探究“椭圆内接四边形”的教学反思

☉江苏省新沂市第一中学 郭振京

思维始于问题，良好的问题情境，可激发学生的情感智力，而问题解决的成效，又取决于教学策略的选择和节奏的把握，何时放手，何时点拨，何处归纳，何处深化，都是问题探究成功与否的关键因素.为了最大限度地激发学生的探究欲望，课前，教师组织讨论，仔细斟酌、考量，精心预设；课中，教师密切注视学生微妙的心理变化，捕捉稍纵即逝的思维灵感，适时引导、点拨，挖掘潜能；课后，及时整理教学档案，认真反馈、评价，反思成果．

课堂追求实效，教学落实到位，不仅大大激发了学生的参与热情，而且培养了良好的学习习惯，同时积累了丰富的研究素材，为以后的教学提供详实的第一手资料.以下是一节探究课，研究椭圆内接四边形问题．

一、情境创设

问题研究遵循从特殊到一般的规律，探究椭圆内接四边形也不例外，首先是内接菱形，其次是矩形，最后延伸到一般四边形.为了引导学生逐层深入地研究，采用问题串：

二、智慧欣赏

编制问题串，教师预设菱形是唯一确定的，因此放在第一步研究．而实际课堂是什么样呢？学生首先质疑其“唯一性”，在争论中，有的说是两个，有的说很多．最后的答案是什么呢？两个．这一点大大出乎教师预料，笔者不得不赞叹学生丰富的想象力．事实上，从图1、图2不难看出，菱形确实不唯一，除了图1中的菱形，还有图2中的正方形．

图1

图2

教师：（鼓掌）我怎么没有想到呢？你们一下子就想到了，真棒！对于圆来讲，内接正方形面积最大，椭圆呢？

评价：同学们的创造力就是这样一点一滴地积累起来的，每一次成功，每一点创造，都会让人兴奋，让人信心倍增．上面的问题串，尽管没有暴露教师预设的缺失，但学生表现还是让教师感到了惊喜，于是给予了充分肯定，促成学生更加深入地探究．

反思：教学活动，是引导学生火热思考，展示自我，张扬个性的创造性活动．教学过程是暴露思维，展现才能，反省不足的互动过程．教学虽然是一门遗憾的艺术（预设的遗憾，生成的遗憾，时机把握的遗憾，问题解决的遗憾等），但却不乏精彩的“意外”生成，学生思维的火花只要被点燃，掀起思维风暴，即便是预设的遗憾，有时也能变为促进生成的一种手段，辩证地看还是艺术．

三、结论探索

学生2：不难发现，影响矩形的决定因素是矩形顶点的位置，只要确定其中一点，就确定一个矩形，故曰“一点定乾坤.”

大家笑了！

教师巡视发现，有的没用参数方程，而是利用椭圆方程结合基本不等式来处理.

图3

图4

学生鼓掌！

教师：若是一般四边形，面积还会更大吗？

学生4：更一般的也应该是平行四边形.

教师：为何这么想？

学生4：对称思想.

教师：颇有见地！不管是不是，想法很可贵，从何处下手呢？

学生5：考虑四边形的对角线，转化为三角形问题.

教师：嗯！有了对角线就不愁构造三角形，那么对角线在哪才好呢？

学生5：过原点.在平行弦的家族中，过原点的弦应该是最长的吧！

教师：噢！能说得具体些吗？

学生5：设平行弦的直线方程为y=kx+p，只要设法逼出p=0即可.

教师：好，让我们拭目以待！

图5

教师：真的很棒！现已指定对角线过原点，下一步应该怎样寻找另外两顶点呢？

学生5：那就寻找“两个远点”.

教师：怎么想到的？

学生6：我们知道，菱形面积等于对角线乘积的一半，而对于一般四边形，我们自然想到把它分成两个三角形来研究，无论对角线如何倾斜，都能找到椭圆上“两个远点”，回过头来，再让对角线最长即可.

评价：从菱形到矩形，再到一般的四边形，层层递进，步步深入，自然流畅.考虑“两个远点”，于是将四边形面积转化为同底的两个三角形面积和，高已探究，返回头再找最长对角线，曲折迂回，动静转化，相当精彩.

反思：学生“四渡赤水”，迂回探究，挑战极限，超越自我.面对这帮热爱思考的孩子，教师不得不时刻惦记着“下节课该怎么上”，谋划如何为学生搭建最合适的思维平台.然而，一些教师还是略显保守，总担心学生上不了台面，点拨再点拨，以至于以讲代思，剥夺了学生创新的机会.笔者认为，灵动的课堂辅之以稳定的组织形式，数学课堂才会更加扎实有效.那些为了应付检查评比，突然间采用“全新”模式的做法，不仅收不到奇效，相反搞得更糟.教学需要预设，预设只为生成.假如你想打造生态课堂，首先要学会倾听，学会鼓励，学会评价，以激发学生的参与意识和投入的热情；再者要精心组织引导，明确课前、课中、课后该做什么，该怎么做.最关键的，教师还是要敢于放手，大胆启用助手，以点带面，向外辐射.必要时，导演一出戏，以激发全体参与的热情.

四、学生提问

学生7：菱形也好，矩形也好，一般平行四边形也好，都能达到最大值2ab.同学们可曾想过此时的周长吗？

正当笔者踌躇满志之时，学生7忽然提出这一问题，大家一下子愣住了，没人吭声.面对这未曾预设的情境，是暂时回避，还是积极面对？笔者延续一贯的风格，顺势而为.

