植根高考 解法多样 启示深刻——对2013年高考湖北卷理科第13题的思考

☉湖北省武汉市黄陂区第一中学盘龙校区 李红春

2013年高考结束，新题不胜枚举，佳题精彩纷呈，亮点多多，其中湖北卷理科第13题便是一例，笔者对该题做了一些深入的思考，现拟成文，和大家一起交流.

亮点1：植根考题 自然生成

任何数学问题的出现都有一定的情境，数学问题不会无端的“迸发”出来，“问渠那得清如许，为有源头活水来”，本题其实根植于2012年湖北高考理科第6题：

两道试题的表述言简意赅，结构简洁优美，均考查约束条件下求式子的值，命题的立意相同，解决问题的途径一致，突破难点的关键相同（即抓住式子取等号成立的条件）.

亮点2：解法多样 方法灵活

魏本义，黄安成老师认为，高考命题应该遵循“活”与“宽”的原则，即解题运用的不是死知识，而是将熟悉的、基本的东西“拿”来解决陌生的问题；试题能小中见大，知识覆盖面广，解题入口宽，解法思路广.本题解法多样，思路较宽，便很好的体现了这一特点.下面提供6种解法：

解法1：（柯西不等式法）由柯西不等式得：

即 14×（x2+y2+z2）≥14，即x2+y2+z2≥1，

即x2+y2+z2≥1，

当且仅当 m∥n 时取等号，（x，y，z）=λ（1，2，3），

解法3：（引入参数，借助均值不等式）

由这个关于z的一元二次方程有解，

又x2+y2+z2=1，故（x+2y+3z）2=14（x2+y2+z2），

展开得13x2+10y2+5z2-4xy-12yz-6xz=0，

解法 6：（三角换元）由x2+y2+z2=1，设x=cosαcosβ，y=cosαsinβ，z=sinα，

当 sin（α+φ）=1，sin（β+θ）=1 时可取等号.

亮点3：导向鲜明启示深刻

1.公式教学要摒弃“生搬硬套”的不良做法

数学公式揭示了数学知识的基本规律，具有一定形式符号化的抽象性和概括性的特征，是学生数学认知水平发展的重要载体，学好数学必须对数学公式有十分透彻的理解，牢固掌握并能灵活运用公式是提高数学能力的重要前提.

考后笔者深入了解此题学生的完成情况，不少学生告诉笔者：此题猜到用柯西不等式，但忘记了柯西不等式取等号的条件，想推导一下却忘记了证明方法.发人深思，目前，公式教学中“生搬硬套”的情形还普遍存在，这种情形的教学导致了很多学生脑海里只留下了公式的“外壳”，至于公式的来龙去脉，使用的条件与范围却模糊不清.笔者认为从建构主义的观点出发，数学公式的教学一定要充分展示公式的形成过程，交给学生发现的方法，揭示推导公式过程中隐含的数学思想，在推导的过程中理解公式使用的条件和要注意的问题，形成对公式的深度理解.

2.解题教学要更加注重对学生思维能力的训练

很多学生考后反映，湖北今年的考题有点象“奥数”，事实上近年从数学竞赛试题中选择素材命制高考试题的现象屡见不鲜，这对学生思维能力提出了更高的挑战.以上笔者提供了6种方法，除了前两种解法外，其他的方法对学生的数学品质都有较高的要求.总之，数学是思维的体操，高考试题常在“知识网络的交汇点、思想方法的交织线和能力层次的交叉区”内命题，因此在平常的教学中，要善于挖掘与渗透，引导学生整合知识结构，帮助学生从不同角度、不同层次思考问题，使他们的思维在灵活性、广阔性、深刻性、创新性等方面得到充分锻炼.以上6种解法切入点各异，运用的知识涵盖了高中数学中的不等式、三角、向量等诸多主干知识，涉及“三角换元”、“常数代换”、“分组配方”、“恰当引参”等诸多数学解题策略.

3.解题训练要狠抓学生的审题意识培养

很多学生发现本题已知条件中只有两个方程，却有三个未知数，不能通过整体代入求出式子值，便干脆放弃.事实上，当方程的个数少于未知数学的个数又无法通过整体法求出结果的时候，题目的条件通常会有隐含着某种“巧合”，以上的6种解法都是在“巧”上做足了文章，而要达到这一境界，需要学生有良好的审题习惯，能够读懂题目背后的隐含条件.目前很多教师还在代替学生读题、审题，殊不知，很多学生学习的困难不是难在问题的转化，而是难在对题意的准确理解，对隐含条件的挖掘.

4.重视对往年高考试题的研究

本文中提到的这两道湖北省高考试题如此神似，再次提醒我们：高三复习必须重视对往年高考试题的研究！首先，往届高考试题一直是新高考试题的重要来源，我们的高考命题专家一直重视传承和相互借鉴，他们坚持“命题是一种自然的发展，不会有突变，不能隔断历史”的观点.其次，高考题凝结了命题专家巨大的智慧和心血，它们有的立意高远，有的背景深刻，有的内涵丰富，有的创意新颖，在研究它们的过程中，我们可以掌握丰富的数学方法，学习朴素的数学原理，完成火热的数学思考，激发蕴藏的生命活力，使我们能领悟解题方法，领悟解题思想，领悟问题的深层次联系，使我们的解题能力和思维品质向更深和更高层次发展和升华！

1.俞永锋.公式教学，少点“套”，多点“活”［J］.中学数学教学参考（上旬），2011（10）.

2.李红春.对2012年湖北高考解析试题的深入思考［J］.数学通讯（上半月），2012（11）.