数学实在性的不可或缺性论证

康仕慧

(山西大学科学技术哲学研究中心,山西太原 030006)

数学实在性的不可或缺性论证

康仕慧

(山西大学科学技术哲学研究中心,山西太原 030006)

不可或缺性论证是运用“数学对于科学的不可或缺性”对数学实在性的一种新的数学实在论辩护,其依据的前提是科学自然主义、确证整体论和本体论承诺原则。通过对不可或缺性论证的分析,我们得出“蒯因的科学自然主义是一种不彻底的自然主义,数学知识的确证不依赖于经验,数学实体的本体论承诺与科学自然主义之间存在不一致”。因而,不可或缺性论证对数学实在性的辩护并没有取得成功。

数学实在论;不可或缺性论证;科学自然主义

自美国哲学家贝纳赛拉夫 (Paul Benacerraf)的《数学真理》(Mathematical Truth)一文发表以来,以弗雷格为代表的数学柏拉图主义解释遇到了严重的认识论挑战。既然数学柏拉图主义者声称:抽象的数学对象存在,数学真理是关于这些数学对象的准确而真实的描述,那么处于具体因果时空之内的数学家是如何认识到这些遥不可及的非时空的数学对象及事实的呢?这是一个极为棘手的问题,因而它直接威胁到了数学实在论。为了对数学实在论进行辩护,数学哲学界出现许多新的数学实在论形式,其中由美国哲学家蒯因 (W.V.Quine)和普特南 (Hilary Putnam)提出的数学实在性的不可或缺性论证(IndispensabilityArgument)就是其中之一。

一 数学实在性的不可或缺性论证及策略

数学实在性的不可或缺性论证起源于蒯因。值得注意的是,虽然蒯因被认为是不可或缺性论证的开创者,但是在他的著作中却找不到明显关于“不可或缺性论证”这个专门术语或者论题的阐述和辩护。真正把蒯因为数学实在论辩护的思想称之为“不可或缺性论证”的首位哲学家是普特南。他在其论文《逻辑哲学》中提到:“数学实体的量化对于科学而言是不可或缺的,这里的科学包括形式科学和物理学;因此,我们应该接受这样的量化;但是这就使得我们承诺了接受这些数学实体的存在。这类论证当然起源于蒯因,他多年来既强调对数学实体进行量化的不可或缺性,又强调否认人们日常所预设事物的存在在智力上是不诚实的。”[1]并且普特南本人也主张,“数学和物理学以这样的方式交织在一起,成为关于物理理论的实在论者,同时又是关于数学理论的唯名论者,这是不可能的。”[2]所以,我们应该接受关于数学实体存在的承诺。这样,借助于数学实体在科学中的不可或缺为数学的实在性进行辩护,一般就把这种论证称为“数学的不可或缺性论证”。

如上所述,虽然蒯因没有明确地为数学实在性的不可或缺性论证进行过阐述,但是通过分析蒯因的整个哲学思想,我们可以发现蒯因的不可或缺性论证的具体策略如下:

(1)探究实在世界的最佳理论是我们的科学理论;(科学自然主义)

(2)科学理论的证据在整体上确证整个理论(其中包括数学理论),而不是确证单个假说。(确证整体论)

由科学自然主义和确证整体论 (confirmational holism)可以得到:

(3)我们相信由成功的科学理论的本体论陈述承诺的实体存在;

(4)本体论承诺原则:存在就是约束变项的值; (本体论承诺)

(5)我们的科学理论的本体论陈述中变项值域中的值不仅包括物理对象,而且包括数学对象;

因此,根据上述的所有前提条件,数学实体的实在性得到确证,即:

