关注“后半段”：以“有理数复习（1）”研讨课为例——兼谈对复习课的教学思考

☉江苏省海安县李堡镇初级中学 刘东升

☉江苏省南通市教育科学研究中心 符永平（特级教师）

一、缘起

张奠宙、赵小平先生在文［1］中指出：“最近看到的课堂，多半注重认识过程的前半段：创设情境、提出问题、分组探究、汇报归纳，以至有所发现，这是从感性到理性的认识过程.但是，众所周知，认识过程还有理性认识的加深，并反作用于实践的后半段过程.”文中还进一步发问：“数学学习需要巩固，需要做题，但是光做题也不够，必须进行反思，才能进一步达到更深的理解.公开课中很少见到复习课，数学复习课该如何上？”

一段时间以来，“公开课中很少见到复习课，数学复习课该如何上？”这个问题一直萦绕于心.让笔者幸喜的是，2012年1-2期、3期的《中学数学教学参考》中以较大篇幅刊载中考复习课型，2013年起《中学数学》在“案例点评”特色栏目中有不少对复习课型的研究文章，在我们看来，这些举动，无疑对“复习课该怎样设计、怎样上”是一种强势而必要的引领.特别是不少一线教师用刊载的复习课例在班级上进行认真的“试教”，把复习课从仅仅满足“重复做题、变式再训练”的层面，深入到真正体现反思、辨析、欣赏、提炼数学思想方法的高度.考虑到上述案例多为中考复习课型（文［2］关注了一个知识块的“后半段”），作为受这项活动的引领和鼓舞，最近有机会赴贵阳上了一堂“有理数复习（1）”研讨课并讲评交流，我们大胆尝试了七年级的复习课型，本文即是这次复习课的教学设计、设计意图、课堂生成以及课后反思，欢迎专家、同行交流与指正.

二、复习设计与设计意图

1.复习目标

（1）从数轴的角度复习有理数及相关概念，感受数形结合思想；

（2）在“对抗错误”中复习有理数加减、乘除运算，养成遵守法则的意识；

（3）辨析乘法对加法分配律在有理数系下的适用性，积累一些有理数运算的经验.

2.教学重难点

通过有理数及其运算的复习，引导学生回顾反思自己在学习有理数时的体会与感悟.

3.课型构建

以学生反思小文章的片断为载体，尝试构建“学生反思小文章”为素材的复习课型.

4.复习过程

活动一：概念理解

学生反思小文章片段（一）

“一线串通”话数轴——初学有理数概念的体会

七年级 小樊

进入中学，学习有理数及概念时我最大的体会就是“数轴”的神奇，别小看这条规定了原点、正方向和单位长度的直线，她把与有理数相关的概念全都“一网打尽”了，从数轴出发，我理解了相反数、绝对值，并利用数轴比较有理数的大小……

想一想：你能猜到她是怎样“一网打尽”的？利用图1，试举例说明.

图1

设计意图：人教社中数室章建跃教授在文［3］中指出：“数轴是数形结合思想的产物.用数轴上的点可以直观地表示有理数，为学生提供了理解相反数、绝对值的直观工具，同时为学生学习有理数的运算法则作了准备.绝对值概念借助距离概念加以定义.绝对值概念可以促进数轴概念的理解，同时也是数的大小比较、数的运算的基础.”基于上述理解，我们挑选了一篇以数轴为工具的学生小文章来复习有理数的概念.顺便指出，小樊同学在该文中给出感悟为“通过对‘数轴’的反思，我发现数学知识都是‘关联的’，老师告诉我们的那句‘基础知识不应求全，而应求联’确实有道理呀！”

活动二：技能训练

学生反思小文章片段（二）

都是符号搞的“鬼”——初学“有理数运算”的苦恼

七年级 小王

自从学了有理数的运算，我最大的一个困惑就是符号的问题，不是正号给写成负号，就是负号给写成正号，有时又没有写符号，所以我需要把这些不足整理出来，以便以后少犯这些错误.

做一做：

请对“题1”、“题2”进行纠错，并给出订正.

