北京:中国文联出版社,2002：33

［6］ 刘长明,孙连举.中美初中学段“数与代数”领域内容标准的比较研究［J］.数学教育学报, Vol.13, No.4, 2004: 45-48.47

［7］ 徐利治. “数学模式观”与数学教育及哲学研究中的有关问题［A］，徐利治论数学方法学［C］，济南:山东教育出版社,2001：124

［8］ ［荷兰］弗赖登塔尔著.陈昌平,唐瑞芬等编译.作为教育任务的数学［M］.上海：上海教育出版社,1995：74

作者简介 曹一鸣，北京师范大学数学科学学院教授，博士生导师，兼任中国数学会教育工作委员会副主任，全国高师数学教育研究会秘书长.