(6)科学的成功确证了数学实体的存在。

很显然,蒯因的上述论证是以他的自然主义、确证整体论和本体论承诺原则等主要的哲学洞见为前提的。简单地说,蒯因的不可或缺性论证的核心主张是:数学对于科学的不可或缺性确证了数学实体的存在。雷斯尼克 (Michael Resnik)也认为蒯因的不可或缺性论证是在他的自然主义和整体论的框架中提出来的,因此,雷斯尼克把该论证称之为“整体论 -自然主义的不可或缺性论证”[Holis m-Naturalis m(H-N)Indispensability Argument]。其核心主张为:“第一,数学是自然科学不可或缺的一个组成部分。第二,这样,按照整体论,我们所拥有的关于科学的一切证据恰好也是科学所预示的数学对象和数学原理的证据,同样也是其他科学理论体系的证据。第三,根源于自然主义,数学为真,并且数学对象存在的理由也是经科学证实的其他实体存在的理由。”[3]对于蒯因而言,“何物存在”的唯一仲裁者是自然科学,由于数学实体的承诺对于科学理论不可或缺,从而抽象数学实体存在。总之,蒯因的不可或缺性论证以他的科学自然主义、确证整体论和本体论承诺原则为前提。

(一)数学实体的存在标准:科学自然主义

如果从字面上看,数学中大量的陈述在本体论上承诺了各种数学实体,比如,“2是素数”、“存在处处不可微的连续函数”、“两点之间有一条且只有一条直线”等等。问题是,数学陈述中承诺的这些实体存在吗?我们如何能知道数学是否描述了一个实在世界?这样的问题才是我们的哲学探究所关心的。要得到该问题的答案,按照蒯因的标准,自然主义的解释方案是最佳策略,即通过科学的方式来回答,不需要任何超越科学之外的形而上学探索。这是因为自然科学是实在的唯一和最终仲裁者。

蒯因的科学自然主义主张:“放弃第一哲学的目标。自然主义把自然科学看作是对实在的一种探究,自然科学是可错的和可纠正的,但是它不对任何超科学的法庭负责,并且不需要超越于观察和假说-演绎方法之上的任何辩护。”[4]这样,如果我们要确定数学实体的实在性,就需要依赖于经验的自然科学。我们看到,蒯因的自然主义强调的是,“不存在第一哲学和与科学事业连续的哲学事业。被这样解释的科学 (即把哲学作为一个连续的部分)被视为世界的完备叙述 (story)。自然主义起源于对科学方法论的一种深深的尊敬和承认,这种方法论在作为回答关于事物的所有本质的基本问题的一种方式时所表现出的不可否认的成功。”[5]因此,要确证数学实体的实在性就需要诉诸确证科学理论在探索实在世界时表现出的成功。这样,数学实体的确证就转移到了证据对于数学和科学的整体确证的要求上,即“确证整体论”。

(二)数学实体存在的确证:确证整体论

既然传统的本体论和认识论问题已经交给了科学,那么数学实体是否存在的本体论探究和如何确证数学实体存在的认识论说明就应该通过科学的方式加以回答。按照蒯因的经验主义,科学理论的确证最终依赖于我们的经验证据。同时,蒯因的整体论强调:“我们关于外在世界的陈述不是个别地而是仅仅作为一个整体来面对感觉经验的法庭。”[6]42因此,上述思想形成了蒯因所谓的“确证整体论”。现在我们具体考察蒯因是如何用确证整体论的思想对数学实体的存在进行确证的。

首先,蒯因所谓的“科学”不仅包括自然科学,而且还包括数学。他在《经验论的两个教条》中写道:“全部科学,数学、自然科学和人文科学,是类似地但是更为极端地被经验所不充分决定。这个系统的边缘必须与经验保持一致。”[7]因而,由经验确证的科学理论自然包括数学在内。他把全部科学作为整体看作一个信念的网络,数学和逻辑处于网络的中心。整个信念网络的系统接受经验的检验,当与经验发生冲突时,就优先修改离经验较近的系统边缘的陈述,直到与经验一致。当整个系统能够说明或者较好地解释经验时,科学就被认为是成功的。

