启迪思维是数学习题教学的首要

☉浙江省杭州第十一中学 蔡小雄（特级教师）

问题是数学的心脏，数学离不开问题和解，习题是“问题和解”的主要载体，习题教学是数学教学的重要环节.通过习题教学可以帮助学生巩固知识、纠正偏差、强化技能、提高思维能力.思维能力是数学能力的核心.笔者认为，启迪思维是数学习题教学的首要.教师应该在习题教学中，注重启迪思维，完善学生的思维品质.

苏霍姆林斯基曾告诫我们：“让学生体验到一种自己亲自参加与掌握知识的情感，乃是唤起少年特有的对知识的兴趣的重要条件.”启迪思维就是要唤起学生的求知欲望，激发学生的学习热情，使其快乐学习、“高思维量”地学习.

一、整体把握，重视系统思维能力

系统思维是指以系统论为思维基本模式的思维形态，在分析和处理问题的过程中，始终从整体出发，把整体放在第一位.

在数学习题教学中运用系统思维，就是要求我们应着眼在学生的“最近发展区”内编选习题，系统地设计习题的考查目标、知识覆盖、题型题量、难度情况，做到适量适度，恰到好处，让学生跳一跳就可摘得到.

如对于简单知识的巩固，可选择有针对性的习题“对号入座”；对于较复杂、较综合的知识与技能的巩固与训练，则应遵循循序渐进的原则，先分解成简单的，然后再过渡到复杂的、综合的技能训练.围绕目标要求，可把众多的题目归类、整理，设计成有序性的复习题组.对于某些重点知识，可以从多个侧面选配习题，促进学生对重点知识的理解，获得有关的解题技能.选题的内容、形式与解题方法要尽量体现多样性.

对于同一道题的解答，也可发挥系统思维的优势，从整体结构出发，巧妙过渡，准确寻得解题突破口.下面以知名大学的自主招生题为例.

二、问题驱动，形成辩证思维能力

辩证思维是指以变化发展的视角认识事物的思维方式.辩证思维是对思维对象作多方面、多角度、多侧面、多方位的考察的一种观点方法，是唯物辩证法在思维中的运用.习题教学中培养辩证思维就是要求我们在观察问题和分析问题时，以动态发展的眼光来看待学生，看待课堂教学，强调课堂教学方式的非预设性、教学路径的非直线性和教学内容的开放性等.

具体表现在教学内容上，要实行多样化的、具有弹性的课程结构，突破知识壁垒，向所有相关知识开放，实行问题驱动、整合教学.在教学方法上，要从学生的元认知出发，巧妙设问，优化组合各种教学方法，辩证统一，启迪思维.

三、辐射拓展，提高发散思维能力

发散思维又称辐射思维、放射思维、扩散思维或求异思维.它是从一点出发，运用已有的基础理论进行发散联想，追求多样性的解题方法和答案，并可以由此及彼、由表及里、触类旁通，它的本质是活跃学生思维、拓宽学生视野，引导学生在问题的深度和广度上进行探索.发散思维具有求异性、探索性、多发性等特点.

习题课教学是课堂教学的补充和深化，它的内容应是丰富多彩的，不受教学内容、教材的限制，教学方法应是灵活多样的，如解题方法的探索，可以鼓励学生一题多解、巧解，也可以鼓励学生拓宽思维，尝试一题多变、一题多用，引导学生通过改变叙述方式、数量关系、设问角度或因果关系、已知条件、题目类型等形式，从比较中寻找一类题的解题规律，促使学生从顺、逆、侧等不同角度去思考问题，有效地训练学生思维的完备性、深刻性和创造性.

四、创设情境，培养直觉思维能力

数学的创造性离不开直觉思维.直觉思维活动本质上就是一种潜意识与显意识之间相互作用、相互贯通的整体性创造过程.夸美纽斯有个重要观点，就是一切知识生于感觉，一切知识都是从感官的知觉开始的.美国心理学家布鲁纳认为在学习的过程中，提出假设的阶段主要依赖于直觉思维的作用.直觉思维的主要形式有直觉判断、直觉猜测等.直觉思维能力的高低，很大程度上决定于学生已有的知识、经验和观察、思维的能力程度.一般说来，知识广博、经验丰富、观察力强、思维灵活迅速的学生，其直觉思维能力较强.

