一组特殊组合数引起发现的五个数学结论

☉湖北省潜江市江汉油田高级中学 舒云水

先介绍笔者在文［1］给出的两个结论：

得出上面两个结论后，笔者感到意犹未尽，继续探究，得出了许多二项式系数的值，其中有几个特殊数引起了笔者的好奇与注意，它们是：

由上面二项式系数可以构成下面五组等差数列：

第2、3、4、5组等差数列背后是否像第1组一样背后隐藏着一般的规律呢？提出4个问题：

经探究发现上面4个问题都有无数组解，可以求出通解.得到下面4个结论：

化简整理得n=3k+2.

化简整理得n2-3（k+1）n+k2+2=0，

因为3（k+1）与5k2+18k+17的奇偶性相同，当5k2+18k+17为完全平方数时，n为正整数，满足要求.

设5k2+18k+17=y2（k∈N*，y∈N*），变形得：

令5k+9=x，上面方程变为：

方程①为类pell方程，根据文［2］知方程①的正整数解为

下面给出笔者求出的前十组解：

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同样，可以得到结论5，6.

证：设m=2t，t∈N，t≥2，

感谢同事吴有明、陈雷两位老师对本文研究的帮助！

2.赵玉博，郝保国.pell方程递归解的幂型因子性质及其在不定方程中的应用.首届（2008.12.24）丘成桐中学生数学奖铜奖论文.