教师引导，让数学课堂流畅而深入——由《同底数幂的除法》教学片段引发的若干思考

☉江苏省张家港市暨阳湖实验学校 徐 辉

《数学课程标准》指出：“有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者.”“数学教学活动应激发学生的兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维，要注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法.”在初中数学课堂教学中，通过情景导入、学生的自主学习、合作交流、教师的点拨等环节，学生对数学概念、法则、性质、定理等知识应当能初步掌握.然而，要深刻理解、掌握和运用数学概念、法则、性质、定理，必须要经过例题的教学，

例题教学是学生将数学知识和技能转化为能力的必要途径和手段.因此，例题的设计与教学是一个教师教学智慧和艺术的充分体现. 教师要通过富有基础性、示范性、层次性和发散性的例题，引导学生将数学知识内化为数学思想与方法，只有这样才能让数学课堂流畅而深入.

在一次初一年级的“同课异构”教学研讨活动中，笔者给参加活动的老师展示了《同底数幂的除法》一课，整节课中例题的设计、讲解、对学生的引导给听课老师留下了极其深刻的印象，下面，结合课堂教学片段进行具体的分析与反思，期望对读者的教学有所帮助.

一、教学背景与说明

《同底数幂的除法》是在学生已掌握了同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方的基础上进行的，教材的安排是根据幂的意义做同底数幂的除法后，再明晰同底数幂的除法法则.其优点是符合学生的认知规律，学生易于接受.在具体操作时，我们还可以将同底数幂的除法法则的推导过程与乘法法则的推导过程等进行类比，帮助学生充分认清同底数幂的除法法则的意义与本质，深刻领会应用除法法则时指数必须满足的条件，为学生下一课继续探索零指数幂和负指数幂的实际意义及规定的合理性打下基础.

二、教学片段与解析

1.情景引人，导出法则

问题1：通过计算下列各式，说说你发现了什么：

（1）106×103；

（2）a7·a4；

（3）106÷103；

（4）a7÷a4（a≠0）；

（5）a100÷a70（a≠0）.

问题2：当a≠0，m、n是正整数，且m>n时，am÷an的结果是什么？

解析与思考：以学生身边熟悉的知识引入新课，亲切自然，更重要的是通过类比容易引起学生的认知冲突，激发学生的好奇心和求知欲.另一方面，通过简单、特殊的计算，再过渡到一般的情形，学生不会感到陌生、容易接受，在轻松、和谐的氛围中导出了法则.

2.简单应用，巩固法则

在数学课堂教学中，例题的教学有着不可磨灭的作用，它是让学生从知识生成迈向知识升华的桥梁，而教师能否将书本上的知识转化成为学生所掌握的知识，例题教学才是关键所在.

案例一（例题选讲）

例1 计算：

（1）26÷22；

（2）（－b）8÷（－b）；

（3）（ab）4÷（ab）2

（4）t2m+3÷t2（m是正整数）；

（5）（x+y）5÷（x+y）3.

师：本题是一组直接应用法则的计算问题，在操作时需要弄清什么是“底数”，如何应用法则.

生1：26÷22=26－2=24=16.

生2：在（－b）8÷（－b）中，底数是－b，利用法则得（－b）8÷（－b）=（－b）7=－b7.

师：非常好.对于（2），这里有两点需要特别强调：底数是－b；应用法则以后的结果是（－b）7，但它不能作为最后的结果，我们还可以利用积的乘方进行运算得到最终的结果－b7.

生3：在（ab）4÷（ab）2中，底数是ab，所以（ab）4÷（ab）2=（ab）4－2=（ab）2=a2b2.

师：这里将ab看作一个整体，直接利用法则很容易得到结果.但是我发现有的同学的结果是（ab）2，这是运算不彻底导致的，我们还可以利用积的乘方，得到最终结果a2b2.同时，我还看到部分同学是这样做的：（ab）4÷（ab）2=a4b4÷a2b2=a2b2，请大家比较一下.

生4：在t2m+3÷t2中，底数是t，直接利用法则得t2m+3÷t2=t2m+3－2=t2m+1.

生5：在（x+y）5÷（x+y）3中，底数是x+y，所以（x+y）5÷（x+y）3=（x+y）5－3=（x+y）2.

师：通过本例的学习，我们知道在进行同底数幂的除法时，底数可以是具体是数，也可以是字母，可以是单项式，也可以是多项式.

解析与思考：设计本例的主要目的是要让学生熟悉同底数幂的除法的操作步骤.一方面，要引导学生感受应用法则时“底数”的变化，另一方面，教师要不断引导学生关注每一步计算的依据，培养学生“以理驾算”的习惯.比如：（ab）4÷（ab）2=（ab）4-2（同底数幂的除法的运算性质）=（ab）2=a2b2（积的乘方的运算性质）.因此，例题的选择很重要，难度必须要控制好，能说明问题、起到示范作用就行.

3.变式训练，深化法则

在学生对当堂知识和技能初步理解与掌握后，进一步的深化和熟练是必要的.目的是使学生在学习中学会运用课本的知识举一反三，积累解题的经验，形成数学思想与方法.要实现上述目的，应用“变式教学”是一种十分有效的手段，所谓“变式”，就是指教师有目的、有计划地引导学生对例题进行合理的拓宽与深化.

案例二（例题选讲）

例2 计算：

（1）（－b）8÷b；

（2）（x－y）5÷（y－x）2.

师：例1的第二小题做了一点变化成为例2（1），你发现了吗？

生1：例1的第二小题是同底数幂的相除，而（－b）8÷b是不同底的两个幂的相除.但是可以转化为同底数幂的相除.

师：好的，你板书一下.

