抓住新教材的“闪光点”

在苏教版（江苏省）2005年的普通高中课程标准实验教科书数学选修2-1中选录了常用逻辑用语这一章节，教学内容与人教版2000年全日制普通高级中学教科书数学第一册（上）中选录的简易逻辑这一节相对应，其中新教材添加全称量词与存在量词这一节内容.本人通过这两套教材的教学经历，发现新教材所添设的全称量词与存在量词这一节内容是新课程在简易逻辑这一章节中内容变化的一个亮点，它的出现使学生能比较方便的解决以往思维上对某些复杂命题的判断上产生的疑惑，也帮助了我们教师更能从容地培养学生完善的逻辑思维.

案例：在去年，本人听了一节高三（江苏省人教版教材的最后一届高三，恰逢新课程第二届开始）一轮复习课，复习内容是简易逻辑.在课堂教学进程中，教师举了一个例子：

例题：写出a>1a2>1的逆命题、否命题、逆否命题以及每一个命题的否定，并判断其真假.学生很快回答并由老师在黑板上写出了如下结果：

（1）原命题：a>1a2>1，

命题的否定：a>1a2≤1；

（2）逆命题：a2>1a>1，

命题的否定：a2>1a≤1；

（3）否命题：a≤1a2≤1，

命题的否定：a≤1a2>1；

（4）逆否命题：a2≤1a≤1,

命题的否定：a2≤1a>1；

下面绝大部分学生判断以上每个命题的真假，

（1）原命题：a>1a2>1， 真

命题的否定：a>1a2≤1； 假

（2）逆命题：a2>1a>1， 假

命题的否定：a2>1a≤1； 假

（3）否命题：a≤1a2≤1， 假

命题的否定：a≤1a2>1； 假

（4）逆否命题： a2≤a≤1, 真

命题的否定：a2≤1a>1； 假

教师对此结果似乎也比较满意，准备进入下一个例题，这时，班上一位眼尖的学生发现了问题，于是提问：“（2）、（3）中命题与命题的否定形式怎么会同假，这和p与非p的真值表相矛盾了嘛，不是说p真的话非p就假，p假的话非p就真啊.”其他学生也开始有了困惑，这位教师（没有教过新教材）也发现了是有问题，但作为多年在高三教学应变能力还是有的，于是他开始引导学生就这一问题进行分组合作讨论.最后有一小组得到这样一个结果：

（2）逆命题：a2>1a>1应该看成p或q的命题形式，即为“a>1或a<-1a>1”，最终形式为“a>1a>1或a<-1a>1”应该是真命题，这样就解决了矛盾. 但是，立刻有另外的小组起来反对：“按照这个思路，那么（2）的否定形式a2>1a≤1也可以看作p或q的命题形式，即为“a>1a≤1或a<-1a≤1”也是真命题啊，那不又都是真命题了吗，况且用这个方法也无法为（3）自圆其说啊.”

经过这样一番周折，已近下课，任课教师只能草草收场，准备在以后的教学过程中再来解决这个问题.应该说我们的学生是非常善于思考的，就这一问题看，学生有发现、有创造、也有疑惑.那么为什么会发生这种情形呢，难道是我们的逻辑体系有问题，导致了悖论，是在命题判断上有问题，还是这个例子本身有问题？

反思一：由于我们数学教师受专业影响，总喜欢最好全部用数学符号来替代我们的语言表述，造成了黑板上呈现的数学表达式给大家带来理解上的歧义.这个命题的提出，实质上是含有全称量词和存在量词的命题.正确的表述形式及判断如下：

（1）原命题：衋>1a2>1， 真

命题的否定：鯽>1a2≤1； 假

（2）逆命题：衋2>1a>1， 假

命题的否定：鯽2>1a≤1； 真

（3）否命题：衋≤1a2≤1， 假

命题的否定：鯽≤1a2>1； 真

（4）逆否命题：衋2≤1a≤1, 真

命题的否定：鯽2≤1a>1； 假

这样表述就不会发生自相矛盾，实际上，在老教材的简易逻辑教学过程中，对于“a2>1a>1”这种书写形式我们绝大部分数学教师都写过，包括现在也是，我们学生包括一般人都会自然地理解为“对于任意的、所有满足a2>1的a能推出a>1”，而对于它的否定，又同时会错误地理解为“对任意的、所有满足a2>1的a推出a≤1”，导致“悖论”，引起学生困惑.这不足为奇，因为老教材没有提出量词的概念，我们教师在教学中一般会回避此类问题，老高考中也回避了数学逻辑体系有时会与我们中文语言理解发生歧义的情况.通过这个案例，我们可以看到，新教材就这一内容的完善，根除了数学逻辑体系与中文语言理解发生歧义的情况，用量词来完善中学阶段的简易逻辑体系，有助于学生更透彻地理解教学内容，有助于他们解决问题，并不致发生歧义.

