高中数学探究式教学的实践与思考

☉江苏省海州高级中学 徐进勇

随着我国新的课程课标改革的推行实施，课堂教学发生了根本的变化，已初步构建了以学生为主体、以教师为主导、以学生自主探究为主线的探究式教学模式.笔者依托自己的课堂教学实践，对高中数学课堂的探究式教学进行了积极探索，也有了一些心得.为抛砖引玉，特作总结以供商榷.

一、探究式教学

探究式教学是一种积极的学习过程，主要指的是学生在学科领域或现实生活的情境中，通过发现问题、调查研究、动手操作、搜集和处理信息，表达与交流等探究性活动，获取知识、技能、情感态度和体验的一种学习方式和学习过程.探究是“求索知识或信息，特别是求真的活动；是搜寻、研究调查、检验的活动；是提问和质疑的活动”.［1］探究学习十分尊重学生的需要并特别关注学生的内心世界——学生有探究、获得新的体验、获得认可和欣赏以及承担责任的需要等.与其他学习方式相比较，探究学习表现出更多的开放性、问题性、实践性和学生参与性特征，而且学习过程中学生间的相互合作、学习结果的自主建构等方面也与其他学习方式有明显不同.研究者普遍认为，经历探究过程、获得理智和情感体验、积累知识和方法是探究学习所关注的三个目标.在观念上注重平等、开放、民主；在过程中强调自主、体验、个性；在形式上表象生动、多样、有趣；在目标上追求现代、务实、多元.探究学习也关注结果——强调通过探究去建构知识、掌握解决问题的方法、获得指挥能力的发展，但它更关注探究的过程——强调学生探索新知的经历和获得新知的体验，注重提高学生的探究能力和转变学生的学习方式.［2］

二、探究式教学内容的特征

并不是所有的教学内容都适合探究式教学，适合探究式教学的内容应具有以下某些特征：

1.问题性：学生在学习某一新的理论知识时，由于固有的知识和认知结构的存在，对相应的理论知识会进行不完整的简单推理和延伸，从而得出了与所学理论知识相悖的错误结论.于是便产生了旧有知识和认知结构与新知识之间的矛盾.在这种矛盾面前，学生既有解决矛盾的冲动，又存在着准确全面地解释这种矛盾的困难，这时，教师可以将此问题呈现出来并将问题矛盾激化，让学生通过查阅资料、互相交流、小组合作等方式进一步探讨和研究，以证实或证明自己的观点.

2.实践性：探究式教学是以学生的实践为主体开展教学过程的，它强调学生的感知、操作实践活动，通过质疑、提问、反思、推广，初步经历数学发现、数学探究、数学创造的过程，从而亲身体验数学探究的激情和愉悦.

3.综合性：新一轮数学课程改革增设数学探究、数学建模、数学文化课程，它们是高中数学课程的重要内容.虽然没有单独设置，但在实际实施中“渗透在每个模块或专题中”.这些课程的实施实际上是让学生围绕某个数学问题或实际问题通过对学科间、学科内知识的整合、结合、融合，达到学生对知识的融会贯通和多角度、多层次地思考问题.

4.社会性：探究式教学多以真实的或虚拟的“生活化”材料或学生感兴趣的社会现象等为载体创设教学中的情境.这样既能唤起学生原有认知结构中的知识和生活体验，提高他们学习的主动性、积极性和趣味性，又能通过熟悉的情境自觉地发现问题，并充满激情地投入到探究中去，充分体验到数学的应用价值.

三、探究式教学的策略

教师职业的两端，分别连着过去与未来.过去那端，是前人留下的浩如烟海、郁如邓林般的文明成果；未来那端，则是尚未启蒙、有待教化的年轻生命.将过去的文明传递给未来的希望，考量着教师的能力和智慧.

（一）创设问题引领的数学探究

“探究”，包含了“探”与“究”两层意思，其中的“探”是“探索”、“探寻”，其要义是“提出问题”；“究”是“研究”、“深究”，其要义是“解决问题”.王克亮老师在《中学数学教学参考》2011年1-2期《问题串的设计与运用》一文中阐述：“问题导学”是指教师在课堂教学中以问题为载体，通过启发、引导学生解决问题，从而达到以学生“学习”为根本目的的教学方法和策略.亚里士多德说：“思维是从疑问和惊奇开始的.”苏格拉底则说：“问题是接生婆，它能帮助新思维诞生.”可见，课堂教学中，教师应努力在知识形成过程的“关键点”上，在运用数学解决问题的“关节点”上，在数学知识之间联系的“联结点”上，靠近学生思维的“最近发展区”，提出恰当的问题，并鼓励学生积极思考，大胆质疑.