教师：怎么想到提出这样的问题？

学生7：因为两种特殊情况下，周长是不同的，所以就想到这个问题.

教师：提得好！爱因斯坦说过：“提出一个问题比解决一个问题更重要”.一个有价值的问题提出，它反映了思维的广阔性，彰显良好的质疑品质.大家现在就行动起来，拿下这一“高地”，有没有信心？

学生：有！

评价：面积探究刚一结束，马上又提出周长问题，课堂出现“意外”，产生了新“通道”.面对新问题，教师虽然意外，但不紧张，因为教师明知这些学生已经习惯了自主探究，他们不会放过这一马的.事实上，也没有一位同学求助教师，他们马上投入了新的战斗.

反思：笔者这样做，实际上是把“球”踢给学生，使自己赢得喘息的机会，说得不客气点，就是通过巡视，借机与个别优生交流.事实上，很多时候，学生的智慧是教师所不能企及的，特别在处理新教材、新背景材料时，教师的理解水平并不见得比学生高，只是在处理老教材时，显得老成，那也是年复一年“熏”出来的.自从笔者抱定了“师不必贤于弟子”的心态开展自主教学以来，也确实很少挂黑板，为什么？学生自主探究，遇到问题总爱自己钻，哪有急急忙忙求助老师的，那多没面子，这是多好的局面啊！

过一会儿，学生8开口.

教师：好！我太想得到一般性的结论了，不知同学们愿不愿尝试？

班级里马上“沸腾”起来，甚至有几个同学离开座位，或“异地取经”，或“对口援助”，好不热闹！一会儿，同学9举手.

教师：（竖起拇指）真不简单！下一步怎么求最值啊？

学生沉默！

评价：从特殊到一般，从简单到复杂，彰显智慧，凸显胆识.教师把机会留给了学生，学生真的没有辜负教师的期望，这融洽、默契的师生关系构筑了智慧的课堂，这是实施自主学习的自然收获.

反思：叶澜教授在“基础教育”理论中提出：要用生命的高度，用动态生成的观点看待课堂教学.教师必须理智地对待突发的课堂生成，灵活地调整教学策略，把即时生成的学生感兴趣的话题列为学习内容，从而激发学生的学习热情，真正“让课堂焕发生命活力”.笔者认为，教师再周密的思考，也难以涵盖学生全部智慧，预设不全不重要，重要的是能否引发了学生的思维风暴.

五、学生质疑

学生11：如果把问题2中的“AB∥y轴”去掉，还会是矩形吗？

教师：你是说斜放的内接矩形不存在？

学生11：不存在！

教师：能否解释一下？

图6

学生11：如图6所示，若四边形ABCD为矩形，则AB∥CD，且AB=CD.于是对边AB、CD关于原点对称，说明矩形若存在，中心定在原点，如此一来，以BD为直径的圆的圆心也在原点，这样，圆与椭圆的交点就是矩形的顶点，且各边都和坐标轴平行.

教师：你为什么这样设三点？

学生13：他的意思是确定一条对角线两端点后，椭圆上只能找到一对点构成矩形，那就是使kBA·kBC=0，当kBA·kBC=0时，是内接矩形且是“正立的”，“斜放的”不存在.

教师：（竖起拇指）像个小数学家！

评价：也许你对上述回答不很满意，也许你感觉到论证不够严密，但在笔者心中，这是最棒的.假如经常以严谨逻辑要求学生，在学生讲述的过程中打断叙述，纠正点滴“语法”或“逻辑”，无形中会打断学生的思维，抢夺学生发言的权利，久而久之，课堂变成了启而不发，诱而不语的尴尬局面.

反思：一种教学是督促学生理解的教学，一种教学是引导学生发现的教学，还有一种是培养学生元认知的教学.对自己的理解是否感到满意，是否发现了新问题，是否达到预期的认识水平，在认识学习对象的同时，认识自己，才是学生走向成熟的标志.

六、学生猜想

临近下课，学生15递上来一张纸条，提出了他的一些猜想.

图7

教师：对称思想.印证过自己的猜想吗？

教师：智慧！教师尚感棘手的问题，同学们尚能顺利破解，毋庸置疑的智慧！能够研究到这种程度，不亚于专业的数学工作者！相信同学们能印证学生15的猜想.

评价：一节课，教师被学生牵着鼻子走，但并不尴尬，师生间的默契合作激活了学生思维的火花.有趣的探究历程让学生找到了自信，找到乐趣.虽然教师宣布下课，但学生并没有就此止步，仍在窃窃私语.

反思：苏霍姆林斯基说过：“如果你想让教师的劳动能够给教师带来乐趣，使天天上课不至于变成一种单调乏味的任务，那你就该引导每一位教师走上从事研究的这条幸福的道路上来.”于是我要说：“如果你想让学生的学习能够给学生带来乐趣，使天天上课不至于变成一种单调乏味的任务，那你就该引导每一位学生走上从事研究的这条幸福的道路上来.”从问题探究到学生提问、质疑、猜想，看似意料之外，实在情理之中，因为研究已成常态.

感言：本节探究课尽管还有不尽如人意的地方，但探究的旅程还是风景迷人，惊喜不断！这让我想起叶澜教授的那段话：“课堂应是向未知方向挺进的旅程，随时都有可能发生意外的通道和魅力的图景，而不是一切都必须遵循固定线路而没有激情的行程.”愿我们的常态探究，成为学生生命的经历和永久的珍藏！