其次,在这个信念之网中,数学与自然科学并没有严格的区分。数学与自然科学共同接受经验的检验和确证。按照蒯因的观点,自然科学中的本体论陈述和数学中的本体论陈述之间的区别仅仅是程度上的区别,而非种类上的区别。蒯因在《论卡尔纳普的本体论观点》一文中明确提到:“在自然科学中,存在着一个从报告观察的陈述到反思 (比如说)量子理论或相对论之基本性质的那些陈述的逐级递进的序列。…本体论陈述,甚或那些数学和逻辑陈述,构成这个序列的进一步延伸…。依我看,区别只是程度上的而不是种类上的。科学是一个统一的结构,原则上它是作为整体的结构,经验所能确证或所能显明其缺陷者不是一对一的作为其构成成分的陈述。”[8]因此,科学理论的陈述中就不仅承诺了像电子、夸克等这样的物理对象,而且还承诺了像数、函数这样的数学对象。事实上,在蒯因看来,数学实体的承诺对于科学而言是不可或缺的。他认为,“我们在科学中想要说的某些东西可能会使我们去承认,在数量关系的变项值域中不仅有物理对象,而且有类和它们之间的关系;同样还有数、函数和纯粹数学的其他对象。因为数学 (不是未经解释的数学,而是真正的集合论、逻辑、数论、实数和复数的代数、微积分等等)最好是被看做科学的组成部分,与物理学、经济学等并驾齐驱,而数学则被说成是在这些领域中获得了应用。”[9]

这样,如果科学理论是作为整体被经验确证的,那么数学作为科学理论的一部分也应该被认为是对实在世界的最佳说明。现在的问题是,我们如何判别整体的科学理论是否承诺了数学对象呢?这就需要第三步,即蒯因著名的判别何物存在的“本体论承诺原则”。

(三)数学实体的识别本质:本体论承诺

“数学对象是否存在”与“我们如何能够知道数学对象是否存在”在本质上是两个不同的问题。蒯因关于数学本体论问题所采取的策略是“语义上溯”,也就是,他并不直接讨论“数学对象是否存在”的本体论事实问题,而是转而通过分析数学理论是否承诺了数学对象存在的认识论问题来间接地对数学的本体论问题作出回答。

数、集合、函数存在吗?这个经典的数学本体论问题由于在经验上得不到确证,曾一度使得逻辑实证主义者和逻辑经验主义者们将其作为无意义的形而上学问题从哲学中排除出去。数学对象本质的哲学探索由此得到压制,然而,一种充分的数学哲学说明的必要条件是必须能够回答“数学对象的本质及其实在性”这个根本的形而上学问题,否则这种说明就是不完备的。由于逻辑 (实证)经验主义者认为事物存在的确证标准是可感知,而抽象数学对象是不可感知的,所以逻辑经验主义者们有充分的理由认为它们不存在。然而,蒯因并不这样认为。

关于“经验”和“存在”的关系问题,蒯因的核心洞见是:事物能够被感知并不是事物存在的真正本质。他论证说:“如果飞马存在,他确实就会一定在空间和时间之中,但这只是因为‘飞马’这个词有空间 -时间的含义,而不是因为‘存在’有空间 -时间的含义。如果我们肯定 27的立方根存在,没有空间

-时间上的所指,这只是因为立方根并不是一种在空间 -时间中的东西,而不是因为我们对‘存在’的使用有歧义。”[6]4关于“何物存在”,蒯因真正关心的是本体论的承诺问题:“当我们想要考察存在的时候,物体由于其可感知性而优于别的对象。但是,我们现在已经转移到了关于下述事情的问题上来了:不去考察存在,而去考察存在的归属问题,即考察一个理论说什么东西存在。这个问题就是:何时可以认为一个理论假定了一个给定的对象,或者一个给定种类中的若干对象,比如说数、数的集合、性质或点,等等。”[10]417-418这样,问题的关键就变为考察一个理论中“存在”一词的真正本质是什么。

