一道2013年安徽解几高考题的推广及背景

☉安徽省枞阳县会宫中学 王怀明 汪玉生

图1

一、试题推广

该题的长半轴与短半轴的平方和为a2+1-a2=1是定值，当长半轴的长度变化时，点P在定直线x+y=1上.那么对于任意椭圆，满足条件的动点P是否在定直线上？经过探究，得到如下结论：

若点P在其他象限，也有类似结论，这里不赘述.类比椭圆，在双曲线中是否也有类似结论呢？经过探究，得到如下结论：

证明类似结论1，略.

二、背景分析

问题探究到此似乎应告一段落，但凭直觉，我们觉得对这个问题探讨还不够，认识还不深刻.安徽省近几年解几高考题都与切点、切线有关，而结论1和结论2中的两条直线恰好是曲线在点P处的切线.为了说明这道高考题与以前的高考题以及圆锥曲线切点、切线之间的关系，下面以椭圆为例，先介绍有关知识.

1.圆锥曲线切点、切线的部分性质

若改变条件和结论的顺序，得到

限于篇幅，以上性质的证明从略.

2.试题背景

图2

图3

（1）若点Q的坐标为（4，4）；求椭圆C的方程；

（2）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点.

这道高考题的一般情形即为1中的性质②.我们再来看2013年的高考题（如图3），若延长QF1交椭圆左准线于点M，则条件F1P⊥F1Q相当于F1M⊥F1Q.这道题相当于：

当然，还可以换成其他的叙述方式，这里不再一一列举，同样的，结论1和结论2也有多种叙述方式.无论怎样的叙述，都能求得2013年高考题中点P的坐标为（a2，1-a2）.当然，这道题增加了一点难度，“证明：当a变化时，点P在某定直线上”.

通过对高考题分析发现，这道高考题保持了安徽省前五年解析几何解答题的命题特色，即以“切点（极点）”、“切线（极线）”为背景，用初等数学知识方法解决具有高等数学背景的试题.可以预测，今后的安徽解析几何解答题很有可能变换角度继续考查与“切点（极点）”、“切线（极线）”有关的知识，希望引起大家的重视.这启示我们，在高考复习中要反对搞题海战术，要充分发挥高考试题的指导价值，选取有代表性的试题，深入研究，举一反三，触类旁通，理解本质，以不变应万变.同时，这些试题又具有高等数学知识背景，试题之间也存在着紧密的联系.作为教师，只有具备扎实的高等数学知识，才能高屋建瓴，研究命题思路，把握命题规律，注重通性通法.

1.方章慧，王怀明.一道解析几何高考题的推广及背景［J］.数学通讯（下半月），2012（12）.

2.梅向明，等.高等几何［M］.北京：高等教育出版社，2000.

3.李文林.数学史教程［M］.北京：高等教育出版社，2000.