设计意图：我们知道，“加法与乘法都是在运算法则特别是符号法则的基础上进行基本运算的，然后结合具体例子引入运算律，并运用运算律简化运算”.而学生在七年级初学有理数运算时最大的问题就是“符号”容易出错，我们挑选王雪竹这篇纠错的反思小文章，其意图即是帮助学生辨析符号，强化符号法则，加强技能训练，实现双基目标的达成.

活动三：经验积累

学生反思小文章片段（三）

“一如既往”守“原则”——有理数简化运算的学习机会

七年级 小孙

学习了有理数的混合运算之后，我不但知道了小学阶段积累的运算律仍然有效，而且对运算律还多了新的认识，下面结合例子说说我的一些体会.

当我费尽心思做出答案时，发现同桌早已得到答案，一交流才发现她先将除法运算转化为乘法运算，不就可以运用乘法分配律了吗？

于是本题有下面的简便运算：

……

……

做一做：

设计意图：运算律的研究根本上是学会简化运算，符合数学上简洁、优化的追求.在这个活动中安排学生先尝试不同方法计算，在比较中发现使用运算律的优势，小杜同学小文章中“负迁移”出除法分配律又是一次典型的错误.这些设计都“指向”为学生积累数学活动经验.

活动四：学情反馈（限时5分钟）

1.试写一个大于－3的负整数a.如a=_______.

（1）这个数a的相反数是_______，绝对值是______.

3.10名学生参加体检，体重的测量结果（单位：kg）如下：

47，48，37.5，42，45，40，38.5，34.5，38，42.5.

这10名学生的平均体重是多少？

设计意图：考虑基本运算能力是双基的重要组成，运算准确率及速度也是当下追求的目标之一（尽管有学者对解题速度有争议，但在限时独立考试的大背景下速度是十分重要的）.本活动设计几个“过关题”限时独立完成是十分必要的.进一步，第3题又是为最后一个活动“解法辨析”作铺垫.

活动五：解法辨析

素材阅读：学生解法表示

“学生反馈”中的第3题

10名学生参加体检，体重的测量结果（单位：kg)如下：

47，48，37.5，42，45，40，38.5，34.5，38，42.5.

这10名学生的平均体重是多少？你是怎么算的？

小杜同学的解法：（47+4 8+37.5+42+45+40+38.5+34.5+38+42.5）÷10=413÷10=41.3

答：这10名学生的平均体重是41.3 kg.

小刘同学的解法：每名学生体重超过40 kg的记作正数，不足40 kg的记作负数.1 0名学生对应的数为 7，8，-2.5，2，5，0，-1.5，-5.5，-2，2.5

7+8+（-2.5）+2+5+0+（-1.5）+（-5.5）+（-2）+2.5=［（-2.5）+2.5］+［（-1.5）+（-5.5）+（-2）+7+2］+（8+5）=13

40+1 3÷10=41.3

答：这10名学生的平均体重是41.3 kg.

辨一辨：小杜、小刘两位同学的解法，你能看懂吗？如果是你，会选择哪一种方法？为什么？

设计意图：在辨析应用问题的不同解法中感受不同的建模策略.史宁中教授认为：“数学素养中的抽象思想、归纳思想与建模思想是上位的”，本活动定位于建模，即通过不同的模型构建（不同的列式）体现问题处理的智慧层次，一定意义上有“简洁出自智慧”.

课后作业：

（1）教材“复习与巩固”习题（略）；

（2）尝试写一篇数学反思小文章.

三、课堂生成片断展示

活动一：生成片断

生1在数轴上举例，然后结合数轴上的点，如－1、1，－2、2互为相反数，并指出它们的绝对值.进一步追问：你们是如何理解“一线串通”的？请小组内讨论一下，然后汇报.

有一个小组的学生构建如图2所示的转化图.

图2

活动二：生成片断

学生给出很多解法，安排四个学生在台上展示，题1有学生给出交换律、结合律的简化运算，题2在黑板上给出了4种解法，没有学生能有一种简洁的方法，即先确定符号再转化为绝对值的运算.