在蒯因看来,首先必须明确的是,我们不能通过在一个真陈述中使用了单称词项或者名字就直接宣称该陈述承诺了某个对象。理由是语词的意义和由该语词命名的对象是不同的,我们可以使用没有指称对象的语言,同时该语言是有意义的。比如我们可以不用预设飞马存在而有意义地谈论“飞马”这个语词。因此,“名字对于本体论问题是完全无关紧要的”。[6]13甚至,像“飞马”这样的名字可以通过罗素的策略把其转换为摹状词,摹状词最终又可以被消除掉。因此,本体论许诺的真正本质并非名字。这也就是说,我们不能通过“2是素数”为真和“2”是抽象单称词项来断定“2”指称了抽象的数学对象2。那么,我们通过什么方式可以确定真陈述“2是素数”中承诺了抽象的数学对象 2呢?

如果我们把“2是素数”用符号表示为“Fa”,那么根据罗素的摹状词分析,“2是素数”就可以用一个量化表达式来表示,即“∃x(Fx∧x=a)”。经过这样的处理之后,蒯因主张,“2是素数”中的数字“2”指称 2这个数,当且仅当上述的量化表达式为真。换言之,“为了表明某一给定对象在一个理论中是被需要的,我们所必须表明的事情恰恰就是:为了保持该理论的真理性,那个对象必须处于约束变项所涉及的那些取值之中。”[10]419更一般的,比如我们要考察“存在着 10和 100之间的素数”这个陈述在本体论上承诺了哪些对象,就是要确定使得量化表达式“∃x(Fx∧x>10∧x<100)”为真的那些约束变项所取的值。这样看来,一个理论承诺了哪些对象存在,取决于使该理论为真的、落入约束变项的取值范围内的那些对象。这就是蒯因著名的本体论承诺原则,即“存在就是约束变项的值”。

简言之,通过上述分析,蒯因关于数学实在性的不可或缺性论证始终贯穿于他的科学自然主义、确证整体论和本体论承诺的三个前提中,最终得出了“数学对象存在”的数学实在论结论。图示如下:

图1 “数学对象存在”的数学实在论结论图

二 数学实在性的不可或缺性论证的困难

数学实在性的不可或缺性论证为数学实在论提供了新的辩护,我们现在关心的是:这种不可或缺性论证最终成功了吗?我们已经看到,蒯因的不可或缺性论证的整个背景框架都要依赖于他的科学自然主义。但令人遗憾的是,蒯因在具体实施上述所有三个前提的论证过程中,都或多或少地违背了这一主张,导致他的总纲领与具体的实施策略之间的不一致,最终使得数学实在性的不可或缺性论证不能令人信服。

首先,蒯因的自然主义主张反对“第一哲学”原则,然而,他的整个不可或缺性论证依然保留有“第一哲学”的探讨模式,是一种不彻底的自然主义。一方面,在蒯因看来,对数学的本体论探究应该以自然科学的方式进行,不需要任何超科学的方法,即超越于观察和假说 -演绎方法之上的任何辩护。因此,对数学实体是否存在的探讨自然应该用经验自然科学的方法来直接判定。由于数学对象不能被人类感知到,即使高精密的科学仪器也探测不到 (比如,现有的所有测量工具无论如何都测量不到),因此,像这样的数学对象就不存在。这个结论依赖于蒯因科学自然主义的信念:自然科学是关于实在之本质的最终仲裁者。但是另一方面,蒯因的不可或缺性论证却告诉我们“数学对象存在”。无疑,蒯因的论证是充满矛盾的。他的科学自然主义充其量只能是一种不彻底的自然主义,或者更准确地说,“数学对象存在”无法从科学自然主义的前提中得出。