（二）变式拓展引发的数学探究

变式是指教师有目的、有计划地对命题进行合理的转化.对已有的问题进行改造、拓宽，不仅能开阔学生的解题思路，激发学生学习的兴趣，而且改造的过程，展现了数学思维，培养了师生的情感.

案例1：苏教版数学必修4三角恒等变换第115页，有这样的一个习题：

如图1，在半径为R、圆心角为60°的扇形弧AB上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点M，N在OB上，求这个矩形的面积的最大值及相应的∠AOP的值.

图1

图2

探究1：改变截法，如图2.

探究2：改变扇形圆心角的大小，如图3～8.

图3

图4

图5

图6

图7

图8

探究3：由平面图联想到立体图.

如图9，半球O的半径为R，它的内接长方体ABCDA1B1C1D1的一个面ABCD在半球O的底面上，求长方体所有棱长之和的最大值.

解：设∠A1OA=α，∠ABD=β，则A1A=Rsinα，BD=2Rcosα.

图9

以上问题层层递进，环环相扣，一步步引导学生进行自主探究，独立思考.通过变式训练，加深了学生对三角函数的应用性认识，提高了学生三角变换的能力.因此，教学中，教师要积极准备、创设问题材料，让学生经历直观感知、观察发现、归纳类比、反思构建等过程，通过类比、联想、知识迁移，实现从知识与技能向过程与方法过渡，体现数学知识的形成、发展、完善的建构历程.

（三）批判反思启发的数学探究

批判反思有助于改造和提升教师和学生的教与学的经验，经验+反思=成长.只有经过反思，使原始的经验不断地处于被审视、被修正、被强化、被否定等思维加工中，去粗存精，去伪存真，这样经验才会得到提炼、得到升华，从而成为一种开放性的系统和理性的力量.因此，在探究式教学中，师生要共同做到在探索中发现新知，在反思中总结升华，形成“探索——反思——创新”的学习模式，以扩充、完善自己的知识结构和认知结构，最终实现自我创新.

（四）现代教育技术支持的数学探究

随着时代的发展，现代教育技术应用于中小学教学已成为教育发展的必然趋势.新课标下的数学教材提倡在处理某些内容时，鼓励学生使用现代技术手段处理繁杂的计算、解决实际问题，同时，应用现代技术于教学能促使数学知识的发生发展过程与结果的教育得到更好的结合，使数学兴趣、情感与数学的理性思维教育得到有机的融合，为探究式学习提供了有力的技术保障.

案例2：苏教版选修1-1第44页：

如图10，将一张长方形纸片ABCD的一只角斜折，使D点总是落在对边AB上，然后展开纸片，就得到一条折痕l（为了看清楚，可把线l段画出来）.这样继续下去，得到若干折痕.观察这些折痕围成的轮廓，它们形成了什么曲线？为什么？

探究1：改变纸片的形状进行再折叠.

1.如图11，准备一张圆形纸片，在圆内任取不同于圆心的一点F，将纸片折起，使圆周过点F，然后将纸片展开，就得到一条折痕l（为了看清楚，可把直线l画出来）.这样继续下去，得到若干折痕.观察这些折痕围成的轮廓，它们形成了什么曲线？为什么？

2.如图12，如果在圆外任取一定点F，观察这些折痕围成的轮廓，它们形成了什么曲线？为什么？

图10

图11

图12

显然，通过折叠很难观察出折痕围成轮廓所形成的图形，而通过几何画板可画出下列三个图形如图13～15：

图13

图14

图15

图16

这时再通过对图形的观察，就很容易得到曲线的类型，若继续探寻动点满足的条件，就能理性的证明出为什么是这种曲线，强化了学生对圆锥曲线定义的理解.

探究2：改变问题探究的内容.

如图 16，一张长方形纸片ABCD，若AB=8，BC=4，将矩形纸片的A角折起，使点A落在线段CD的A′上，求所有折痕EF的中点P的轨迹方程.

学生容易根据折叠的轴对称特性，通过建立平面直角坐标系，得到点P的轨迹方程为：

若利用几何画板模拟，拖动A′从D到C，发现E，F一开始在线段AD，BC上（如图17），然后在AD，AB上（如图18），最后在DC，AB上（如图 19）.

图17

图18

图19

拖动点A′同时，通过几何画板“显示”菜单的“追踪”功能追踪P点（注意：根据交点的三种不同情况分别追踪），发现其轨迹是一个由两条线段和一条曲线段所围成的封闭曲线.如图20～22.

图20

图21

图22

最终得到所求的轨迹方程为：

至此，问题得以解决.学生在操作过程中，思考问题的全面性得到了提高.