后来老师追问：在对多个有理数进行运算时，能否直接确定符号？

生2：取决于负因数的个数，当负因数的个数为奇数时，积为负；当……

师：这样先确定符号的意识，说明同学们还需要加深理解.唯有这样确定“符号优先”的意识，才能有效控制符号出错的风险.同学们不妨写一两句本题纠错后的体会，一起交流.

生3：需要理解、严守运算规则.

生4：我们要在“对抗错误”中积累计算经验.

生5：通过这些错题，我也理解了在进行有理数的运算时一定要先确定符号，然后才能顺利转化为绝对值的运算（其实也就是小学阶段关于正数的运算了）.

……

活动三：生成片断

很多学生给出的算法都是先算括号里面的结果再乘以100得58；还有先转化为乘法，进而用乘法分配律简化运算.

师：这篇小文章中两个算式在运算时要注意些什么问题呢？

生6：第一个算式要认真观察，善于运用乘法对加法分配律的简化运算；第二个算式只能先算括号里面的，没有除法对加法的分配律.

师：混合运算的顺序是什么？有哪些注意点？

生7：先乘方、乘除、再加减；如果有括号，要先算括号里面的.乘方要注意指数、底数是什么，如－22，（－2）2是不同的.

生8：错用除法分配律，得到3－5=－2这种错误.纠正为－112.5.

师：同学们针对本题的运算、算法优化以及易错点，有何体会？

生9：经过上面问题的优化我进一步理解了“条条大路通罗马”，以及小学阶段积累的运算律在有理数范围内还是有用的.

生10：后面的那道错例，让我也知道了原来就不存在的“除法分配律”不能增加进来，说明我们不能记错经验.

活动四、五：生成片断

学情反馈在限时5分钟后，全班只有三分之一的学生按时完成.统计答案后全对的只有2人，大多数学生都是因为最后一道没来得及算完.

师：问这两个学生怎么完成得这么快？

生11：我把这10个数据分成两组，整数与整数集中在一起、小数与小数集中在一起，所以快了点.

生12：我用的是计算器算的.

接下来笔者用PPT展示了两个学生的解法.

师：两位同学的解法，你能看懂吗？如果是你，会选择哪一种方法？为什么？

生13：我看懂了，我喜欢第二种（小刘）解法，这样运算简化很多.

师：你觉得第二种方法哪一步较难，为什么大家在短时间内都没想到？

生13：应该是基准“40kg”没想到吧！

师：很好，你能猜想出这个基准吗？

生13：再给我一点时间，相信靠我的感觉应该能.

师：是的，你表达的就是“数感”.大家还有不同的意见吗？

生14：我觉得如果使用计算器，就用第一种方法也挺好的，不需要思考什么，直接计算就可以了！

师：也有道理，你的意见其实是要有善于使用工具的意识.

四、课后反思

1.复习课中首要的是关注双基

应该承认，《义务教育数学课程标准（2011年版）》［4］的一大理论贡献就是将“双基”发展为“四基”.在这里，双基作为中国数学教育的本土优势没有被削弱，所以我们以为，七、八年级章节复习课（包括中考复习课）的首要任务仍然是夯实双基，即要面向全体学生，全面提高教学质量，关键是要落实双基.从上文中的设计可看出，在前四个活动中，我们都是指向“双基”：从“关联性”的视角梳理基本概念、从“对抗错误”中增强对有理数运算符号优先的意识、从算法优化的角度提高运算效率、注重当堂学情反馈（限时独立），这些努力关注的都是双基，唯有双基得到落实，才能在这样坚实的基础上“一步一步往上走”（米山国藏语），这应该是一种常识.

2.复习课要着力引导积累经验

复习课又不能止步于“双基”，毕竟还要让学有余力的优秀学生在复习课上有所发展、收获，这时设计出让他们积累数学活动经验的内容就显得很有意义.像本课例中，在“活动二”、“活动三”、“活动五”中，分布着让学生在纠错到究错、优化运算后说体会，增加一些“即时追问”；从课堂生成来看，一些学生的回答都体现了数学活动经验的积累.特别地，从数轴的角度“一线串通”地复习概念，本身也渗透了数形结合思想，只是在本课设计时，充分考虑到数学思想方法的抽象、晦涩，其作为“只可意会，不可言传”的默会知识，在七年级起始阶段的复习课，就没有考虑仓促地给学生贴上所谓数学思想的标签.