反思二：其实，这个案例，我们还可以从另外一个角度去理解：

（1）原命题：鯽>1a2>1， 真

命题的否定：衋>1a2≤1； 假

（2）逆命题：鯽2>1a>1， 真

命题的否定：衋2>1a≤1； 假

（3）否命题：鯽≤1a2≤1， 真

命题的否定：衋≤1a2>1； 假

（4）逆否命题：鯽2≤1a≤1， 真

命题的否定：衋2≤1a>1； 假

现在大家可以看到，对于“a>1a2>1”学生在理解和判断上没有什么问题，但它的变换命题就有可能使学生在理解上产生歧义；对于“衋>1a2>1”和“鯽>1a2>1”命题本身以及它们的变换命题，学生在理解上就不会产生困惑了，这就是量词作出的贡献.

反思三：那么，高三的这节复习课提出这样的例题是否恰当呢？这还是要辩证地来看；应该说这个例题引起了大部分学生的思考，带来了困惑，以此也激发了学生的探究精神，这是好的一面，当然，由于老教材中没有全称量词和存在量词的教学内容，针对高考，那么在这提出此类命题的否定形式确实是不恰当的，可以在研究性学习中进行.

反思四：由于我们的学生有着应试的压力，因此我们大部分数学教师在教学过程中只是通过大量的例题、习题让学生去简单机械的“学会”判断命题的真假，“学会”表述四种命题的形式，“学会”判断两个命题之间充要条件方面的关系，以应付解题.学生对简易逻辑在逻辑学的知识背景上缺乏了解，在逻辑上的一些常用的逻辑判断词、联结词、量词上经常会产生西方逻辑学与我们东方逻辑语言语境上的一些“冲突”，使他们在这一章节内容上的理解是不深刻的、模糊的.

苏教版新教材在简易逻辑内容上作出的新的安排及改进，比起老教材是一大进步，它根除了以往教学过程中可能出现的歧义，把语言和符号完美地结合在一起，完善了中学阶段的逻辑体系，很好地解决了教师以往回避的问题.从今年开始，我们所有学生都进入了新课程，为了学生能比较轻松的学好这一段内容，我想我们教师可以做到以下几点：

建议一：我们自身学习的同时可以给学生介绍一下逻辑学的数学历史背景.逻辑学是一门古老而又年轻的科学.中国的名辩、印度的因明、西方的逻辑，三大逻辑流派各自独树一帜，自成体系.在现代逻辑学的发展上，相继取得了三个划时代的成果：歌德尔不完全性定理，塔斯基形式语言真理论，图灵机极其应用理论，而我们可以让学生去看一些此方面的资料，以了解西方与东方逻辑语言上的差别与联系.进一步把我们所要学习的数理逻辑与自然语言的逻辑联系起来.

建议二：在逻辑的教学中，一定要谨慎，不要想当然，随意出题，多斟酌；我们有机会也可以多和语文老师沟通，探讨语言、语法结构上的判断词、联结词、量词与数学语言的差别和联系，在一些命题的表述过程中将文字语言与数学符号有机地结合起来使用，便于学生理解.

建议三：教学过程中，不要只对学生进行大规模的训练，应多注意培养、提高学生转换命题与构造命题的能力，学生能在自己的创造过程中发现问题，以此激发探究的激情，有助于完善他们对客观世界的理性认识，并能逐步提高他们对事物的判断能力.

总之，新教材的众多闪光点，我们将在渐进的教学过程中逐步体会到，我们要利用好新教材中的这些闪光点，不要穿新鞋走老路，要穿新鞋走新路，让我们的学生学得轻松一点、出色一点.

个人简介 陈伟斌，出生于1976年5月4日，无锡市第六高级中学，中学数学一级教师，有多篇文章在省级以上刊物发表.

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