（五）探究性课题学习下的数学探究

《普通高中数学课程标准（实验）》中说：“高中阶段至少各应安排一次较为完善的数学探究、数学建模活动”.数学探究性课题学习，是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习、研究问题本质的过程.这个过程包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探求适当的数学结论或规律，给出解释或证明.“探究性课题学习下的数学探究”是指教师依托学生的探究性课题学习的研究成果，形成一个完整的数学问题回到课堂，成为全体学生的学习过程.整个过程可分为“教师课堂创设情景—学生课外准备提出课题—师生共同讨论分析课题可行性—学生课外查找资料进行自主探究（小组探究）—评估总结—完成结题报告—部分优秀成果回归课堂”.新课程之所以提倡积极主动的探究学习方式，目的是为了丰富、改进学生的学习方式，发挥学生的主动性.在教师指导下的自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学、写专题总结报告等，能够使学生切身感受“做数学”的乐趣，提高学生的数学素养.

四、探究式教学的模式

对适合探究的教学内容可采用如图23所示课堂教学模式：

图23

创设问题情境：课堂应从创设适合揭示本课主题的故事化、生活化、活动化或问题化等教学情景为开始引出课题，以此激发学生的求知欲，明确本节课要完成的内容.

学生自主探究：在教师问题的引领下，学生通过相关素材自主学习，尝试知识建构，初步达成预设目标，并提出自主学习中的疑难问题.

学习小组合作探究：学生在课堂学习小组中提出自主学习出现的疑难问题，共同研讨，互相解释，交流初步的研究成果，解决学习小组能解决的问题，提出小组产生的共同问题.

教师组织交流展示：教师选择具有探究价值的质疑问题或学习小组产生的问题，在班级层面组织学生进行互动探究.教师要为互动探究提供材料支撑和方法指导，要注意面向全体学生，注重因材施教，分层指导，尊重学生人格，鼓励大胆质疑，体现民主、平等、和谐的课堂教学氛围.同时，还要引导学生学会倾听，学会评判，学会接受.

学生矫正反思：学生根据合作性、启发性的交流、展示，反思自己探究过程中出现障碍的原因，收集反馈信息，完成针对性的矫正习题.

问题发散，手段开放：对初始问题进行多角度、多层次开发，变式拓展延伸，并采取灵活多样的教学手段，多渠道的引领学生开放性的探究.

归纳总结：师生共同总结探究过程，明确探究结论，形成解决问题的思想方法.

在探究式课堂教学中，把数学教学活动作为一个整体来思考，突出了教与学共同活动的重要性，强调了师生双主体发挥的意义，揭示数学教学不仅有数学知识的传授，也有情感的交流和思想的感染.在探究式教学中，师生通过对话、相互交流与沟通，呈现生命的差异性和丰富性，相互理解、相互感悟、共同创造、共享意义.课堂上充满着智力的刺激，迸发着思想的火花，激荡着情感的喜悦，创造着无穷的生机和活力.

五、探究式教学的分析

1.课堂教学要突出效率，而科学探究是一个长期的、坚难的、反复的探索过程.如果要在一节课的时间里经历整个过程，反而探而不究，或者探究比较肤浅，流于形式，学生能力得不到真正的提高.因此并不是所有内容都适用探究式教学.

2.探究活动中有很多教师预想不到的问题出现，课堂的不可控性远大于传统课堂.

3.探究式教学不是万能模式或方法，在实际教学中应采取不同的策略和方法处置，不能拘泥于形式，应与传统教学相结合，才能相得益彰.

4.在探究体验过程中，教师要摆正自己的位置，把自身角色定位于学生的合作者、鼓励者、引导者.从特殊到一般，从直观到严谨，有助于学生把所接触的知识逐步上升到理性的过程.

5.要让学生在体验的建构中生成真正属于自己的智能.智能的发展不是外力强加的，也不是通过教师的片面教授传递获得的，它绝对离不开学生的个体体验.在探究教学过程中之所以强调体验，是因其思考获得的信息能成为今后解决类似问题的经验.而这种体验的建构只有在学生自主学习的基础上获得才是最牢靠的，才有可能成为终身必备的基本素质.

虽然探究式教学中的“探究”有时不够全面、深刻，甚至有时是粗略与不成熟的，但学生从探究过程中所获得解决问题的能力以及获得的满足和成就感却是无法替代的.正如孔子所说的：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者.”

1.叶立军，方均斌，林永伟，著.现代数学教学论［M］.杭州：浙江大学出版社，2006.

2.徐彦辉.数学探究的教育价值——论数学探究教学的学科底蕴［J］.学科教育，2002（8）.