让联系在课堂教学中大放光彩——《正弦定理》的课堂实录

☉浙江省象山中学 祝益锋

数学学科是一个不可分割的整体，联系是数学知识结构的本质.中学数学中众多的“知识点”并非彼此孤立地存在着，而是充满错综复杂“多方位”的联系.既然数学知识是结构化的知识，在数学教学中，教师就应把知识间的联系如实地展示出来，使学生获得数学理解的同时，充分认识其内在的联系；并且只有通过平时教学的经常联系，学生才能逐渐地树立起整体联系的观点，学到结构化的、互相联系的数学知识，为形成和发展良好的数学认知结构打下基础.

但是，由于知识在教材中的呈现相对独立，且教学内容以课时为单位设计学习，加之学生认知发展的局限，知识的联系往往被“隐藏”起来，在没有教师引领的情况下，学生不易发现知识之间的关联，看到的只是零碎的显性知识.教师在教学过程中，如何根据知识的发展和学生的认知规律，精心选择教学材料，从而构建联系组织教学.对于这一问题，本文以“正弦定理”的教学实录为例，谈谈自己的实践与思考.

一、认知联系：创设矛盾情境，引发认知冲突

众所周知，教学关系不是静态固定的，而是动态变化的.从学生角度来说，教学过程是一个“从教到学”的转化，是在教师的作用下学习能力不断提高的过程.因此，在“教”与“学”的关系中，“教”是为帮助“学”而存在，但在如何帮助“学”上存在两种教学思路，一种是着眼于学生的无知，关注学生不会什么，于是迫不及待地用自己已掌握的学科知识去填补他的空白.这样的教学，将数学知识的构建产生的生动过程变成机械的连锁学习，枯燥而乏味；另一种是着眼于学生的认知，关注学生已会了什么，尊重他们的认知，适当地将“联系”贯穿于教学之中，引导他们把握数学知识的内在联系，有效促进学生把数学知识结构内化为自己的认知结构，提高对数学整体性的认识.

师（几何画板演示）：如图1，已知点C在弦AB所对的优弧上运动，请分析，在△ABC中，边与角分别有哪些关系成立？

学生易发现，①A+B+C=π；②大边对大角；③角C的对边c保持不变.

图1

师：我们发现在△ABC中，有角C的对边c保持不变，角A，B与它们的对边a，b却在不断地变化，大家觉得这“变”与“不变”中是否存在某种确定的数量关系呢？

数学教学是数学活动的教学，它不仅在于让学生学会某个知识点，掌握一定的知识与技能，更应是一个创造思维的起点，一个创新意识的启动.在某些数学知识的背后，往往有着学生已经掌握的旧知或者生活经验作为基础.表面上，教师设计问题情境的目的，在于唤醒学生对初中有关三角形的一些知识的记忆，为学生提供基于最近发展区的学习支持；但更重要的是通过向学生提供丰富的、典型的背景材料，以矛盾诱发认知冲突，创设激活知识间联系的情境，激发学生探究新知的欲望：“变”与“不变”中是否存在某种确定的数量关系呢？

二、建立联系：提出猜想，促进认知顺应

学生是信息加工的主体，是意义的主动建构者，在其原有认知结构已无法“容纳”新的对象时，他们就必须对已有的认知结构进行变革，以求与客体相适应，达到新的“平衡”，即为所谓的“顺应”.建构主义学习观认为：学习不是被动地接受外部知识，而是根据自己的经验背景，对外部信息进行选择、加工和处理，从而获得心理意义．教师作为意义建构的帮助者与促进者，应利用已经生成的认知冲突，学生膨胀的探索欲望，给学生提供足够的时间和空间，通过合理的数学活动，顺势引导学生运用数学知识与方法，如变化、特殊化、联系等观点的内在思想性，使学生经历知识的“再发现”，在感悟知识联系的挑战中，将数学知识与思想方法融为一体，获得结果.

师：许多数学问题，虽然我们对其表现形式可能陌生，但其本质总存在着简单的一面.因此，我们不妨实施“特殊化”的策略，从一般退到特殊进行探究，发现问题可能的一般性结论.

师：很好！我们将任意三角形特殊化为直角三角形，得到了一个漂亮的结果!我思故我在，对知识我们应该思考不止，探索不已.它是否能推广为更具价值的一般性结论呢？

师（赞许）：你什么时候学会了“顺杆爬”了？你的回答，既体现了数学知识从特殊到一般的归纳形成过程，也体现我们对问题的一个合理化猜想.大家能证明这个结论吗？

苏霍姆林斯基说，“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者和探索者，而在儿童的精神世界，这种需要特别强烈.”因此，教学中应以研究为主线，引导学生展开积极的、合理的猜想，是学生“再发现”、“再创造”知识的良好开端.同时，数学知识的内在联系表现在：数学知识相互渗透，形成基本的数学思想方法，使之融合为具有特定规律的知识体系，这也决定了数学教学不能停留在知识的显性联系上，把知识背后的隐性联系——数学思想方法贯穿其中，做到既见其“表”又入其“里”，使学生在感悟数学知识间的相互联系的同时，实现数学思维和认知能力的飞跃.

