函数建模在解题中的应用及思考

刘娟

当今社会飞速发展，信息量的突然增加给社会的各个方面都带来了翻天覆地的变化。在这样的大背景下，社会的各个方面对基础科学中十分重要的数学学科的要求也逐步提高。这种需求也促进了数学学科向各个科学领域深层次渗透。这就要求人们能够根据实际情况合理地建立数学模型，所以，数学建模在二十一世纪被赋予了极其特殊的意义。为了满足时代的这一需求，我们在数学学科教学中必须注重培养学生用数学的思维模式解决实际问题的能力。而在初中数学教学中，更加要强调以学生的生活经验为起点。同时结合数学学科自身的特点，让学生通过研究性学习自主地体验到具体问题抽象成数学模型的过程；让学生在学习数学知识的同时，开阔视野，拓展思维；让学生的各方面能力在建模中得到发展。而函数建模是数学建模中十分重要的组成部分。它通过对生活中的实际问题的分析，掌握实际问题的变化规律和数量关系，进而归纳出函数模型，然后使用初中数学函数相关知识解决问题。笔者分析了几种典型的利用函数模型解题的应用，并对在初中数学课堂中渗透建模思想的策略进行了思考。

一、函数建模在一些典型中的应用

函数涉及生活和科学的各个层面，解题的方法和技巧相对多样，是初中数学教学中的难点之一，也是中考着重考查的知识点之一。而对于一些有难度的函数应用，一般可以从函数建模的角度进行考虑，把生活中的问题模型化。

（一）将问题模型化，再结合函数图像解题。

例如：某学校为迎接校庆30周年，特地定制了很多的烟花，定制的烟花的高度是55厘米，放烟花的时候要把它放置在定制好的70厘米高的架子上，灿烂的烟火从头部喷射出来，假设从各个方向都是以一样的抛物线坠地。根据学校要求，如果要烟火的高度从喷射点開始计算要达到2.25米的话，问：如果参观校庆的学生等在烟花周围观看烟花表演，那么仅考虑烟火的距离的话，学生和老师要离开燃放点多远的距离？

如图1所示，首先建立一个函数模型：以地面为水平的X轴，而烟花所在直线为Y轴，A点为支架的最高点，以B点为烟花的最高点，用C点来表示烟火最后的落地点。可以得出烟火走出的轨迹的函数式为y=-（x-1）2+2.25。

图1

这个函数模型确定好了之后从函数图像可以很清楚地观察到，所谓离开燃放点的距离就是以OC为半径在地上画的一个圈子。在这个函数模型建立起来之后原本复杂的问题已经简化成求OC的长度了。而在这个函数中OC的长度就是当y=0的时候x的值。学生只要将y=0带入到函数的解析式当中就能够得到答案。当y=0时，由-（x-1）2+2.25=0求得两个结果2.5米和-0.5米，因为-0.5米不符合题意，所以最终的结果就是学生和教师要离开燃放点至少2.5米。

（二）从变量关系入手，建立函数模型解决实际问题。

在实际生活应用中，存在着很多可以用函数模型处理的有大量数量变化的应用案例。在绝大多数问题当中，虽然数量关系表面上变化无常，但其中或多或少是有规律可循的。很多数量变化是有规律的。很多变量、因变量在变化中是相互影响的。所以一些看似复杂的问题在解决的时候可以从变量关系入手，发现并建立其中蕴含的函数模型。

例如：南水北调是我国一项利国利民的大型工程，当出现地域性水资源失衡的时候，国家就可以通过这一工程进行水资源的平衡。这个时候甲城市水资源短缺，急需15万吨水资源。乙城市也水资源短缺，急需13万吨水。通过南水北调工程，分别从AB两个水资源不紧张地区抽调出14万吨水资源到甲乙两个城市，从甲城市到A城市50千米，从B城市到甲城市60千米，从B城市到乙城市45千米。请设计一个水资源运输方案，要求在调运量尽可能小的基础之上解决两个城市的水资源短缺问题。

这道题貌似变量很多，难以下手，但是经过分析我们发现，有一些数据是有规律的。如从A城市调往甲乙两个城市的水的总数一定是14万吨，从B城市调往甲乙城市的总数一定是15万吨，而从AB两城市调往甲城市的总水吨数也一定是15万吨，AB两城市调往乙城市的总水吨数也一定是13万吨。我们再次基础上假设从A城市调往甲城市的水的总吨数为x，那么可以构建以下的数据关系。

那么假设总调运量为y的话就可以根据图表得到这样的式子y=50x+30（14-x）+60（15-x）+45（x-1）=5x+1275（1≤x≤14）。这是一个典型的一次函数。5为正数，所以y的值是根据x的值的变大而变大的。所以要使总运量最小，就得让x的值取最小值。所以从函数模型可以得出结论，当A地调往甲城市的水为1万吨的时候总运量是最小的。

在这样的题目解答的过程中，发现数据之间的规律是十分重要的。在解题的时候要紧抓主要的数据因素。根据数据之间的联系构建函数模型，成功构建函数模型之后，问题就迎刃而解了。

二、在教学中渗透建模思想的思考

新课程课标准用建模思想对数学教学提出的要求，实际上反映了时代对培养学生应用意识和创新意识要求的提高。初中数学的评价体系对课程标准贯彻的力度是有目共睹的，所以在课堂教学中更应高度重视渗透建模思想。笔者认为在初中数学日常教学中渗透建模思想要从以下几个方面入手。首先，要在日常教学中着重培养学生的逻辑思维能力及函数运算能力，同时应注重学生数学思想及数学解决生活中实际问题意识的培养。其次，在平时的教学过程中要注重学生创造力的培养，要让初中生能够适应函数建模的思想层次。也要在日常教学中不经意地进行数据建模，渗透建模思想。最后，教师跟学生之间要有默契，在进行建模之前，教师要给学生一个扎实的基础知识平台。如初中常见的几种函数，学生就要能够牢固掌握。在近年的教学工作中，笔者对函数建模问题的处理坚持理念引导为先，层层落实，扎实推进，使学生对函数建模知识的学习从懵懂到清晰、从混乱到有序、从无需到渴望，对函数知识的掌握和应用得心应手，对解决实际问题更加胸有成竹。