其次,蒯因的确证整体论主张数学知识要面临经验的确证,但是在实际的数学研究中,数学知识的确证是独立于经验的。具体而言,蒯因的确证整体论认为,数学作为科学理论的一部分,其目的是为了描述实在世界并且要接受经验的检验。当我们的科学理论与经验不符,我们就应该根据经验及时修改科学理论中相应的假说。因而在原则上,数学和逻辑也有被修改的可能性,不存在绝对不可错的知识。但是,实际的情形表明,并没有哪些经验会把以往已经确立起来的数学知识推翻。比如,数学家们一旦断定了“2是素数”,“2是素数”就一直成立,它不会随着外在于数学的经验的改变而改变。同样,直角边边长为 1的等腰直角三角形的斜边长是,这条数学定理不会因为我们在现实中无法测量到而被推翻或者需要修改。因此,面对经验的法庭,已确立的数学知识本身根本不存在需要修改的可能性。

关于蒯因确证整体论的这一缺陷,布朗 (James RobertBrown)也指出应用数学的本质在于对物理世界的表征而非描述。换言之,数学可以被视为物理世界的模型,而并非是对特定物理事实的一种绝对刻画。布朗给出了一个简单的例子 (考虑物理中速度的“加”和数学中的“加”)以表明物理事实不会改变数学概念的意义。比如我们现在设想:如果在一架正在飞行的飞机 (其相对于地面的飞行速度是V)内扔一个其速度为W(相对于飞机)的小球,那么小球相对于地面的速度是多少?这要分两种情形来讨论,如果飞机以高速飞行,那么我们就需要在相对论物理学的框架中来计算小球相对于地面的速度,也就是小球速度和飞机速度的合成:φ(W⊕V) =(φ(W)+φ(V))/(1+(φ(W)×φ(V))/c2)=(w +v)/(1+(wv)/c2);否则小球相对于地面的速度遵循经典物理学的框架:φ(W⊕V)=φ(W)+φ(V) =w+v。布朗论证说:“很显然,这个例子并没有推翻我们以前关于数学加法的信念。实际上,旧的数学‘+’在新公式中起了作用——它仍然是加。相反,我们只是挑出了一个不同的数学结构以作为物理的速度合成的模型。”[11]

除此之外,麦蒂 (Penelope Maddy)也竭力反对数学知识需要由经验来确证。她从真实的数学实践出发,论证了数学家们有一套属于他们自己的确证方式。数学家们对数学公理、定理等的确证无需等到这些公理和定理在成功的科学中找到了应用,而蒯因不可或缺性论证的真正要点恰恰就在于数学在科学中的应用。不仅如此,蒯因坚持的观点竟然和真实的数学家们所持的观点相反。这就是,集合论中的可构成性公理 (V=L)在现行集合论中被普遍拒绝;而蒯因却坚持认为这条公理应该被认可。这显然违背了真实的数学实践。因此,通过科学的确证标准来确证数学是不合理的。

最后,蒯因的本体论承诺标准在本质上是一种逻辑标准或者语义标准,这本身就违反了他的科学自然主义原则。根据蒯因不可或缺性论证的推理,科学理论在逻辑或者语义的意义上承诺了数学实体,如果经验在整体上确证了这个科学理论为真,那么由该理论承诺的数学实体就存在。显然,在蒯因的讨论中,数学实体的“存在”从逻辑或语义的层面转移到了本体论或者形而上学的层面。充其量,自然科学对于数学实体存在的确证也只是一种间接的确证。假设蒯因的论证是成立的,那么蒯因也只是断言了数学实体存在,至于数学实体究竟是一种什么样的存在,或者数学实体是在什么意义上存在的,蒯因并没有给出进一步的说明。这样,蒯因关于数学本体论的说明就是不充分或者不完备的。假设蒯因的论证不成立,这是因为他明确声称“本体论问题是和自然科学问题同等的”,[6]47因此,通过自然科学的方法无论如何都得不出数学实体存在的结论。总的来看,蒯因关于数学实体存在的不可或缺性论证最终不能成立。