三、感悟联系：证明猜想，促进知识同化

联系的观点之形成和发展，需要有一个不断加深认识的过程.布鲁纳的发现学习论认为，“认知是一个过程，而不是一种产品.”但在实际的教学活动中，我们常将形成结论的生动过程变成单调的反复演练，希望通过“大容量、高密度”的强化训练，加深对知识的理解，这固然对巩固知识有很大的效果，但相对而言，这只是表层认识，对知识的整体性理解作用甚微.所以无论是从特殊到一般的数学知识的归纳形成过程，还是从一般到特殊的数学知识的验证应用过程，教师应鼓励学生积极思考、有效交流，并适当予以方法指引，探究证明猜想，引导学生发现猜想与已有数学知识的内在联系，挖掘其中的数学思想方法，促进学生把数学知识内化为自己的认知结构，使学生建立更深层次的联系观念.

生：如图2，不妨设△ABC中最大角为角A.作直径AD，连结BD，CD.在Rt△ABD中，AB=2RsinC；在 Rt△ACD中，AC=2RsinB.

图2

图3

作直径BE，连接CE.由圆内接四边形的性质，可知若A为锐角，有∠BEC=A（如图2）；若A为钝角，有∠BEC=180°-A（如图 3），所以，在 Rt△BCE中，BC=2Rsin∠BEC=2RsinA.

师（总结）：不错！将任意三角形转化为直角三角形来研究，这恰好也体现了从一般到特殊的思维方式.

师生共同总结正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

《数学课程标准》指出，“有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动”.在教学中，从知识层面上，教师的主要作用在于激发学生的学习热情，再现知识的形成和生长过程，揭示知识间的联系，加深学生对所学知识的理解，促进学习有效地进行；从情感与价值观层面上，让学生在获得知识的过程中，更深刻地体会从特殊到一般、从具体到抽象的认知规律；培养大胆猜想、小心求证的理性精神，逐步形成自主学习的能力.

四、沟通学科联系：联想物理知识，深化知识

教学是教与学的交往、互动，它不是教师教与学生学的机械叠加，而是形成一个真正的“学习共同体”.在教学中，师生分享彼此的思想，以丰富教学内容，求得新的发现，从而实现教学相长和共同发展.在数学教学中，教师应重视生成性教学，敏锐地捕捉课堂上的生成性资源，依据知识之间的逻辑关系和迁移条件，帮助学生理解内化新知，揭示知识间的内在联系，构建更高层次的知识体系.

师：有没有其他办法证明正弦定理呢？

教师本来预设的方案是引导学生用三角形的面积公式证明正弦定理，正如布卢姆所言，“人们无法预料到教学所产生的成果的全部范围.”沉默中，突然一名学生兴奋地叫了起来：“这个正弦定理的形式不是与力学中的拉密定理完全一样吗？”所有的同学都被他的想法所吸引.

师：你真善于联想，确实这形式就是拉密定理！拉密定理的内容是什么？物理学中怎么证明的？

生：在同一平面内，当三个共点力的合力为零时，其中任一个力与其他两个力夹角正弦的比值相等.证明方法？……好像用到了力的正交分解.

师（引导）：嗯，物理学上力的正交分解，实际上也就是数学中什么方法？

生（迟疑中回答）：在直角坐标系中研究——坐标法.

师：对，我们常借助坐标系研究几何问题，我们能否利用坐标法证明正弦定理呢？

学生动手建立坐标系，并表示出相应点的坐标.

师：如图 4所示，将△ABC置于直角坐标系中，并作ADBC.请你思考：你能写出点C与点D的坐标吗？随着角A从锐角变化到钝角，点C与点D坐标的表示形式会发生变化吗？

学生顺利地写出C（bcosA，bsinA），D（acos（π-B），asin（π-B）），即D（-acosB，asinB）.

师：由四边形ABCD为平行四边形，我们能想到什么呢？

图4

师（总结）：我们可以看出，由坐标法，拉密定理其实是正弦定理的外角表示形式.正弦定理的证明过程与其说是令人惊奇，不如说是知识间联系的绝妙.在数学学习的过程中，注重数学知识的理解和领会知识间的联系，这样才能真正把握数学知识的本质，提高自己的能力.这种证明方法的优点是避免了繁杂的分类讨论，虽然我们对坐标法接触不多，但在学习解析几何后，可以进一步体会坐标法解决几何问题的优越性.