生1（板书）：（－b）8÷b=b8÷b=b7.

师：这里利用积的乘方的性质，将（－b）8转化成了b8，然后利用同底数幂的除法的运算性质，很快能得到结果，还有其他做法吗？

生2（板书）：（－b）8÷b=－（－b）8÷（－b）=－（－b）7=b7.

师：这里将底数转化成了－b，相比较而言，运算稍简洁了点.看看第二小题怎样转化比较合理些.

生3：因为（y－x）2=（x－y）2，所以（x－y）5÷（y－x）2=（x－y）5÷（x－y）2=（x－y）3.

师：很好，这里如果将（x－y）5转化为－（y－x）5，计算时会出现“－”，结果稍美观些.如果将问题改为：（x－y）5÷（yx）3，那么又怎样转化呢？

生4：因为两个幂的底数不同，并且指数都是奇数，所以无论转化哪个幂都会出现“－”，我的做法是（板书）：（xy）5÷（y－x）3=－（y－x）5÷（y－x）3=－（x－y）2.

师：在进行不同底数的幂除法时，我们要先将其转化为同底数幂的除法，再应用法则.在进行转化时，优先考虑将偶数次幂进行操作，奇数次幂转化时，常常要注意符号的变化.

解析与思考：例2与教材上的例题、练习相比有一定的难度，在教学过程中，教师要积极引导学生认清例2与例1的区别与相互之间的转化，作为教师，要尽可能地尊重学生的理解方法，让学生谈出自己的观点，充分利用已有的知识结构来同化新知识，最后还要引导学生总结归纳解题方法、提炼数学思想.通过几个问题的前后联系以及解决这些问题的方法的变化，形成一种更高层次的思维方法，以达到对问题本质的了解、问题规律的掌握、知识技能的巩固、思维的拓展与迁移等目的.

4.拓展延伸，强化法则

新课程强调教师在教学设计时要有弹性，关注不同层次学生的数学学习需要，要根据不同的内容目标、学生的知识背景和数学活动经验，给学生留下拓展延伸的空间和时间，使每一名学生都能得到应有的发展.因此，在数学教学中设置拓展延伸问题就显得重要和迫切了.

案例三（拓展延伸）

例3 计算：

（1）32m÷3÷32；

（2）273×92÷312；

（3）162m÷42m－1（m是正整数）.

师：对于32m÷3÷32，与上面的例题相比，只是同底数幂相除的个数增加了，我们只需分步应用同底数幂的除法的运算性质，请你们说说结果是多少.

生1：32m÷3÷32=32m－1÷32=32m－3.

师：如果将“32m÷3÷32”修改为“9m÷3÷32”，结果会变化吗？

（为第二小题作铺垫）

生1：不会变化，因为9m=（32）m=32m.

师：非常好，这里我们再次将不同底数幂的除法问题化成了同底数的幂的除法.请你们尽快计算第二小题.

生2（板书）：273×92÷312=（33）3×（32）2÷312=39×34÷312=313÷312=3.

师：对于幂的运算，无论是乘法还是除法，运算前必须将其化为同底数幂，再应用相关的运算性质.请大家讨论一下.第三小题，怎样化成同底数幂？如何进行计算？

（学生小组讨论，教师巡视）

生3：我们小组的做法是将162m化为（42）2m=44m，然后应用同底数幂除法的运算性质，结果是42m+1.

生4：我们小组的做法是将162m化为（24）2m=28m，再将42m－1化为（22）2m-1=24m-2，然后应用同底数幂除法的运算性质，结果是24m+2.

师：通过不同的转化，得到了两个结果，你们如何看？

生5：42m+1=（22）2m+1=22m+2，因此，这两个结果本质上是一样的.

师：上面的两种解法告诉我们，在进行幂的运算时，有时可以将部分不同底数的幂化成与已知的某个幂同底数，也可以将所有的幂化成另外一个相同底数的幂，再利用相关的运算性质进行计算.请大家课后完成下一小题：42m+1×83m÷32m+1（m是正整数）.

解析与思考：设置拓展延伸问题，要从学生的实际出发，基于学生已有的知识水平、认知能力、知识结构进行适度的拓展、延伸，通过有效的教学设计、教学形式、教学方法来实现学生对知识的进一步理解与掌握，并能在新知识的学习中使原有的知识得到巩固、运用、延续与深化.在这个教学环节中，教师要积极引导学生分析问题，弄清问题中所涉及的知识，寻找正确的解题思路.在问题解决后，还要积极引导学生对自己的思考过程、运算过程、语言表达、书写格式以及解题过程所涉及的思想方法、技巧进行反思，使得拓展延伸问题的效益最大化.

三、实践反思与感悟

教师的主导作用一定程度表现在“引导”上.教师的根本职责在于“引路”，而不是代替学生或背着学生“走路”.要做到施教主动，贵在引导，妙在开窍.根据学生的学习特点、教学设计的问题，恰如其分的引导学生分析问题、解决问题.例如，例1的第三小题的解答过程中，学生肯定有两种不同的思路，在学生解答、教师点评后，要引导学生进行比较，得出一般的解题方法.同时，结合课堂中生成的资源，适当进行点评.例如，例3的第三小题的解答过程中，学生经过讨论得到了两种结果，教师还要引导学生结合自己表述每一步运算的算理进行自我评价和自我修正，积累解题的经验.因此，教师的引导必须做到三个适应：一是适应学生的学习过程的规律和特征，二是适应学生身心发展规律，三是适应学生现有的知识水平和认知结构.实践表明，做到这“三个适应”，既是发挥教师主导地位的最好说明，也是实现学习活动最优化的重要前提条件.