三 结语

总的来看,数学实在性的不可或缺性论证主张:“数学对于我们最佳的科学是不可或缺的。我们应该相信我们最佳的科学理论,因此我们应该接受由我们最佳的科学理论所量化的实体。”[12]当然,我们已经试图说明了诉诸数学在科学中的不可或缺性对于数学实在性的辩护是站不住脚的。不过即使如此,我们却不能否认不可或缺性论证对于推动数学哲学进步的重要意义。一方面,它引发了哲学家们继续关注“数学与科学、实在的物质世界之间究竟具有什么样的关系?”这一课题,激起了数学哲学中虚构主义立场的兴起;另一方面,他的科学自然主义的哲学倾向也引发了数学自然主义的诞生,将哲学家们引向深入思考数学哲学研究范式的根本问题,比如“数学的哲学探讨与科学、数学探讨之间的联系和区别”、“第一哲学、科学自然主义和数学自然主义研究倾向的适当性问题”等等。无论如何,数学实在性的不可或缺性论证的影响是深远的,而且“数学对于科学的不可或缺性”本身依然是当代数学哲学研究领域中一个需要深入研究的课题。

[1]Hilary Putnam.Philosophy of Logic[M].Hilary Putnam. Mathematics,Matter and Method. Second edition.New York:Cambridge University Press,1979:347.

[2]Hilary Putnam.What isMathematical Truth?[M]//Hilary Putnam.Mathematics,Matter and Method.Second edition.New York:Cambridge University Press,1979:74.

[3]Michael D.Resnik.Quine and the Web of Belief[M]// Stewart Shapiro. The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic. New York:Oxford University Press,2005:430.

[4]W.V.Quine.Theories and Things[M].Cambridge, Mass:Harvard University Press,1981:72.

[5]Mark Colyvan.The Indispensability of Mathematics[M]. New York:Oxford University Press,2001:12.

[6][美]蒯 因.从逻辑的观点看[M].陈启伟,江天骥,张家龙,等译.北京:中国人民大学出版社,2007.

[7]W.V.Quine.From a Logical Point of View[M].Second edition.Massachusetts:HarvardUniversity Press,1961:45.

[8]蒯 因.论卡尔纳普的本体论观点[M]//涂纪亮,陈波.蒯因著作集:第 5卷.北京:中国人民大学出版社, 2007:204.

[9]蒯 因.科学的范围和语言[M]//涂纪亮,陈 波.蒯因著作集:第 5卷.北京:中国人民大学出版社,2007:232-233.

[10]蒯 因.存在与量化[M]//涂纪亮,陈 波.蒯因著作集:第 2卷.北京:中国人民大学出版社,2007.

[11]James Robert Brown.Philosophy of Mathematics:A Contemporary Introduction to theWorld of Proofs and Pictures [M].Second edition.New York:Routledge,2008:61.

[12]Paolo Mancosu.The Philosophy of Mathematical Practice [M].New York:Oxford University Press,2008:136.

Indispensability Argument for the Reality ofMathematics

KANG Shi-hui
(Research Center for Philosophy of Science and Technology,Shanxi University,Taiyuan030006,China)

Indispensability argument is a new form of mathematical realis m,which tries to defend for the reality of mathematics by using"mathematics’indispensability to science".This argument derives from Quine’s scientific naturalism,confirmational holis m and ontological commitment.By analyzing indispensability argument,this article concludes thatQuine’s scientific realis m is an incomplete naturalis m,that the confir mation ofmathematical knowl

edge dose not depend on experience,and thatmathematical entities’ontological commitment is not consistent with scientific naturalis m.So indispensability argument failed to defend for the reality ofmathematics.

mathematical realism;indispensability argument;scientific naturalism

book=1,ebook=271

N02

A

1000-5935(2010)03-0001-05

(责任编辑 李雪枫)

2010-02-22

国家社会科学基金青年项目“数学的本质与实在世界:一种语境论世界观的哲学探索”(09CZX013);教育部人文社会科学研究基金青年项目“基于数学实践的当代数学实在论研究”(08JC720008);教育部人文社会科学重点研究基地 2008年度重大项目“当代数学的语境解释”(08JJD720031)

康仕慧 (1980-),女,山西太原人,山西大学科学技术哲学研究中心讲师,博士研究生,主要从事科学哲学与数学哲学研究。