在数学教学中，教师往往只注重精炼的、本质的逻辑结论的应用教学，对数学知识的整体性和知识的相互联系缺乏必要的组织，其形成和发展过程被简单化，学生很难理解其中的“源”与“流”，而造成知识间互相闭锁，联系人为割裂.其实，数学知识的联系不仅表现为学科内部系统的单向联系，还有学科间的多向的交叉联系.学生原有知识结构中也不乏能用数学的眼光去审视的问题，而他们缺少的，或是一句鼓舞的话，或是一根指点方向的手指.这就要求教师在教学中，关注课堂内“预设”之外“生成”，发挥学生对知识加工的自主性，“就汤下面”，从学生认知数学知识角度与方式，在大学科的背景中把握教学内容，拓展学生知识建构的途径，让数学学习生动而深刻.

五、深化联系：构建知识网络

在数学教学中，学习活动是否有效，主要看新的学习内容能否与学习者认知结构中原有的知识系统建立实质性的联系.因此，数学教学中不应追求知识的“一步到位”，而应体现知识发展的阶段性，符合学生的认知规律；不应过早地将知识“符号化”，而应延长知识的生长过程，让学生充分经历研究的乐趣；不应追求解决方法“统一化”和“最佳化”，而应致力于“多样化”与“合理化”，建立知识的深层联系.这需要教师引导学生通过类比、归纳、联想等思维活动，促进学生数学认知结构的形成与发展，培养学生深刻的思维品质.

师：受上面证明方法的启发，既然我们联想到向量，使向量作为工具去证明正弦定理也成为可能，那么你会证明吗？

在学生沉思无果时，教师适时提示：在我们所学过的向量知识中，有什么知识同时涉及长度和三角函数？

学生指出平面向量的数量积.

师：请大家回忆，向量的运算中，哪种运算与三角形有关？

生：向量的加法和减法满足三角形法则，如：

师（追问）：e应具有什么特征呢？

所以，e为与AB垂直的非零向量，其模可以是任意大小.

“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒和鼓舞.”实践证明，教学中，教师及时抓住知识的连接点、生长点，诱发学生对一个数学问题从多方位、多角度去探索联想，引导学生努力挖掘知识的相关性、相通性和综合性，加强知识的横向联系，有利于学生理解定理的实质和公式的含义，形成对基础知识系统化的认识；提高学生的思维能力，激发学习兴趣.经常突出“联系”的观点，还可使学生突破原有的思维模式和常规的范围，在联系中有发现，在发现中有发展.

六、知识的应用

在数学教学中，解题是教学活动的重要组成部分，其目的不只是强化结论识记，更重要的是学生通过对数学对象的思维构造，综合调用数学知识，多方位建立具体问题与认知结构中知识间的本质联系，将习得的知识迁移到新情境中去解决问题的一个具体化过程，是知识的又一次“升华”.

师：联想其他知识，正弦定理还可以利用面积法证明.请大家课下自行研究.下面我们来归纳正弦定理的结构特征与应用.这个定理在结构上有何特征？

生：各边与其对角的正弦互相对应，体现数学的对称美.

师：学习正弦定理有什么用呢？先让我们来了解一下“解三角形”的概念：一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做“解三角形”.正弦定理是解三角形的重要工具之一.如果用方程的观点认识正弦定理，那么在六个元素中需要知道几个量，才能求出其他量？

例：已知D为等腰△ABC底边BC上一点，试判断△ABD和△ACD的外接圆的半径大小.

图5

课堂练习与知识小结环节（略）.

解题作为数学学习的重要手段，通过解题引导学生外显的推理演算与内隐的逻辑思考相结合，加深对数学知识的理解，有助于知识间联系的丰富与巩固；通过解题，使知识的理解更具生成性，学习心理学表明，新信息若能纳入到已有的知识体系中，会使原有的理解不断拓展、深化，产生新的理解，有助于知识间联系的扩展与调整，因此，例题的选择与教学也应注意贯穿“联系”的观点，有效促进学生把数学知识结构内化为自己的认知结构.

七、结语

“注重联系，提高（学生）对数学整体的认识”是《数学课程标准》的教学建议之一.它还认为，“要注重数学的不同分支和不同内容之间的联系，数学与日常生活的联系，数学与其他学科的联系”.数学知识间的联系，不单表现在邻近概念的联系，或知识的表层联系与单向联系，在数学教学中，更应引导学生对学习内容进行多向联系和深层次的联系.如果抛开联系的观点去学习数学定义、定理、公式、法则，那么数学学习将沦为死记硬背式的学习，且极易遗忘.实践证明，只有理解知识间的内在联系，从联系中发现内在规律，领悟含于其中的数学基本思想方法，使认识不断“升华”，这样才能在联系中理解，在理解中记忆，这样的记忆才能保持，即使遗忘，通过联想（联系）也能再现，这样才能教得自由，学得主动.

过程因探究而精彩，知识因联系而生动.总之，在教学中，发掘数学知识之间的内在联系是一项复杂而繁重的任务，需要我们在平时的教学中不断地深思探索，使学生理解数学知识的整体性，知晓数学方法的一般性.