例说数学解题思维的变通性——对一道2013年高考试题的求解、变式、探究

☉江苏省宝应县安宜高级中学 贾 军

☉江苏省宝应县安宜高级中学 贾 军

湖南省2013年高考数学理科试题中第8题，是一道考查考生综合运用所学数学知识创造性地解决问题的典型题目，涉及解析法、等价转化、数形结合、函数与方程思想等重要的数学思想方法，涉及直线的方程、斜率、两条直线的垂直、三角形的重心公式、解不等式及光的反射的应用，还考查考生对陌生问题灵活转化的迁移能力，是一道能起到高考选拔功能的提高区分度的好题.

题目 1：（2013年湖南理 8题）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到原点P（如图1）.若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（ ）.

图1

一、试题求解

分析：题设条件有：①命题的背景在等腰直角三角形ABC中；②△ABC的重心G；③动点P及P决定的Q、R分别在线段AB、BC、CA上；④∠PQB=∠CQR，∠QRC=∠ARP；⑤RQ过定点G.

待求（目标）：AP的长度.

显然，动点P确定后，根据条件④，点Q、R唯一确定.条件中的④⑤是解题的关键.条件④与如何翻译和应用直接影响到如何解题.

思路一：解析法——合理建系求坐标

看到三角形的重心G，易想到：如果建立坐标系，则用三角形的重心坐标公式易求出重心G的坐标，然后设出RQ的方程，与AC、BC所在直线的方程联立求得点R、Q的坐标（与RQ的斜率k有关），而点P坐标的求得就需要条件④的应用了.由条件④中“∠QRC=∠ARP”得到RQ与RP的斜率是互为相反数，从而求得P的坐标（与RQ的斜率k有关）；条件④实际上是光的反射原理的变形，设∠RPA=θ，则∠PRA=90°-θ=∠QRC，于是结合等腰直角三角形得∠CQR=45°+θ=∠PQB，从而∠BPQ=90°-θ，所以∠RPQ=90°，即PQ⊥PR.至此，构造方程求出k，进而求得AP.

图 2

思路二：平几法——光的反射与对称

题设中光线从点P出发，经BC、CA反射，又回到点P，光的反射与数学中的对称是密切相联的，从对称的角度入手，思考反射和重心的应用，即条件④⑤的应用.

解析2：（如图3）作出三角形ABC的重心G关于BC的对称点G′，P关于AC的对称点P′，再作点P′关于BC的对称点P″，则P、G′、P″三点共线.作A关于BC的对称点D，则A、G、G′、D四点共线，B、D、P″三点共线，PP″与BC的交点为Q，与CD的交点为R关于BC的对称点R′.

图3

注：m=0时，光线从点A出发，经过BC的反射回到A，此时点P、R与A重合，虽然也经过三角形ABC的重心G，但与所画的图不相符合.与解析1中的k=1情形相同.那么解析1中的k=-1是什么情形？此时，点P在线段BA的延长线上，点Q不存在（在无穷远处），也不合题意.

对解析1、解析2可做改进.既充分运用光的反射与对称的关系，又引入坐标系，得：

图4

图5

二、试题变式

不改变题目的条件，改变设问的方式，得到

变式1：如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到原点P.若光线QR经过△ABC的重心，则三角形PQR的周长等于（ ）.

变式2：如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到原点P.若光线QR经过△ABC的重心，则三角形PQR的面积等于（ ）.

变式3：如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到原点P.若光线QR经过△ABC的重心，则 tan∠QPB=（ ）.

不改变题目的背景——等腰直角三角形，去掉RQ经过三角形ABC的重心，得到：

变式4：如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到原点P.则三角形PQR周长的范围是（ ）.

不改变题目的背景——等腰直角三角形，将重心换成内心，得到：

变式5：如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到原点P.若光线QR经过△ABC的内心，则AP的长为（ ）.

由变式5，可以看到三角形的重心、内心并不是命题的本质，该题目中的定点只要在三角形内部即可.更一般地，得到：

变式6：如图1，在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到原点P.若光线QR经过△ABC内的定点M（a，b），则AP的长为________.

为便于计算，可取定点在y=x上，这样可得到许多非常好的命题.

不改变背景——等腰直角三角形，考查命题的逆命题，得到：

简证：由解析4，求得点P关于BC、AC的对称点坐标，证P′、G、P″三点共线.

不改变背景——等腰直角三角形，去掉三角形的重心，改变反射的次数，得到：

变式8：在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB上异于A，B的一点，如果光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），那么称第一次返回P；如果光线从点P出发，经BC、CA反射后到达线段AB上点P1（不与P重合），再经过BC、CA的反射，又回到P（如图6），那么就称第二次返回P；……

图6

（1）若第二次返回P，则AP的长的范围是________.

（2）若第n次返回P，则AP的长的范围是________.

本题答案请读者朋友一起探讨.

三、试题探源

2013年的光线反射问题，是2012年全国大纲版理科第12题（以反弹的角度命题）的再创造，可以将2012年全国大纲版理科第12题看作是2013年湖南高考试题的“源”.再向前探源，还有2003年全国高考数学理科第10题（文科11题）.

A.16 B.14

C.12 D.10

图7

图8

另解：如图8，根据光学原理，入射光线与反射光线关于镜面的对称光线在同一条线上，故题设相当于直线EF与小正方形边长的交点个数问题.要寻找直线EF与某小正方形的一个水平边的交点（首次分为3∶4两部分），数一下交点个数为14，故当点P首次回到E时，与正方形的边碰撞了14次，选B.

题目3：（2003年全国高考理科第10题）如图9，已知长方形的四个顶点A（0，0），B（2，0），C（2，1）和D（0，1）.一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角），设P4的坐标为（x4，0）.若 1＜x4＜2，则 tanθ的取值范围是（ ）.

图9

解析：根据对称性作图，如图10，

图10

以上题目的解答都充分重视了对称性的运用，这是由光的特性决定的，而且，应用对称性求解是较快的方法.

在教材中，也有光线的反射入射问题.

苏教版必修2第94项习题2.1（3）中第15、16题，都是有关光线的反射入射问题.

题目 4：已知光线通过点A（2，3），经过x轴反射，其反射光线通过点B（5，7），求入射光线和反射光线所在直线的方程.

题目 5：已知光线通过点A（2，3），经过直线x+y+1=0反射，其反射光线通过点B（1，1），求入射光线和反射光线所在直线的方程.

选修2-1中也涉及光线的反射问题（在研究或介绍圆锥曲线的性质）.

可见，这道高考题，教材中也有其“源”.

从以上的内容可以看出，研究教材、研究历年的高考试题，对我们的高中教学有着重要的意义.高考是高中教学的指挥棒，教材是高考命题的重要参考，重视教材与历年高考试题的研读，必有助于高中的教学活动.