是巧合还是必然？——由一道习题的解答引起的思考

☉江苏省海安县立发中学 张华琴

一、问题及解法

在复习“集合与常用逻辑用语”之后，我让学生课下做高三一轮复习资料上的一道题：

若三条抛物线y=x2+4ax-4a+3，y=x2+（a-1）x+a2，y=x2+2ax-2a中至少有一条与x轴有交点，求a的取值范围.

第二天上课时，发现学生的解法大都如下：

解：若这三条抛物线与x轴没有交点，

“正难则反”是指直接解答时较为复杂，间接求解反而简单，常用于“至多”、“至少”这种情况.该解法正是使用了“正难则反”的解题策略.但这种无一例外的现象引起了笔者的兴趣，师问：“你们是怎么想到的？”有的回答：“以前做过类似题目，老师是这样讲解的”，有的回答：“资料上的解答是这样的”.翻开资料上的解答，发现与上面的解答确实是一样的.（课后笔者翻看了各种教辅资料，不少资料上都有这道题或类似题目，解法也都是千篇一律.课后通过对部分教师的访问，发现他们也都是反面求解的，并且说直接求解很复杂.）

师接着问学生：“能否直接求解呢？”

二、直接求解，一波三折

几分钟后，有学生思考如下：

由于三条抛物线中至少有一条与x轴有交点，分类如下：①恰有一条与x轴有交点，另两条与x轴没有交点；②恰有两条与x轴有交点，第三条与x轴没有交点；③三条与x轴都有交点.

这种分类求解方法看似合理，其实不然.除③以外，①、②中仍需要分几种情形，求解过程极其繁杂.不少学生做到这一步后“望题兴叹”，不得不放弃；也有的“明知山有虎，偏向虎山行”，花费大量时间，最后还是无果而终.

该结果与前面解法结果确实完全一样，同学们议论纷纷，有的露出惊讶的表情，有的将信将疑，有的认为解法有问题，只是碰巧做对了，但又说不出问题出在哪里.

师：你是怎么想到这样解的，这样解的依据是什么？

生：我是计算后发现三个集合A、B、C的并集等于正确答案，但不知道这样做方法是否有依据.

师：这种解法是巧合还是必然？学生不置可否.

通过学生的反应可以发现，他们对集合的并集运算很熟练，但对逻辑联接词“或”的涵义理解还不透彻，看起来对逻辑联接词“或”是懂了，但不会灵活运用该知识解决问题.有鉴于此，为了正本清源，下面师生共同探究相关知识.

三、追根溯源

逻辑联接词“或”与集合的“并”的关系：

逻辑联接词“或”有如下规定：当p，q两个命题有一个是真命题时，“p或q”是真命题，即“p或q是真命题”是指p，q至少有一个是真命题.

集合的“并”有如下规定：若x∈P或x∈Q，则x∈P∪Q，即“x∈P∪Q”是指“x∈P”，“x∈Q”至少有一个是成立的.

若把命题p，q分别对应于集合P，Q，“或”对应于“并”，那么关于“或”与“并”的规定就具有形式上的一致性了.具体的说，若“p是真命题”对应于“x∈P”，“q是真命题”对应于“x∈Q”，则“p∪q是真命题”对应于“x∈P∪Q”.

三个命题p，q，r与三个集合P，Q，R之间有同样的对应关系，具体的说，若“p是真命题”对应于“x∈P”，“q是真命题”对应于“x∈Q”，“r是真命题”对应于“x∈R”，则“p∪q∪r是真命题”对应于“x∈P∪Q∪R”.

再回头看这道题，记命题p：抛物线y=x2+4ax-4a+3与x轴有交点，q：抛物线与y=x2+（a-1）x+a2x轴有交点，r：抛物线y=x2+2ax-2a与x轴有交点.

至此，大家终于真的懂了，原来那位同学的解法是有依据的，不是巧合，是必然.

四、学以致用

为了巩固刚才所学知识，会解决类似问题，让同学们做以下高考题：

1.（2009年浙江文21）已知函数f（x）=x3+（1-a）x2-a（a+2）x+b（a，b∈R）.

（1）略；（2）若函数f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围.

解：（1）略；

2.（2010年全国Ⅱ文21）已知函数f（x）=x3-3ax2+3x+1.（1）设a=2，求f（x）的单调区间；（2）设f（x）在区间（2，3）中至少有一个极值点，求a的取值范围.

解：（1）略；

以上两题虽可间接求解，如题1可先求“若函数f（x）在区间（-1，1）上单调，求a的取值范围”，题2可先求“若函数f（x）在区间（2，3）中没有极值点，求a的取值范围”，但这里还需要分单调递增和单调递减两种情形，再求补集，增加了“解题长度”（罗增儒教授语）.

作为教师，只有深入钻研教材，认真思考，才能对教材透彻理解，教学时才能驾轻就熟，举重若轻.这样，学生不光会死记硬背定义、定理，也会灵活解决碰到的具体问题，达到“既懂且会”的水平.

1.罗增儒.数学解题学引论［M］.西安：陕西师范大学出版社，2006.