3.复习课可引导学生参与辨析

复习课不同于新授课的一大区别在于学生已有知识和解题经验的积累不同.认识到这一点，像本课例中设计出“活动三”、“活动五”，让学生在问题情境中主动优化、展开辨析，从而加深对知识或解法多样化的认识.顺便指出，数学上的辨析切不可陷入所谓的“罗生门”（各说各有理，谁也说不服谁），老师的课堂驾驭、价值评判与引领往往起到关键性的作用，如本文“活动五 课堂生成片断”中，“生12”、“生14”均指出他们选用的计算器运算，这些引导学生辨析两解法的区别就显得十分有意义.在这里，也可顺便提及著名哲学家怀特海“数学的恶”中提及“讨论善与恶可能要求对经验的理解具有一定的深度，而一个单薄的模式可能阻挠预想的实现.于是，有一种微不足道的恶——一幅写生画竟能取代一幅完全的图画”［5］.郑毓信教授曾指出“由于数学思维的单一性、简单性、文本性，与对象的多元性、复杂性（变化性）、异质性构成了直接对立，因此，这就从一个角度十分清楚地表明了数学思维的局限性.”［6］可见，在“活动三”中，学生小孙受到前面所谓加法对除法分配律的“负迁移”干扰出错，引导学生辨析“经验”的“善”与“恶”，也是我们在设计和教学时的良苦用心.

4.复习课宜努力开发课程内容

“教材的结构体系、内容顺序是反复考量的，语言是字斟句酌的，例题是反复打磨的，习题是精挑细选的.”深入研读教材，无不读出教材编写者们的“苦心经营”，那怕一个例题、一段话的表述、一个数字的修改等，都展现着严谨的学术追求，难怪史宁中教授说：“教材不同于科普读物，教材是要经得起反复阅读的.”可是，作为事物的另一面，各类教材针对章节复习部分的设计又成为一个“薄弱区”，或者是给出一个知识框图，再给出几个问题，然后就是一组复习题的训练.这一方面让初任教师无所适从（我们近期一次农村初中调研时，一位有20年教龄的初中数学教师在发言时就表示：“说实话，我教了20年，但从不知道复习课应该怎样上……一直以来，我以为复习课就是做习题、考试卷、讲评习题试卷”）；另一方面，也给老师们很大的课程开发的空间，本文提供的课例中的反思小文章片断都是我们多年来践行学生“数学写作”积累下来的素材，进而将这些素材再利用，一是引用学生生成性资源，让学生有亲切感；二是将待复习的知识、技能和思想方法都融入其中，对这些学生作品采用挖空、优化或改编等形式设计成复习内容.往大了说这些都可看成是一种“课程开发”；更进一步，还示范了学生“数学写作”的做法.

五、结束语

复习课是数学教学中一个重要的课型，其充分的“开放性”注定了老师们可以“仁者见仁，智者见智”.但我们以为，为了让复习课也能“老歌新唱”，让更多的学生思考其中、发现其中、辨析其中、享受其中，是值得我们认真思考、精心谋划的.是不是也可以说，这种对“后半段”的关注恰恰也体现了初任教师与专家教师的重要区别.

1.张奠宙，赵小平.教学中多多关注“后半段”——怎样上好复习课？ ［J］.数学教学，2011（4）.

2.孙振飞.别让“后半段”成为有效教学的短板——以“线段与角的画法”复习课为例［J］.中学数学教学参考，2012（1-2）：14-16.

3.章建跃.渗透数系扩充思想 加强运算能力培养——人教版《义务教育教科书·数学》七年级上册第一章“有理数”介绍［J］.中学数学教学参考（中旬），2012（8）：13-15.

4.中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

5.怀特海.“数学与善”［M］.北京：知识出版社，1986：351.

6.郑毓信.数学教育新论：走向专业成长［M］.北京：人民教育出版社，2011：354.

7.章建跃.中学数学课改的十个论题［J］.中学数学教学参考（上旬），2010（3-5）.