习题教学就是要通过创设情境，唤醒学生的智慧，鼓励学生认真观察，大胆猜想.然而，实际教学中我们发现，不少学生急于求成，一拿到题就急于动手，往往不得要点，久攻不下.事实上，有些问题只要抓住问题的特点，洞悉问题的本质，就可快速解决.

如“求所有非负直角三角形ABC，使得tanAtanBtanC≤［tanA］+［tanB］+［tanC］，其中［x］表示不超过x的最大整数.”注意到在三角形ABC中，恒等式“tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC”成立，因此，题中的不等式可化为tanA+tanB+tanC≤［tanA］+［tanB］+［tanC］.根据取整函数的定义，易知tanA，tanB，tanC都是整数，且其中至少有两个是正整数，不妨设tanA，tanB＞0，则由tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC知，tanC也是正整数.所以只要求tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC的正整数解.根据对称性，不妨设tanA≥tanB≥tanC≥1，则tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC≤3tanA，所以，tanBtanC≤3，因此，原题只有一组解，即（tanA，tanB，tanC）=（3，2，1）.

五、注重联想，完善形象思维能力

形象思维是指以具体的形象或图像为思维内容的思维形态，形象思维属于理性认识范畴，也是事物的本质和事物之间规律性的关系在人们头脑中间接的、概括性的反映.它具有形象性、概括性、运动性和创造性等特征.形象思维是反映和认识世界的重要思维形式，是培养人、教育人的有力工具.

苏联著名数学家柯尔莫戈罗夫就曾指出：“只要有可能，数学家总是尽力把他们正在研究的问题从几何上视觉化.”数学是研究“数”与“形”的学科，因此，在数学习题教学中加强形象思维的培养更有基础、更有必要.

图1

六、正难则反，关注逆向思维能力

逆向思维是一种比较特殊的思维方式，简言之就是反过来思考问题.它要求我们善于从不同的立场、不同的角度、不同的层次和不同的侧面去进行探索，当人们习惯于正向思维，尤其处于“山穷水尽疑无路”的困境时，逆向思维往往会出现“柳暗花明又一村”的境地.逆向思维是发现问题、分析问题和解决问题的重要手段，有助于克服思维定势的局限性，是决策思维的重要方式.解题中的逆向思维方法主要表现形式为“反证法”，此处不赘述.笔者认为，习题教学中关注逆向思维能力的培养不仅仅体现在解题中，还体现在对原问题形式的逆向设问等方面.

如在讲解教材中习题“过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，过点P和抛物线的顶点的直线交准线于M，求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴”时，待学生证完此题后，笔者要求其写出原命题的逆命题“过抛物线焦点的一条直线与它交于两点P、Q，过Q作MQ平行于对称轴，交抛物线的准线于M点，求证：直线PM经过原点O”，并让学生证明该命题是否正确.在教师的启发下，学生顺利完成了证明.这时，笔者进一步引导“能否将此问题中的抛物线改为椭圆、双曲线”，学生们讨论后发现以上问题都可以利用圆锥曲线的第二定义证明，解题过程中只要求比值相等，而和比值的大小无关，故无论是抛物线，还是椭圆、双曲线，都有同样的结论，还可用平面几何的方法快速解答.

“数学是思维的体操.”启迪思维是数学习题教学的首要，它符合学生的认知规律，能体现数学教育的实质性价值.“水本无华，相荡乃成涟漪；石本无火，相击乃发灵光.”优秀教师的魅力就在于挖掘朴实无华的习题背后所蕴含的丰富思维素材，创设情境，精心设计，合理重组，纵横联系，变单一为多元，变封闭为开放，启迪思维，提高思维能力.

1.蔡小雄.从一个案例谈数学探究的三重境界［J］.数学通报，2009（1）.

2.蔡小雄.习题教学中思维定势负效应的校正策略［J］.中国数学教育，2008（3）.

3.蔡小雄.习题教学应注意跨越简单的线性思维模式［J］.教学月刊，2007（7）.

4.蔡小雄.找准习题教学的黄金分割点［J］.教学月刊，2009（6）.